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(共11张PPT)
第十九章　二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
基础达标
能力提升
拓展探究
第2课时　二次根式的混合运算
1.下列计算正确的是(　　).
A. ( =3
B.=2
C.()=+2
D.(-)÷=-1
2.计算:(4-2)÷=　　　　.
D
2
3.(教材改编)计算(-)()的结果是　　　　.
4.在△ABC中,AB=2-1,AB边上的高h=-1,则S△ABC=　　　 　.
5.计算:
(1)(4-6)÷2;
(2)(2-3)();
(3)--(-1)2;
(4)(-)2-(+6)(-6).
-1
解:(1)原式=(4-6)×=2-3.
(2)原式=(2-3)(2+3)=6.
(3)原式=-3-3+2=--3.
(4)原式=-+62=36-2.
6.(教材改编)已知x=-,y=,求代数式x2y+xy2的值.
解:∵x=-,y=+,∴xy=1,x+y=2.
∴x2y+xy2=xy(x+y)=1×2=2.
7.(3-3)的值应在(　　).
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
8.如图,长方形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为(　　)
A. B.2
C.2 D.6
D
B
9.若我们把形如a+b(a,b为有理数,a≠0且为最简二次根式)的数叫作型无理数,如2+3是型无理数,则()2是(　　).
A.型无理数 B.型无理数
C.型无理数 D.型无理数
B
解:
①+②,得 x+x=6,解得x=.
将x=代入①,得 ×-y=7,解得y=-.
∴原方程组的解为
10.解方程组:
11.观察下列式子的变形过程:
====-1;
=-;=-;=-.
利用以上信息,解答下列问题:
(1)填空:=　　　　;
(2)比较-与-的大小,并说明理由;
-　
解:(2)-<-.理由如下:
-=,-=,
∵+>+,
∴<,即-<-.
(3)①原式=-1+-+-+-…-+=-1+=-1+10=9.
②原式=+++…+
=×(-1+-+-+-…-+)
=×(-1+45)=22.
(3)求下列式子的值:
①+…+;
②+…+.(共11张PPT)
第十九章　二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时　二次根式的加减
知识点　二次根式的加减
二次根式的加减法法则:二次根式加减时,先将二次根式　　　　,再将被开方数　　　　的二次根式合并.
简
相同
知识点　二次根式的加减
1.下列二次根式能与合并的是(　　).
A. B. C. D.
2.计算:
(1)4+2=　　　　; (2)-=　　　　;
(3)=　　　　; (4)-=　　　　.
A
6
3.(教材改编)计算:
(1)2-;
(2)-+4;
(3)-15;
(4)(-)- (+3 ).
解:(1)原式=2-2+3=3.
(2)原式=3-5+2=0.
(3)原式=2+3+-5=.
(4)原式=3--3-=2-4.
1.下列计算正确的是(　　).
A.= B.=-5
C.-= D.=3
2.若最简二次根式 可以与 合并,则m的值为(　　).
A.1 B.3 C.2 023 D.2 025
C
C
3.若=,则a和b的值不可能是(　　).
A.a=2,b=2 B.a=,b=
C.a=0,b=8 D.a=4,b=2
4.计算:3-=　　　　.
5.若3-=a-=b,则a+b的值为　　　　.
D
-
11
6.已知三角形的三边长分别为,,,求这个三角形的周长.
解:++=2+3+4=9.
∴这个三角形的周长为9.
7.计算:|2-|+|4-|=(　　).
A.-2 B.2
C.2-6 D.6-2
8.若+2+2x=12,则x的值为　　　　　.
9.计算:(-2)-() =　　　　.
B
2
-1-
10.有一块长方形木板ABCD,采用如图所示的方式,将木板的长AD增加 2 cm,宽AB增加7 cm,得到一个面积为192 cm2的正方形AEFG.
(1)求长方形木板ABCD的面积;
(2)小强想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12 cm2,
宽为 cm的长方形木料,请通过计算说明能否裁出符合
条件的长方形木料;
(3)若从长方形木板ABCD中裁出长为2 cm,宽为1.5 cm的
长方形木条,最多能裁出　　　　根.
解:(1)∵正方形AEFG的边长为=8(cm),
∴AD=8-2=6(cm),AB=8-7=(cm).
∴长方形木板ABCD的面积为6×=18(cm2).
(2)裁出的长方形木料长为12÷=4(cm).
∵4<6,<,
∴能裁出符合条件的长方形木料.
(3)5(共11张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时　二次根式的乘法
知识点一　二次根式的乘法法则
1.·=　　　　(a≥0,b≥0).
知识点二　二次根式乘法法则的逆运用
2.=　　　　(a≥0,b≥0).
·
知识点一　二次根式的乘法法则
1.(教材改编)下列与的计算结果不相等的是(　　).
A.× B. C. D.()2
2.下列二次根式中,与的乘积为有理数的是(　　).
A. B. C. D.
3.计算:(1)×=　　　　; (2)×=　　　　.

D
D
知识点二　二次根式乘法法则的逆运用
4.简:
(1)=　　　　;
(2)=　　　　.
5.计算:
(1);　　 (2)3·5.

18
4
解:(1)原式===×=4.
(2)原式=3×5×=15=15··=15×2a=30a.
1.(广东)计算的结果是(　　).
A.3　　 B.6　　 C.　　 D.2
2.简的结果是(　　).
A.3 B.27
C.3 D.9
B
C
3.下列运算正确的是(　　).
A.= B.9=
C.=18 D.=6
4.若要使得·=成立,则a,b的取值范围是(　　).
A.a≥0或b≥0 B.ab≥0
C.a≥0且b≥0 D.a≤0且b≤0
D
C
5.(教材改编)一个长方形的长和宽分别是和2,求这个长方形的面积.

解:由题意,得这个长方形的面积为×2=2×=2×=2×3=6.
6.(跨学科)“海阔千江辏,风翻大浪随”.海浪的大小与风速和风压有很大的关系,用风速估计风压的通用公式为wp=,其中wp为风压(单位:kN/m2),v为风速(单位:m/s).当风压为0.16 kN/m2时,估计风速为　　　　m/s.
7.能使=·成立的所有整数a的和是　　　　.
16
6
8.计算:
(1)·; (2)2(- ).
解:(1)原式==·=4a2.
(2)原式=2××=-=-4.
9.观察下列等式:
①=2;②=3;③=4;……
(1)猜想第4个等式为　 ;
(2)猜想第n个等式为　 ;
(3)证明(2)中的等式成立.
=5
=
证明:===.(共13张PPT)
第十九章　二次根式
19.1　二次根式及其性质
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第2课时　二次根式的性质
知识点一　二次根式的性质1
1.非负性:≥　　　　(a≥0).
2.一般地,()2=　　　　(a≥0).
知识点二　二次根式的性质2
3.一般地,=　　　　(a≥0).
0
a
a
a
0
-a
4.=|a|=
知识点一　二次根式的性质1
1.计算:
(1)=　　　　; (2)=　　　　;
(3)=　　　　; (4)=　　　　;
(5)=　　　　;(6)=　　　　.
6
0.3
2.已知+(b-4)2=0,求a,b的值.
解:∵≥0,(b-4)2≥0,+(b-4)2=0,
∴=0,(b-4)2=0.
∴a=-3,b=4.
知识点二　二次根式的性质2
3.简:
(1)=　　　　; (2)=　　　　;
(3)-=　　　　; (4)=　　　　;
(5)=　　　　; (6)=　　　　.
6
0.8
-
4-π
4.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,则简的结果等于　　　　.

5.若=2,则x的值为　　　　.
a+1
-1或3
1.(苏州)计算的结果是(　　).
A.　　 B.3　　 C.2　　 D.9
2.(泰州)计算 等于(　　).
A.±2 B.2 C.4 D.
3.已知=0,则xy=　　　　.
4.计算:(-2)2+-=　　　　.
B
B
-15
2
5.(乐山)已知1A.-1 B.1
C.2x-3 D.3-2x
6.代数式+9的最小值为　　　　.
B
9
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,简:
-.
解:∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b+c>a,c原式=+-
=(a+b+c)+(b+c-a)-(a+b-c)
=-a+b+3c.
8.阅读下列解题过程:
若代数式的值是2,求a的取值范围.
解:原式=|a-1|+|a-3|,
当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1(舍去);
当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=2,符合条件;
当a>3时,原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).
∴a的取值范围是1≤a≤3.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述理解,解答下列问题:
(1)当2≤a≤4时,简:=　　　　;
(2)若等式=4成立,求a的取值范围;
(3)若=10,直接写出a的值.

2
解:(2)原式可为|3-a|+|a-7|=4.
①当a<3时,原式=3-a+7-a=10-2a=4,解得a=3(舍去);
②当3≤a≤7时,原式=a-3+7-a=4,符合条件;
③当a>7时,原式=a-3+a-7=2a-10=4,解得a=7(舍去).
∴a的取值范围是3≤a≤7.
(3)a的值为-3或7.提示:原式可为|a+1|+|a-5|=10.
①当a<-1时,原式=(-a-1)+(5-a)=4-2a=10,解得a=-3,符合条件;
②当-1≤a≤5时,原式=(a+1)+(5-a)=6≠10(舍去);
③当a>5时,原式=(a+1)+(a-5)=2a-4=10,解得a=7,符合条件.
综上所述,a的值为-3或7.(共13张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第3课时　最简二次根式
知识点　最简二次根式
我们把满足下述两个条件的二次根式,叫作最简二次根式.
(1)被开方数不含　　　　;
(2)被开方数中不含　　　　　　　　的因数或因式.
知识点　最简二次根式
1.下列式子,是最简二次根式的是(　　).
A. B.
C. D.
2.若(n>1)是最简二次根式,则n的值可以是　　　 　.
(写出一个即可)
3.将为最简二次根式:　　　　.
C
答案不唯一,如:5
4.计算:
(1); (2).

解:(1)==.
(2)×÷===5.
1.下列式子中,是最简二次根式的是(　　).
A. B. C. D.
2.下列等式成立的是(　　).
A.=3 B.=
C.=2 D.=2
C
A
3.(教材改编)已知长方体的体积V=4,高h=,则它的底面积S为(　　).
A. B.2 C.2 D.4
4.的倒数是　　　　.
5.(南京)计算:=　　　　.
C
2
6.计算:·=　　　　(a>0).
7.将二次根式(x,y均为正数)成最简二次根式,结果
为　　　　.
8.在如图所示的方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则方格中M代表的实数为(　　).
A.6
B.2
C.
D.6
B
9.若A=,其中为最简二次根式,A为有理数,n=　　　　.
10.若和都是最简二次根式,
则m=　　　　,n=　　　　.
3
1
2
11.计算:
(1)(-9);
(2)÷( -3 );
(3)· (-) ÷.

解:(1)原式=××=-9.
(2)原式=×÷=-=-.
(3)原式=-××3=-.

12.阅读下列材料并解答问题.
规定(a,b)(a>0,b>0)表示一对数对,给出如下定义:m=,n=.将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”.例如:数对(4,1)的一对“对称数对”为(,1)与(1,).
(1)数对(4,3)的一对“对称数对”为　　　　　　与　　　　　　;
(2)若数对(2,y)的一对“对称数对”相同,求y的值;
(3)若数对(a,b)的一个“对称数对”是(,3),求a,b的值.

( , )
( , ) 　
解:(2)由题意得,m=,n=,
∴数对(2,y)的一对“对称数对”为与.
又数对(2,y)的一对“对称数对”相同,∴=.∴y=.　
(3)∵数对(a,b)的一个“对称数对”是(,3),
∴=,=3或=3,=.
∴a=,b=18或a=,b=5.(共10张PPT)
第十九章　二次根式
19.1　二次根式及其性质
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第1课时　二次根式的概念
知识点　二次根式的概念
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫作　　　　　　.二次根式是代数式.
二次根式
知识点　二次根式的概念
1.下列各式是二次根式的是(　　).
A. B.C. D.
2.当x=2时，二次根式的值是(　　).
A. B.2 C. D.7
3.面积为3π cm2的圆的半径为　　　　cm.
C
A
4.当a满足什么条件时,下列各式在实数范围内有意义
(1);　　　 (2);
(3); (4).

解:(1)由a-7≥0,得a≥7.
(2)由3-9a≥0,得a≤.
(3)∵a2≥0,∴a2+3≥3>0,∴a为任意实数.
(4)由a-1≥0,且a-2≠0,得a≥1且a≠2.
1.若是二次根式,则a的值不能是(　　).　　 　　　　 　　　　 　　
A.1 B.0.01 C.-1 D.0
2.下列式子中,是二次根式的有(　　).
① ;② ;③ ;④ ;⑤ (x≥1).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
B
3.若在实数范围内有意义,则x的取值范围为　　　　.
4.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　　　.

5.(教材改编)要画一个面积为60 cm2的长方形,使它的长与宽之比为4∶3,则它的长、宽各应取多少
解:设长方形的长为4x cm,宽为3x cm.
依题意,得4x·3x=60,12x2=60,x2=5,由边长的实际意义得x=.
∴4x=4,3x=3.
答:长方形的长应取4 cm,宽应取3 cm.
x≥-2
x>2
6.若在实数范围内有意义,则x应满足　　　　　　　　.
7.已知a满足=a,求a-992的值.
解:∵有意义,∴a-100≥0,即a≥100.
∴99-a<0.
∴原等式可为a-99+=a,即=99.
∴a=992+100.
∴a-992=100.
8.【问题背景】请阅读下面例题的解法.
例:已知y=+2 026,求的值.
解:由得x=2 025.
∴y=2 026.∴=.
(1)【尝试应用】若x,y为实数,且y>+2,简:;
(2)【拓展创新】已知b=-a+7,求(a-b)2的值.

解:(1)由题意得解得x=3.
∴y>2.∴1-y<0.
∴==1.
(2)由题意得解得ab=10.
∴b=-a+7,即a+b=7.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×10=9.(共12张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
必备知识导学
关键能力训练
素养分层评价
第2课时　二次根式的除法
知识点一　二次根式的除法法则
1.=　　　　(a≥0,b>0).
知识点二　商的算术平方根的性质
2.=　　　　(a≥0,b>0).
知识点一　二次根式的除法法则
1.计算÷的值是(　　).
A.2 B. C. D.5
2.计算÷□=2,则□中的数为(　　).
A. B. C.3 D.6

D
A
3.(教材改编)计算:
(1);　　　　(2)÷.

解:(1)原式====2.
(2)原式==.
知识点二　商的算术平方根的性质
4.简:(1);　 (2); (3)8; (4)(a>0).
解:(1)原式===10.
(2)原式====.
(3)原式=8×=8×=8×=4.
(4)原式====.
5.已知=成立.
(1)求x的取值范围;
(2)简:.

解:(1)根据题意得解得1≤x<2.
(2)原式===,∵1≤x<2,∴x-1≥0,x-2<0.∴原式=.
1.下列运算错误的是(　　).
A.=2　　 B.=
C.= D.=1
2.计算的结果是(　　).
A.2　　B.4　　 C.3　　D.
D
A
3.若=a,=b,用含a,b的式子表示=　　　　.
4.对于任意不相等的两个正实数a,b(a>b),定义一种新运算a※b=,如3※2==,则12※4=　　　　.
5.计算:
(1);　　　(2) (3);　 (4)(-)÷ .

解:(1)原式==.
(2)原式==1.
(3)原式=÷=====2.
(4)原式= (-1÷ =- =-×6=-20.

6.如图,在数轴上表示数÷(-)的点可能是点(　　).

A.E B.F C.P D.Q
7.若mn>0,m+n<0,则简的结果是(　　).
A.m B.-m C.n D.-n
B
B
8.简:.
解:∵≥0,∴x≤0.∴x-1<0.
∴原式===.

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