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21.2.3《三角形的中位线》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,)
1．如图，在 ABC中，，分别是边，的中点，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　)
A． B． C． D．
6．如图， ABC中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．如图，在中，分别是边上的点，且,连接．分别取的中点，连接，则的长为( ·)
A． B． C． D．3
10．如图， ABC的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，再以的三边中点为顶点，组成第2个三角形，…，则第个三角形的周长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在周长为米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠总长为____米．
12．如图，在 ABC中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________．
13．如图，在 ABC中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为_____．
14．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________．
15．如图，在 ABC中，D、E分别是、中点，平分．交于点F，，，则的长为___________．
16．如图，在 ABC中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________．
17．如图，，点是线段的中点，点在射线上运动，过点作交射线于点，则的最小值为_______．
18．如图，在 ABC中，，是高，，将 ABC折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则的长为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，点D、E分别是线段的中点．
(1)计算线段的长．
(2)判断图中 ABC的形状，并说明理由．
20.（8分）如图，在 ABC中，，E为的中点，连结，D是的中点，连接，在的延长线上取一点F，使．
求证：四边形为平行四边形．
21．（10分）如图，在 ABC中，平分，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，且，点是上一点，连接并延长交于点．
(1)求证： ABC是等腰三角形；
(2)猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
22.（10分）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23.（10分）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，交于点，若，求的长．
24.（12分）问题探究
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点，，在上，连接．若，则点的坐标为___________．
（2）如图2，在 ABC中，垂直平分，交于点，交于点．求的长．
问题解决
（3）图3是某重型卡车，图4是一个长方体木箱从该重型卡车上卸下时某时刻的平面示意图．已知该重型卡车车身的高度为，卸货时会利用到辅助挡板，此时弯折落在处（即），为水平线，，经过测量，得．当木箱底部顶点与点重合时，求图中木箱上点到直线的距离．
参考答案
一、选择题
1．A
解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
2．C
解：由题意可知，，
∴是的中位线，
，
故选：C．
3．B
解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确；
、分别是、的中点，，，，故选项错误；
、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确；
、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确；
故选：．
4．B
、、、分别是、、、的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，
四边形的周长；
5．C
解：由题意得：分别是的中位线，
∴，，，；
∴，，；
∴四边形是平行四边形，；
∵
∴，
∴，
故选：C
6．C
解：由作图知，是线段的垂直平分线，则，，
故选项A正确；
∵是边上的中线，
∴点E是的中点，
∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项B正确；
∵是边上的中线，点D是的中点，
∴，，
∴，
故选项D正确；
当时，，否则不成立，
故选项C错误．
故选：C．
7．B
解：如图，取的中点E，连接，
∵D是的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，，
由勾股定理得：，即，
∴，
在中，，
则，
故选：B．
8．B
解：∵ ，分别是的中点，
∴ 是的中位线，
∴ ，．
∵ ，分别是的中点，
∴ 是的中位线．
∴ ，．
取的中点，连接．
∵ 是中点，是中点
∴ （三角形中位线定理）
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∴ ．
∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∴,
∴ ．
结合已知，得 ．
在中，由勾股定理得．
故选：．
9．D
解：延长并延长，使，连接，如图所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴为等边三角形，
，
，
故答案为：．
10．A
解： ABC的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形，
，，，
的周长为，
的周长为，
…
以此类推，第个三角形的周长为，
故选：A．
二、填空题
11．400
解：如图， ABC周长为米，分别为的中点，
则均为 ABC的中位线，
（米），
故答案为：400．
12．5
又
∴是的中位线，
故答案为：5.
13．2
解：如图，延长，交于点M，
∵平分，，
∴，
∴，，
又∵F是的中点，
∴为的中位线，
∴．
14．
点是对角线的中点，点分别是的中点，
是的中位线，即，
同理，，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：．
15．1
解：∵分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．
解：如图，延长交于点，
平分，
,
，
在和中，
,
，
，，
,
为的中点，，
是 BCF的中位线，
．
17．
解：分别取的中点，连接，
则是的中位线，
∴，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
当时，有最小值，即有最小，
∵为定值，
∴有最小值，
此时，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
18．3
解：根据折叠可得：，，，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F为的中点，
同理，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
三、解答题
19．（1）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵点D、E分别是线段的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴；
（2）解： ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由网格的特点和勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ABC是直角三角形，
∴ ABC是等腰直角三角形．
20．证明：如图，
为的中点，D是的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，
，
又，
，
，
四边形为平行四边形．
21．（1）证明：∵，
∴；
由翻折可知：；
∴∠ACB=∠ABC，
∴，
∴ ABC是等腰三角形；
（2）解：，理由如下：
∵ ABC是等腰三角形，平分，
∴是 ABC的中线，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴ NDC≌ MDB，
∴；
∵是 ABC的中线，点是的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，
即：；
22.（1）证明：连接，．
点，分别为，的中点，
，．
又，
．
又，
四边形是平行四边形．
与互相平分，
；
（2）解：在中，
为的中点，，
．
又四边形是平行四边形，
．
23.（1）证明：∵，，
∴为的中位线，
，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
，，
，，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接，
，，
∴是的中位线，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
，
．
24.（1）解：设点的坐标为，根据，点，，
得，
解得，
故，
故答案为：．
（2）解：设，则，
根据勾股定理，得，
故，
故，
解得，
故的长为4．
（3）解： 设，则，
根据勾股定理，得，
故，
解得，
故，．
故，
故点B为的中点，
作，连接，
故为的中位线，
故，，
又，
故，
故图中木箱上点到直线的距离为．

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