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2025-2026学年浙江省杭州二中白马湖学校九年级（上）第二次独立作业数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则=（　　）
A. B. C. D.
2.抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标是（　　）
A. （2，1） B. （2，-1） C. （-2，1） D. （-2，-1）
3.已知⊙O的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为（　　）
A. 6 B. 4 C. 8 D. 1
4.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（　　）
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
5.若A（-4，y1），B（-1，y2），C（2，y3）为二次函数y=-ax2-4ax+3（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的关系是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y1＜y3
6.如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，则∠D的度数是（　　）
A. 70°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A. =
B. =
C. =
D. =
8.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对π的近似估算.他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为30°，将这十二个全等三角形的面积之和作为⊙O面积的近似值.据此计算，可得π的估计值为（　　）
A. B. 3 C. 3.14 D. 3.13
9.如图，将 ABCD绕点A逆时针旋转到 AEDF的位置，此时点E落在BC上，AB=a,AD=b,下列关于S△ABE与S△ECD描述正确的是（　　）
A. 若，则S△ABE＜S△ECD
B. 若，则S△ABE＞S△ECD
C. 若，则S△ABE=S△ECD
D. 若，则S△ABE＜S△ECD
10.在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=ax2-2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　）
A. 当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2 B. 当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
C. 当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2 D. 当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB=4，则AC= .
12.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若∠CAB=25°，则∠P的度数为 .
13.如图，在△ABC中，AB=5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，若AD BC的值为10，则DE的长为______．
14.如图，将一把宽为2cm的刻度尺（单位：cm）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 .
15.在直角平面坐标系中，已知二次函数图象y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）经过点A（1-k,t），B（1+k,t）.当x≤1时，有y≤0.点C（2，m），D（3，n）也在函数图象上，则= .
16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=6，BC=8，将△BOC沿着AC折叠得到△B′OC，B′O与AD相交于点E，则= .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数y=x2-2x+a过点（1，1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB的长．
18.(本小题8分)
一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球.
（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率.
（2）从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球.小滨认为摸到同色的可能性大，小江觉得摸到不同色的可能性大，请判断谁说得正确，并说明理由，要求画树状图或列表.
19.(本小题8分)
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交AB边上的中线CD于点F.
（1）求证：△ACF∽△ABE.
（2）若AF=2，求AE的长.
20.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上.（要求仅用无刻度的直尺，在给定的网格中作图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
（1）在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2；请画出放大后的△A1B1C1.
（2）在图2中，在线段AB上作点M，使得.
21.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC到D，连接DA并延长，与⊙O交于点E，连接AC、CE，使得∠D=∠E.
（1）求证：BC=CD.
（2）若AB=4，弧BC的长为，连接AC，求扇形AOC的面积.
22.(本小题10分)
某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元.
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果该超市销售这种商品每天获得3900元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（3）小滨说：“该超市每天的利润最大为6400元”；小江说：“该超市每天的利润最大为6000元”.你认为谁说得对？请说明理由.
23.(本小题10分)
已知二次函数y=x（x-a）+（x-a）（x-b）+x（x-b），其中a,b为两个不相等的实数.
（1）当a=1、b=2时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b=3a时，若该函数在-1≤x≤2时，y随x的增大而减小；在4≤x≤6时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A（a,y1），B（，y2），C（b,y3）均在该函数的图象上，若常数m满足y1+my2+y3=0，求m的值.
24.(本小题12分)
已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧的中点（如图），弦CD与AB交于点E.
（1）连结OD，求证：OD∥BC.
（2）求证：.
（3）当AE=CD时，求∠BAC的正弦值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】6-2
12.【答案】50°
13.【答案】2
14.【答案】5cm
15.【答案】4
16.【答案】
17.【答案】解：（1）把（1，1）代入y=x2-2x+a得：
1=1-2+a，解得a=2，
∴二次函数解析式为y=x2-2x+2；
（2）将函数y=x2-2x+2图象向下平移2个单位后所得函数为：y=x2-2x+2-2，
即y=x2-2x，
在y=x2-2x中，令y=0得x2-2x=0，
解得x=0或x=2，
∴A（0，0）、B（2，0）或B（0，0）、A（2，0），
∴AB=2．
18.【答案】 小滨的说法正确，
由题意可列表如下：
红1 红2 白
红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白）
红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白）
白 （白，红1） （白，红2） （白，白）
两次都摸到同色的有5种等可能的情况，一共有9种等可能的情况，
所以两次都摸到同色的概率为，摸到不同色的概率为，
∵，
∴摸到同色的可能性大，
∴小滨的说法正确
19.【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∵CD是AB边上的中线，
∴，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACF∽△ABE；
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，
∴，
∵△ACF∽△ABE，
∴，
∵AF=2，
∴．
20.【答案】△A1B1C1即为所求作的三角形； 点M即为所求．

21.【答案】证明：∵所对应的圆周角为∠E和∠B，
∴∠D=∠E=∠B，
∴AD=AB，
∴△ADB为等腰三角形，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥DB，
∴AC是等腰三角形ADB底边的高，
∴BC=CD；
22.【答案】y=-x+180 该商品的销售单价为50元 小江说的是正确的，设该超市的每日利润为w元，
w=（x-20）（-x+180）=-（x-100）2+6400，
∵30≤x≤80且对称轴为x=100，
∴x=80时取得最大值6000，
∴该超市每天的利润最大为6000元，
∴小江说的是正确的
23.【答案】直线x=1；
；
m=4
24.【答案】证明：如图，
∵D是弧的中点，
∴DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC 证明：∵OD∥BC，
∴△ODE∽△BCE，
∴
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