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用平均数、中位数和众数刻画数据的集中趋势
R·八年级数学下册
数据的分析
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学习目标
1. 进一步认识平均数、中位数、众数都是数据的代表，
能根据所给信息求出相应的数据代表．
2. 结合具体情境体会平均数、中位数、众数在描述数据
时的差异，能根据具体问题选择适当的统计量作为代
表，并做出自己的评判．
3. 经历整理、描述、分析数据的过程，发展统计意识，
提高分析问题和解决问题的能力．
平均数、中位数、众数的特征：
平均数、中位数和众数都可以用于刻画一组数据的集中趋势.
平均数是最常用的指标，它表示“一般水平”.
中位数表示“中等水平”.
众数表示“众多水平”.
复习回顾
八年级某班的教室里，三位同学的五次数学成绩分别是：
小华：62，94，95，98，98；小明：62，62，98，99，100；
小丽：40，62，85，99，99.
他们都认为自己的数学成绩比其他两位同学好，他们的依据是什么？
分析：小华成绩的众数是____，中位数是____，平均数是____.
小明成绩的众数是____，中位数是____，平均数是____.
小丽成绩的众数是____，中位数是____，平均数是____.
98
95
89.4
62
98
84.2
99
85
77
因为他们之中，小华的平均数最大，小明的中位数最大，小丽的众数最大，所以都认为自己的成绩比其他两位同学好.
对于平均数、中位数、众数，我们应该如何在一个实际问题中合理选用呢？
下表是某公司员工月收入的资料.
例 7
月收入/元 45000 18000 10000 5000 3600 3000
人数 1 1 1 7 6 4
（1）分别计算这家公司员工月收入的平均数和中位数.
探索新知
解：这家公司员工月收入的平均数为 x = 7080.
中位数为
3600+5000
2
= 4300.
为什么平均数比中位数高这么多？
这组数据中存在极端高值，对平均数的影响较大.
月收入/元 45000 18000 10000 5000 3600 3000
人数 1 1 1 7 6 4
（2）若要反映这家公司员工月收入水平，你认为用平均数还是中位数？为什么？
平均数 x = 7080.
中位数 = 4300.
解：在20名员工中，仅有3名员工的月收入在7080元以上，而另外17名员工的月收入都在7080元以下. 因此，用月收入的平均数代表所有员工的月收入水平不太合适 .
而中位数4300说明一半员工的月收入高于4300元，另一半员工的月收入低于4300元 .相对平均数而言，中位数更能代表这家公司所有员工的月收入水平.
月收入/元 45000 18000 10000 5000 3600 3000
人数 1 1 1 7 6 4
思考：求出这家公司员工月收入的众数，用众数刻画这家公司员工月收入水平是否合适？为什么？
观察数据可知，月收入为5000元的人数有7人，是所有收入对应的人数中最多的，因此众数是5000元.
不合适. 因为众数是5000，只能代表这家公司员工收入是5000元的人最多，不能代表这家公司员工收入的平均水平.
某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励. 为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
例 8
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
（1）月销售额在哪个值的人数最多？中间位置的月销售额是多少？平均月销售额是多少？
（2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为在（1）的三个销售额中选哪一个作为销售目标合适？请说明理由.
（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由.
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
分析：商场服装部统计的每位营业员在某月的销售额组成一个样本，通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计_____的情况，从而解决问题.
总体
解：整理上面的数据得到下面的表和图.
月销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32
人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 2 3 1 2
用表格整理数据和用图形表示数据，有助于我们发现数据的特点或规律。
（1）月销售额在哪个值的人数最多？中间位置的月销售额是多少？平均月销售额是多少？
解：从表或图可以看出，样本数据的众数是15，中位数是18，利用计算器求得这组数据的平均数约是20.可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多，中间位置的月销售额是18万元，平均月销售额大约是20万元.
（2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为在（1）的三个销售额中选哪一个作为销售目标合适？请说明理由.
解：如果想确定一个较高的销售目标，这个目标可以定为每月20万元（平均数）.因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大.可以估计，月销售额定为每月20万元是一个较高目标，大约会有 的营业员获得奖励.
（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？请说明理由.
解：如果想让一半左右的营业员能够达到销售目标，月销售额可以定为每月18万元（中位数）.因为从样本情况看，月销售额在18万元以上（含18万元）的有16人，占总人数的一半左右.可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励.
归纳总结
平均数、中位数和众数，三种量的意义与不足：
统计量 意义 不足
平均数 平均数是刻画数据集中趋势最常用的统计量，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活中较为常用 受极端值的影响较大
中位数 中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不易受极端值影响 不能充分利用数据提供的信息
众数 众数是一组数据中出现次数最多的数据，不易受极端值影响 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性
1. 随机抽取某小吃店一周的营业额 (单位:元) 如表:
星期 一 二 三 四 五 六 日
营业额/元 540 680 640 640 780 1110 1070
（1）这组数据的平均数是______，中位数是______，众数是_______．
780
680
640
星期 一 二 三 四 五 六 日
营业额/元 540 680 640 640 780 1110 1070
（2）估计一个月的营业额（按 30 天计算）:
①星期一到星期五营业额相差不大，用这 5 天的平均数估计合适吗？
②选择一个你认为最合适的数据估计该小吃店一个月的营业额.
不合适.
解：用该小吃店这一周的营业额的平均数估计一个月的营业额，则估计一个月的营业额为 30×780=23400 (元)．
2. 王芳在记录第 149 页“问题 1”中乙组同学的跳绳成绩时，
把 242 错记成了224，此时乙组跳绳成绩的平均数和中位
数是否都受影响？请你解释其中的原因.
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
【选自教材第163页 练习 第1题】
解：平均数受影响，中位数不受影响.
理由如下：平均数是一组数据的平均值，计算时要用到所有的数据.所以一组数据中任意一个数据改变，这组数据的平均值都会改变.中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后处于中间位置的数，它不易受极端值影响.
3.有两组学生的体重数据（单位：kg）
【选自教材第163页 练习 第2题】
第 1 组 38 40 44 50 52 52 74
第 2 组 38 40 44 50 52 52 60
（1）分别求这两组数据的平均数、中位数、众数；
解：第1组数据的平均数为
38+40+44+50+52+52+74
7
= 50
中位数为50，众数为52.
第2组数据的平均数为
38+40+44+50+52+52+60
7
= 48
中位数为50，众数为52.
3.有两组学生的体重数据（单位：kg）
第 1 组 38 40 44 50 52 52 74
第 2 组 38 40 44 50 52 52 60
（2）比较这两组数据的平均数、中位数、众数，结合数据谈一谈它们刻画数据集中趋势的特点.
【选自教材第163页 练习 第2题】
解：这两组数据的平均数相差2，而中位数和众数相同.
平均数计算时会用到所有数据，受极端值影响较大.
中位数、众数不易受极端值影响，但中位数不能充分利用数据.
当各个数据重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性.
4.在学校组织的科学知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 A，B，C，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 90 分、80 分、70 分、60 分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图的统计图：
（1）求此次竞赛中八年级（2）班成绩不低于70分的人数；
6+12+2+5=25(人)
25×(44％+4％+36％)=21(人)．
（2）补全下表：
平均数 中位数 众数
八年级（1）班 77.6 80 80
八年级（2）班 77.6 70 90
（3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，并写出两个结论．
①平均数相同的情况下，从众数来看，八年级(2)班的成绩更好一些；
②平均数相同的情况下，从中位数来看，八年级(1)班的成绩更好一些．
（答案不唯一）
课堂小结
数据的集中趋势
平均数
众数
中位数
实际应用
课后作业
完成本课对应课时作业.

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