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(共14张PPT)
北师大版 八年级下册
☆ 问题解决活动：最短距离
进行新课
问题 如图，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿着城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。已知该地下通道长度为 a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）。
居民区
工厂
a m
理解问题
上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。
居民区
工厂
a m
A(定点)
B(定点)
M(动点)
N(动点)
a
l
如图，A，B 为直线 l 异侧两定点，M，N 为直线 l 上的两动点，且 MN = a (定值)，求 AM + MN + BN 的最小值。
理解问题
拟定计划
（1）你以前遇到过类似的问题吗？
（2）解决这个问题最大的困难是什么？
（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？
（1）写出你的解决方案。
（2）说明你的方案的合理性。
实施计划
A(定点)
B(定点)
l
A′
M(动点)
N(动点)
a
将点A向右平移 a 个单位长度到点 A′.
连接 A′B 交直线 l 于点 N，以点 N 为圆心，a 为半径作弧，交直线 l 于点 M，连接 AM.
AM + MN + BN = A′N + MN + BN ≥ A′B + a，
当 A′，N，B 三点在同一条直线上时，AM + MN + BN 的值最小，最小值为 A′B + MN 的长。
如图，A，B 为直线 l 异侧两定点，M，N 为直线 l 上的两动点，且 MN = a (定值)，求 AM + MN + BN 的最小值。
回顾反思
通过解决上述问题，你获得了哪些经验？你认为解决这类问题的关键是什么？
请你解决下列问题。
1.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直。那么，天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？
甲
乙
A
B
d
a
b
N
M
【教材P105 第1题】
A
B
d
A′
a
b
将点A向下移动d个单位长度到点A′，
连接A′B交直线b于点N，作MN⊥b交直线a于点M，连接AM，
AM+MN+BN=A′N+MN+BN≥A′B+d，
当A′，N，B三点在同一条直线上时，AM+MN+BN的值最小，最小值为A′B+MN的长。
N
M
大门
车间
道路
甲储物点
乙储物点
2. 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新设两个储物点，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂大门后，先到甲储物点取物品，然后沿道路走到乙储物点取物品，最后到道路另一侧的车间。请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短。
这道题与本课研究的问题有什么联系和区别？
【教材P105 第2题】
随堂练习
如图，在长方形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F是AD边上的动点（不与点A，D重合），且EF=2，则BE+EF+CF的最小值为________。
C′
E
F
B′
6
6
6
2+6
在点C左侧取一点C′，使CC′=EF=2，
作点B关于直线AD的对称点B′，连接AB′，B′C′
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
布置作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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