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2025-2026学年云南省昆明市石林县民族中学八年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列表示比赛项目的图标中，是轴对称图形的为（　　）
A. B. C. D.
2.英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（　　）
A. 0.34×10-9 B. 3.4×10-11 C. 3.4×10-10 D. 34×10-11
3.下面各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A. 4，4，8 B. 3，4，8 C. 5，6，7 D. 5，7，12
4.下列计算正确的是（　　）
A. a2 a=2a2 B. （-3a）2=-6a2 C. （a-b）2=a2-b2 D. x8÷x4=x4
5.如图，一棵与地面垂直生长的树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A. 3米 B. 4米 C. 6米 D. 9米
6.徐光启是中国明代数学家，他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作.《几何原本》第Ⅰ卷命题9：“一个角可以切分为两个相等的角”即：作一个已知角的平分线.欧几里得给出以下的作图法：如图，在AB和AC上分别取点D和E，使AE=AD，连接DE，以DE为一边作等边△DEF，连接AF，则射线AF平分∠BAC.此法的关键是得到△ADF≌△AEF，进而得出∠FAB=∠FAC.这里判断△ADF≌△AEF的依据是（　　）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
7.在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）
A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点
8.如图，CD是△ABC的中线，E和F分别是CD和AE的中点，若△BEF的面积为3，则△ABC的面积为（　　）
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3
9.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. （a+4）（a-4）=a2-16 B. x2-4y2=（x+4y）（x-4y）
C. x2-2x+1=x（x-1）+1 D. x2-8x+16=（x-4）2
10.将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的一半 C. 保持不变 D. 无法确定
11.已知等腰三角形一个内角是36°，则这个等腰三角形的顶角是（　　）
A. 36°或108° B. 36° C. 108° D. 36°或72°
12.按一定规律排列的单项式：-x,3x2，-5x3，7x4，-9x5，…，第2026个单项式是（　　）
A. 4051x2026 B. -4053x2026 C. -4051x2026 D. 4053x2026
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D.若CD=5，则点D到AB的距离是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
14.已知，则=（　　）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
15.如图，BC=6cm,∠PBC=∠QCB=60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点M运动结束时，点N运动随之结束）.在射线BP上取点A，在M、N运动到某处时，有△ABM与△MCN全等，则此时AB的长度为（　　）
A. 1cm B. 2cm或 C. 2cm D. 1cm或
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.使分式有意义的x的取值范围是 .
17.若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ．
18.已知点A的坐标为（2，3），则点A关于y轴对称的点B的坐标是 .
19.如图，在△ABC中，EG，FH分别是边AB，AC的垂直平分线，若AB=4，AC=6，△EAF的周长为9，则△ABC的周长为 .
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
（1）；
（2）（12x2y-8xy2+4xy）÷4xy.
21.(本小题6分)
因式分解：
（1）a3-4a；
（2）3ax2+6axy+3ay2.
22.(本小题7分)
计算：
（1）；
（2）.
23.(本小题7分)
如图，点C是线段AB的中点，∠B=∠ACD，AD∥CE.求证：△ACD≌△CBE.
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）.
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1），并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）点P在y轴上，使得△ACP的周长最小，作出点P.（不写作法，保留作图痕迹）
25.(本小题8分)
列分式方程解应用题.
小明同学今年参加学校组织的劳动实践活动，了解苹果的生长过程，和果农们一起采摘苹果.在劳动实践过程中，小明了解到如下信息：
阿着底村隶属于石林彝族自治县长湖镇宜政村委会，地处石林县东南部，距县城24公里，“阿着底”系彝族撒尼语，是“美丽富饶的地方”的意思，传说是阿诗玛出生、生长的地方.阿着底贯彻“村”品发展思路，在这片美丽富饶的土地上，家家户户种苹果，种佳品，苹果已经成了村民创收的“顶梁柱”之一.
今年阿着底苹果市场平均售价比去年每千克增加2元，同等品质下，去年售出1000元的苹果和今年售出1200元的苹果质量相等.
根据以上信息，回答下列问题：
求：今年阿着底苹果的市场平均售价为多少元/千克？
26.(本小题8分)
综合与实践
【主题】：借助图形直观，感受数与形之间的关系.
【素材】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片A是边长为a的较小正方形，纸片B是边长为b的较大正方形，纸片C是长为b、宽为a的长方形.
【操作发现】（1）如图2，若要拼出一个面积为（a+b）（a+b）的正方形，则需要A种卡片1张，B种卡片______张，C种卡片______张.
【类比探究】（2）利用4张C种卡片按图3的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于（b+a）2，（b-a）2，ab的等量关系式：______.
【拓展迁移】（3）如图4，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为m,n（m＞n），若m+n=6，mn=3，E是AB的中点，求阴影部分面积的和.
27.(本小题12分)
通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=______，BC=AE.
我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型.
[模型应用]
（2）如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形的面积为______.
A.50
B.54
C.66
D.68
[深入研究]
（3）如图3.∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】A
12.【答案】A
13.【答案】C
14.【答案】C
15.【答案】D
16.【答案】x≠2026
17.【答案】±6
18.【答案】（-2，3）
19.【答案】19
20.【答案】4 3 x-2y+1
21.【答案】a（a-2）（a+2） 3 a（x+y）2
22.【答案】
23.【答案】证明：∵点C是AB的中点，
∴AC=CB，
∵AD∥CE，
∴∠A=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（ASA）．
24.【答案】图形见解答；A1（3，4），B1（4，1），C1（1，2） 图形见解答
25.【答案】今年阿着底苹果的市场平均售价为12元/千克．
26.【答案】1 2 （b+a）2-4ab=（b-a）2
27.【答案】DE A 如图，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，
由“K字”模型得：△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF=DM，
同理：AF=EN，
∴EN=DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD=∠GNE=90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG=EG，
即点G是DE的中点
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