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2025-2026学年山东省聊城市高唐县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组图形中一定是相似形的是（　　）
A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个直角三角形 D. 两个正方形
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，则sin∠DCB的值为（　　）
A. B. C. D.
3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦但不是直径，AB⊥CD于点E，连接OC，则下列结论不一定正确的是（　　）
A. CE=ED
B. AO=CO
C. OE=BE
D.
4.某电池厂2023年1～5月份的电池产量如图所示.设从1月份到3月份，该厂电池产量的平均月增长率为x（x＞0），根据题意可列方程为（　　）
A. 180（1-x）2=368 B. 137（1+x）2=368
C. 368（1-x）2=137 D. 461（1+x）2=180
5.某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s.小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（　　）
A. 小亮爸爸遇到红灯是必然事件
B. 小亮爸爸遇到红灯的概率是
C. 小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件
D. 小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率
6.若将一元二次方程x2-6x-2017=0转化为（x+a）2=b的形式，则a+b的值为（　　）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
7.如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE=AF=CG=CH，已知AD=30m,AB=50m,则草坪面积最大为（　　）
A. 600m2 B. 800m2 C. 1000m2 D. 1200m2
8.反比例函数y=（k≠0）与二次函数y=x2-kx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
9.正方形ABCD边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，要使这四个等圆能完全覆盖正方形ABCD，所作等圆的最小半径是（　　）
A. 1 B. C. 2 D. 2
10.二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（1，n），经过点（-1，0），且c＜0，则下列结论正确的是（　　）
A. 4a+2b+c＞0
B. 当x＞1时，y随x的增大而减小
C. 当-1≤t≤3时，总有（1+t）（at-a+b）≤0
D. 一元二次方程ax2+bx+c+3=0一定有两个不相等的实数根
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知关于x的方程3x2-2x+m=0有两个实数根，那么实数m的取值范围是 .
12.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，的度数为70°，则的度数为 °.
13.如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时，均从红、黄、蓝三种颜色中随机选取一种，那么三种颜色各涂一格的概率是 .
14.如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接OA，交双曲线于点D，作DE⊥OB于点E，交OC于点F，若S四边形BCFE：S四边形ACFD=2：3，则△OEF的面积为 .
15.在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG，若正方形ABCD与正方形EFGH的面积之比为17：9，则tan∠EGD= .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
（1）x2+2x-1=0；
（2）4x2-4x-3=0.
17.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点F是上的任意一点，延长AF交DC的延长线于点G，连接FC，FD.若∠GFC=65°，求∠CFD的大小.
18.(本小题8分)
为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了4门选修课：A.篮球，B.足球，C.排球，D.跳绳，要求每名学生只选其中的一门参加.为了解学生的选课情况，学校随机抽查了部分已经选课的学生，把他们的选课结果绘制成了如图不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽样调查的学生总人数；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中“D”对应圆心角的度数；
（3）现有部分同学因没有倾向性未进行选课，学校为了促进学生体质健康发展要求他们全部选课，请为他们提出合理的选课建议.
19.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，m），B两点，与y轴交于点C.
（1）求m的值；
（2）连接OA，若△AOC的面积为2，求一次函数的表达式.
20.(本小题10分)
如图，某座山的主峰观景平台C距水平地面AE的高CE为630米，登山者需由山底A处先步行300米到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达观景平台C处，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，BD⊥CE于D，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BC与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）.
（1）求登山缆车上升的高度CD；
（2）若小亮步行速度为15m/min,小亮从山底A处到达山顶C处大约需要30分钟，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
21.(本小题10分)
某快餐店销售A、B两种快餐，A种块餐每份利润10元，每天能卖出50份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出70份.该店根据顾客需求，准备降低A种快餐的利润，同时提高B种快餐的利润，但这两种快餐每天销售的总份数不变.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份；每份B种快餐每提高1元利润，就少卖2份.设每份A种快餐降低的利润为x元，调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求利润y的最大值，并求出利润最大时的x的值.
22.(本小题11分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O为AB的三等分点，且靠近点A，以点O为圆心，OA的长为半径的圆经过点D，交AB于点E.
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）当AB=6时，求阴影部分的面积.
23.(本小题12分)
在平面直坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，3）和点B（-3，0）.
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）将抛物线y=-x2+bx+c向上平移m个单位长度后与x轴交于M，N两点，若MN＞6，求m的取值范围；
（3）当t≤x≤t+1时，抛物线y=-x2+bx+c的最大值和最小值的差为3-t,求t的值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】m≤
12.【答案】55
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】x1=-1+，x2=-1- x1=-，x2=
17.【答案】∠CFD的度数是50°．
18.【答案】50人 补全条形统计图如图所示：
28.8° 为了促进学生体质健康发展，选课时可结合自身兴趣和运动基础选择（答案不唯一）
19.【答案】m=-2 y=-2x+2
20.【答案】480米 60 m/min
21.【答案】y=-4x2+24x+1060 当x=3时，y取得最大值，最大值为1096
22.【答案】连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切 2π
23.【答案】y=-x2-2x+3 m＞5 t的值为0或-6
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