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2025-2026学年江西省赣州市南康区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列交通标志是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A. 3，6，12 B. 5，6，10 C. 5，6，11 D. 3，4，8
3.世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多很多，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过0.00003厘米，其中0.00003用科学记数法表示为（　　）
A. 0.3×10-4 B. 3×105 C. 3×10-5 D. 3×10-4
4.在下列四个图中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A. B.
C. D.
5.不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E.作直线DE交AC于点F，连接BF.下列说法中，错误的是（　　）
A. AF=BF
B. BF是∠ABC的平分线
C.
D. S△ABF=3S△BCF
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若分式有意义，则x≠ .
8.分解因式：m2-4= ．
9.如图，点P（6，-2）关于x轴对称的点的坐标是 .
10.如图，在△ABC中，MP、NQ分别垂直平分边AB、AC，交BC于点P、Q.已知BC=13，则△PAQ的周长等于 .
11.若a2+ab=7，b2+ab=9，则（a+b）2= .
12.如图，点C是射线BD上一点，∠ABC=78°，∠ACB=42°，BF平分∠ABC，点E在射线BF上，连接CE.当CE垂直于△ABC的一边时，∠BEC的度数为 °.
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题3分)
计算：a a2 a3+（a3）2.
14.(本小题3分)
求出图中的x的值.
15.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=3.
16.(本小题6分)
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2，求证：AB=AD．
17.(本小题6分)
按要求完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）如图1，作∠BAC的平分线AM；
（2）如图2，过点P作直线l的垂线.
18.(本小题6分)
如图，已知在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，4），C（4，2）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'；
（2）连接AA′，CC′，求四边形ACC′A′的面积.
19.(本小题8分)
对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完成平方的方式进行因式分解，比如把代数式x2-6x-7因式分解：
解：x2-6x-7=x2-6x+9-9-7
=（x-3）2-16
=（x-3+4）（x-3-4）
=（x+1）（x-7）
（1）请你仿照上面的方法，把代数式x2-8x+7因式分解；
（2）若代数式x2+8x-9=0，则x的值为______.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是AC的中点，且BD⊥AC，过点D作AB的垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E，已知∠E=30°.
（1）求证：△ABC是等边三角形，请完成以下证明过程：
证明：∵点D是AC的中点，______，
∴BD垂直平分AC，
∴______，
又∵EF⊥AB，∠E=30°，
∴______，
∴△ABC是等边三角形.
（2）判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由.
21.(本小题8分)
甲用3小时完成一项工程的后，乙加入一起工作，两人合作小时后完成了这项工程.
（1）甲单独完成这项工作需要______小时；
（2）乙单独完成这项工作需要多少小时？请列方程求解.
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，把△ADE沿AE翻折得到△AD′E，连接D′C，若BD=CD′.
（1）求证：△ABD≌△ACD'；
（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数.
23.(本小题9分)
定义新运算：如果ac=b,那么（a,b）=c.例如：因为32=9，所以（3，9）=2.
（1）根据上述规定，填空：（2，8）=______；
（2）若（5，x）=m,（5，y）=n,且m+n=3，求xy的值；
（3）①若（4，3）=a,（4，8）=b,（4，24）=c,请你尝试证明：a+b=c；
②进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）=（x,y）.
结合①，②探索的结论，计算：=______.
24.(本小题12分)
【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法.
（1）如图1，OP平分∠MON，点A，B分别在OM和ON上，且AB⊥OP于点C.请补全下列证明：
证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOC=______，
∵AC⊥OP，∴∠ACO=∠BCO=90°，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（______）.
∴AO=BO，AC=BC.
【类比解答】（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=65°，∠B=35°，求∠DAE的度数.
【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD交CD的延长线于点E，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】2
8.【答案】（m+2）（m-2）
9.【答案】（6，2）
10.【答案】13
11.【答案】16
12.【答案】9°或51°或129°
13.【答案】2a6．
14.【答案】x=60．
15.【答案】x-1；2．
16.【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AB=AD．
17.【答案】
18.【答案】△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，如图1即为所求； 9
19.【答案】（x-1）（x-7） 1或-9
20.【答案】BD⊥AC;BA=BC;∠ABC=60° AD=CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°（等边三角形的性质），
∵EF⊥AB，
∴∠ADF=90°-60°=30°，
∴∠CDE=∠ADF=30°=∠E，
∴CD=CE（等角对等边），
又D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴AD=CE（等量代换）
21.【答案】6 4小时
22.【答案】∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形，
∴AD=AD′，
在△ABD和△ACD′中，
，
∴△ABD≌△ACD′（SSS） 60°
23.【答案】3 125 ①证明：∵（4，3）=a，（4，8）=b，（4，24）=c，
∴4a=3，4b=8，4c=24，
∵3×8=24，
∴4a 4b=4c，
4a+b=4c，
a+b=c；②3
24.【答案】∠BOC;ASA ∠ DAE的度数为30° ．
证明：延长BE、CA，交于点G，
∵CD平分∠ACB，
∴∠GCE=∠BCE，
∵BE⊥CD交CD的延长线于点E，
∴∠CEB=∠CEG=90°，
在△CEB和△CEG中，
，
∴△CEB≌△CEG（ASA），
∴BE=GE，
∴，
∵∠CEB=90°，∠CAB=90°，∠BDE=∠CDA，
∴∠BAG=90°=∠CAD，∠GBA=∠DCA，
在△BAG和△CAD中，
，
∴△BAG≌△CAD（ASA），
∴BG=CD，
∴
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