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21.2.2《平行四边形的判定》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,)
1.四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C．且 D．，
2．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（ ）
A．200 B．201 C．199 D．198
3．如图，在中，，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则四边形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．7
5．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
6．有一条以互相平行的直线为岸的河流，其两侧有村庄和村庄，现在要在河上建一座桥梁（桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（ ）
A．2s B．s C．4s D．5s
8．已知平面直角坐标系中A、B、C三点的坐标分别为，，，在直线下方的y轴上有一条长为1的线段（E在上F在下），当线段在y轴上滑动时四边形的周长的最小值为（ ）
A． B． C．
D． E．
9．如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点，连接，则四边形的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
10．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______．
12．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形．
13．如图，在中，．若，则的度数是_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____．
15．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）．
①，；
②，；
③，；
④，．
16．图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为________cm．
17．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为________．
18．如图，已知 ABC中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，四边形中，，，的平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件．
20．（8分）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若 ABC是等边三角形，且，求的长．
21．（10分）如图在 ABC中，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积是 BDE面积2倍的三角形．
（10分）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接 ，如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与 分别交于点G H R，如图2
①当，时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．
（10分）如图，在中，，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即、、，连接、、．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
（12分）综合与实践
定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形．
(1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若 ABC的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____．
(2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长．
(3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积．
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、仅，一组对边平行的四边形可能是梯形，不能判定为平行四边形
B、，仅表明与垂直，无法判定四边形为平行四边形
C、且，这样的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；
D、，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即四边形的对角线互相平分，所以四边形是平行四边形．
2．C
解：第1幅图中有1个，
第2幅图中有3个，
第3幅图中有5个，
第4幅图中有7个，
则第n幅图中有个，
∴第100幅图中共有：，
故选：C．
3．B
解：，
，
，
根据作图过程得到，为的平分线，
∴
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形的周长为．
故选：B．
4．B
解：∵在中，对角线，交于点，，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的周长，
故选：B．
5．D
解：设点的坐标为，
分三种情况：①和为对角线时，
得，
解得：，
点的坐标为；
②和为对角线时，
得，
解得：，
点的坐标为；
③和为对角线时，
得，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是．
故选：D．
6．D
解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄连接与河岸相交于一点，
过点作与相交于点，
连接，则即为最短路径，
如图 所示，
故选：D．
7．B
解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形，
∵在边上运动，
∴，
∵以点，，，为顶点组成平行四边形，
∴，
分以下情况：①点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不符合题意．
②点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；符合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：；不合题意．
点Q的运动路线是
由题意得：，
解得：，不合题意．
故选：B．
8．C
解：如图，作，且，连接交y轴于点E，连接，，
∵，，
∴是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴
∴四边形的周长，
即E在线段上时四边形的周长最小.
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的周长
．
∴四边形的周长的最小值为．
故选：C．
9．B
解：，
．
是的中点，
．
在和中：
，
．
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
，
．
，，，
，
．
故选：B．
10．A
解：由题可知，，则，
，
是等边三角形，故①正确；
，，
，
点F是边中点，
，
，故②正确；
在中，，
则，即，
是等边三角形，点F是边中点，，
，，
，故③正确；
，，
，即，
，，
，则，
，
，
，
，
在中，点F是边中点，
，
，
，则，
又，
四边形是平行四边形，故④正确；
故选：A．
二、填空题
11．6
解：∵，，，
∴（平行线之间的距离处处相等），
∴四边形为平行四边形，
∴．
故答案为： 6．
12．3
解：当时，
，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
13．
解：∵四边形是平行四边形
∴ ，
∵
∴
即
∵
∴
∵且
∴ 四边形是平行四边形
∴
∵
∴ ．
故答案为：．
14．
解：∵，
∴，
∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点，
∴点的坐标是．
15．②③④
解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定；
对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定；
对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定；
对于④，，
又
∴四边形是平行四边形，故能判定．
故答案为：②③④．
16．28
解：，，
∴四边形为平行四边形，
．
，
．
在中，，，
，
，即点到点的距离为．
故答案为：．
17．18
解：如图，连接，．
和相交于点且互相平分，
∴四边形是平行四边形，
，．
又，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形的周长为
．
故答案为：．
18．或
解：在中，，，，
由勾股定理得：，
以为折痕将折叠得到，
，，
如图，当时，过点作的延长线于点．
，
，∠A/FC=∠ACB=90 ，
，A/F∥AC，
∴四边形是平行四边形，
，DC=FA/，
设AD=DA/ =x，则，FA/=8-x，
在Rt BFA/中，由勾股定理得：，
，
解得：，不合题意，舍去，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：；
如图，，，当时，点与点重合．
，
设AD=DA/ =x，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题
19．（1）解：∵，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴；
（2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
20．（1）解：∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∴．
21．（1）证明：∵，
∴，
∵点D是中点，点E为的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴；
∴．
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是中点，
∴，
∵点E为的中点，
∴，，
∴．
22.（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点，
∴，
∴，且，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①如图2，过点D作于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②，
理由如下：如图，过点H作于点M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23.（1）证明：∵、 BEC都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和 ABC中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由（1）得，，
∵，
∴，
在中，．
24.（1）解：由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
如图，过点作于，交于点，
，
，
由折叠可知：，
，
完美矩形的面积为：．
故答案为：3；6；
（2）解：由折叠可知：，，，，
，矩形的面积为：，
，
矩形的周长；
（3）解：由折叠可知：点、分别是、的中点，
，，
如图，连接，
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
∵，，
在中，设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
，，
此完美矩形的周长为．面积是．

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