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(共22张PPT)
离差平方和、方差
R·八年级数学下册
数据的分析
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1. 体会刻画数据离散程度的意义，发展数据观念．
2. 理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组
数据的离差平方和、方差．
3. 理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的
离散程度．
学习目标
问题导入
问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子. 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示.
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
甲和乙两种玉米种子的平均产量为：
x甲 = 7.537
x乙 = 7.515
样本平均数
总体平均数
估计
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
探索新知
思考：如何考查一种甜玉米产量的稳定性呢？
为了直观地反映出甜玉米产量的分布情况，把数据画成下图：
甲种甜玉米的产量
乙种甜玉米的产量
比较看看谁的数据波动比较大？
统计图尤其是折线图可以很直观的看出一组数据的波动程度，但是要对比两组数据的波动程度时就不够精准了.那有没有一个量来刻画数据的波动程度或离散程度呢？
为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
概念引入：一般地，由 n 个数据 x1，x2，…，xn，用 x 表示它们的平均数，我们把 xi － x ( i ＝1，2，…，n ) 叫作 xi 关于平均数 x 的离差．
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
离差和：
(7.65－7.537) + (7.50－7.537) + … + (7.41－7.537)
= 7.65 + 7.50 + … + 7.41－10×7.537
= 0
同理乙的离差和也等于 0
( x1－ x ) + ( x2－ x ) + … + ( xn－ x )
= x1 + x2 + … + xn－nx = 0
一组数据的离差和总是 0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.
我们把
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和.
记作“d 2”.
知识要点
把离差的平方的平均数
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
n
叫作这组数据的方差.
记作“s 2”.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小．
数据分布比较分散
数据分布比较集中
知识要点
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
试着用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度．
根据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定．
思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
d 2 =
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
n
s 2 =
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制．
利用计算器求方差
点击图片播放视频
如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序. 先通过直观判断排序，再根据方差排序. 这两种排序的结果是否一致？
【选自教材第171页 练习 第1题】
解：这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4).
x(1)=6
=0
x(2)=6
=0.4
x(3)=6
=2
x(4)=6
=3.2
根据方差可知，这4组数据按离散程度从小到大排序为(1)<(2)<(3)<(4).这两种排序的结果一致.
甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.
例 1
哪名射击运动员的发挥更稳定？
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
方差越大，数据离散程度越大，发挥就不稳定；
方差越小，数据离散程度越小，发挥就更稳定.
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
x甲 =
9+7+ … +10
10
= 8.7
x乙 =
9+10+ … +9
10
= 8.6
两名运动员射击成绩的方差分别为
(9－8.7)2 + (7－8.7)2 + … + (10－8.7)2
10
=
= 2.41
(9－8.6)2 + (10－8.6)2 + … + (9－8.6)2
10
=
= 1.04
由 可知，乙射击运动员的发挥更稳定.
>
根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度.
【选自教材第171页 练习 第2题】
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
解：甲组跳绳成绩的方差为
(182－172)2 + (194－172)2 + … + (156－172)2
5
=
= 370
x甲
= 172（次/min）
x乙
= 180（次/min）
乙组跳绳成绩的方差为
(199－180)2 + (148－180)2 + … + (141－180)2
5
=
= 1370
由 可知，甲组跳绳成绩的离散程度更小.
<
练 习
1.样本5，6，7，8，9的方差是______.
2.在样本方差的计算公式
中，数字10表示___________，数字20表示___________.
样本容量
样本平均数
2
3.某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10. 若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为______.
3.6
4.若一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x=9，方差s2=6，则另一组数据3x1－2，3x2－2， 3x3－2，…， 3xn－2，的平均数是________，方差是________.
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课堂小结
离差平方和
离差：xi － x ( i ＝1，2，…，n )
公式：
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
d 2 =
公式：
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
n
s 2 =
方差越大（小），数据的波动越大（小）
方差的作用
比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差
方差
课后作业
完成本课对应课时作业.

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