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贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·关岭期末）下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·关岭期末）下面是贵州省人民政府网关于政务服务的个图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·关岭期末）柔性玻璃通常是一种厚度介于的超薄玻璃．我国已成功生产出用于高端折叠屏手机的超薄柔性玻璃，其厚度约为．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·关岭期末）如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·关岭期末）如图是贵州省境内的鸭池河大桥，其拉索、主梁和塔柱形成三角形结构，这样设计是利用了（　　）
A．三角形三条中线的交点是重心 B．两点之间，线段最短
C．等腰三角形三线合一 D．三角形的稳定性
6．（2026八上·关岭期末）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2026八上·关岭期末）若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（　　）
A． B．且
C． D．且
8．（2026八上·关岭期末）如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·关岭期末）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．7
10．（2026八上·关岭期末）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026八上·关岭期末）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．（2026八上·关岭期末）若，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2026八上·关岭期末）分解因式：　 　．
14．（2026八上·关岭期末）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是　 　．
15．（2026八上·关岭期末）一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　．
16．（2026八上·关岭期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为　 　．
17．（2026八上·关岭期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2026八上·关岭期末）如图，是的角平分线．
（1）若，，则边的长度的取值范围是 ；
（2）若，，求和的度数．
19．（2026八上·关岭期末）如图，在四边形中，，，．求证：．
20．（2026八上·关岭期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称．
（1）作出；
（2）若内有一点的坐标为，则内与点关于轴对称的点的坐标是 ．
21．（2026八上·关岭期末）先化简：再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
22．（2026八上·关岭期末）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）过点D作于点M，若，求的长．
23．（2026八上·关岭期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下．
嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元
淇淇 你肯定搞错了
设每支圆珠笔的价格为x 元．
（1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了．
（2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值．
24．（2026八上·关岭期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图是由个长、宽分别为，的长方形和个边长为的正方形拼成的一个大正方形，利用这个图形可以验证一个恒等式，这个恒等式是 ．
（2）请利用图所得的恒等式，解决问题：
①若，，求的值；
②如图，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积之和为，的面积为，求的长．
25．（2026八上·关岭期末）如图，，与相交于点E，．
（1）求证：AC垂直平分BD；
（2）如图2，过点B作交的延长线于点F，若；
①求证：是等边三角形；
②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当的值最小时，写出此时与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：∵分式需分母中含有字母，
选项：是整式，分母无字母；
选项：是整式，分母无字母；
选项：分母含字母，是分式；
选项：分母是数字，无字母，是整式．
∴是分式的选项是．
故选：．
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、找不到对称轴，不是轴对称图形；
、右侧线条有缺口，图形左右不对称，不是轴对称图形；
、图形左右不对称，不是轴对称图形；
、沿竖直中线折叠后，左右两边能完全重合，是轴对称图形．
故选：．
【分析】轴对称图形是在平面内，沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法形式为，其中，为整数，
对于，小数点需向右移动位得到，则，，
故．
故选：．
【分析】科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，为整数.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
．
故选：．
【分析】根据全等三角形性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这样设计是利用了三角形的稳定性，
故选：D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵为中线，
∴，
∵，
∴与的周长之差为
．
故选：B．
【分析】根据三角形的中线性质可得，再根据三角形周长作差即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为，
∴分子且分母，
即应建立的式子是且．
故选：．
【分析】根据分式值为0的条件即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为两根木条的中点，
，，
，
在与中，
，
．
故选：．
【分析】根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即此时两点之间的距离为．
故选：B ．
【分析】连接，由题意可知，，根据补角可得∠BCD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，则现在每分钟进站的旅客人数为3x人，由工作总量除以工作小丑等于工作时间及现在300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程．
11．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线．
垂直平分，
，，，
①、②、④正确，
平分，
，
，
，
．
③正确．
个结论全部正确．
故选：．
【分析】由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线，根据垂直平分线性质可得，，，可判断①②④；根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可判断③.
12．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴．
故选：．
【分析】根据完全平方公式，平方差化简计算即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴射线是的平分线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线判定定理及定义即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
故答案为：．
【分析】根据长方形面积，结合多项式除以单项式即可求出答案.
16．【答案】62
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，
，，
，，
两机箱之间的最大宽度为．
故答案为：62．
【分析】过点作于点，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法，乘法，结合合并同类项法则即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，再合并同类项即可求出答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得∠BAD，再根据角平分线定义可得∠BAC，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
19．【答案】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图即为．
（2）
【知识点】点的坐标；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：关于轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为相反数，
已知点，它关于轴对称的点的坐标为：．
答：．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：如图即为．
（2）解：关于轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为相反数，
已知点，它关于轴对称的点的坐标为：．
答：．
21．【答案】解：原式
，
根据题意可知，要使原分式有意义，则，且，
故令，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入计算即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
则的长为4．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰三角形三线合一性质可得，根据边之间的关系可得FM，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：平分，
，
又，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
则的长为4．
23．【答案】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时购买圆珠笔的数量为（支），
∵购买圆珠笔的数量为整数，
∴不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了；
（2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故整数m的值为3．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时购买圆珠笔的数量为（支），
∵购买圆珠笔的数量为整数，
∴不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了；
（2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故整数m的值为3．
24．【答案】（1）
（2）解：①解：已知，，
，
，
．
答：．
②解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
阴影部分的面积之和为，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
故．
答：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：大正方形边长为，
大正方形面积可表示为，
个长方形的长、宽分别为、，小正方形的边长为，
大正方形面积可表示为，
．
答：．
【分析】（1）根据长方形面积，结合割补法建立代数式即可求出答案.
（2）①根据完全平方公式化简计算即可求出答案.
②设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据阴影部分面积建立方程，结合完全平方公式即可求出答案.
（1）解：大正方形边长为，
大正方形面积可表示为，
个长方形的长、宽分别为、，小正方形的边长为，
大正方形面积可表示为，
．
答：．
（2）①解：已知，，
，
，
．
答：．
②解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
阴影部分的面积之和为，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
故．
答：．
25．【答案】（1）证明：，，
，，
在的垂直平分上，，
，
在的垂直平分上，
垂直平分
（2）①证明：设，
，
，
是的外角，
，
由（1），，
，
，
，
，
，
，即，
则，
，
，
是等边三角形；
②为最小值时，与的数量关系是，
理由：
延长至，使，
，
与关于成轴对称，过作于交于，连接，
，
，此时为最小，
由①知：，即，
即，
在中，，
，
为最小值时，与的数量关系是．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线判定定理及性质即可求出答案.
（2）①设，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，根据直线平行性质可得，则，再根据角之间的关系建立方程，解方程可得，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②延长至，使，过作于交于，连接，根据对称性质可得，根据边之间的关系可得，此时为最小，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
1 / 1贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·关岭期末）下列各式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：∵分式需分母中含有字母，
选项：是整式，分母无字母；
选项：是整式，分母无字母；
选项：分母含字母，是分式；
选项：分母是数字，无字母，是整式．
∴是分式的选项是．
故选：．
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．（2026八上·关岭期末）下面是贵州省人民政府网关于政务服务的个图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、找不到对称轴，不是轴对称图形；
、右侧线条有缺口，图形左右不对称，不是轴对称图形；
、图形左右不对称，不是轴对称图形；
、沿竖直中线折叠后，左右两边能完全重合，是轴对称图形．
故选：．
【分析】轴对称图形是在平面内，沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．（2026八上·关岭期末）柔性玻璃通常是一种厚度介于的超薄玻璃．我国已成功生产出用于高端折叠屏手机的超薄柔性玻璃，其厚度约为．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法形式为，其中，为整数，
对于，小数点需向右移动位得到，则，，
故．
故选：．
【分析】科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，为整数.
4．（2026八上·关岭期末）如图，已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
．
故选：．
【分析】根据全等三角形性质可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．（2026八上·关岭期末）如图是贵州省境内的鸭池河大桥，其拉索、主梁和塔柱形成三角形结构，这样设计是利用了（　　）
A．三角形三条中线的交点是重心 B．两点之间，线段最短
C．等腰三角形三线合一 D．三角形的稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这样设计是利用了三角形的稳定性，
故选：D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
6．（2026八上·关岭期末）如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵为中线，
∴，
∵，
∴与的周长之差为
．
故选：B．
【分析】根据三角形的中线性质可得，再根据三角形周长作差即可求出答案.
7．（2026八上·关岭期末）若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为，
∴分子且分母，
即应建立的式子是且．
故选：．
【分析】根据分式值为0的条件即可求出答案.
8．（2026八上·关岭期末）如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：为两根木条的中点，
，，
，
在与中，
，
．
故选：．
【分析】根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．（2026八上·关岭期末）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　）
A．3 B．6 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即此时两点之间的距离为．
故选：B ．
【分析】连接，由题意可知，，根据补角可得∠BCD，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
10．（2026八上·关岭期末）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，则现在每分钟进站的旅客人数为3x人，由工作总量除以工作小丑等于工作时间及现在300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程．
11．（2026八上·关岭期末）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线．
垂直平分，
，，，
①、②、④正确，
平分，
，
，
，
．
③正确．
个结论全部正确．
故选：．
【分析】由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线，根据垂直平分线性质可得，，，可判断①②④；根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可判断③.
12．（2026八上·关岭期末）若，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴．
故选：．
【分析】根据完全平方公式，平方差化简计算即可求出答案.
13．（2026八上·关岭期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．（2026八上·关岭期末）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴射线是的平分线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线判定定理及定义即可求出答案.
15．（2026八上·关岭期末）一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
故答案为：．
【分析】根据长方形面积，结合多项式除以单项式即可求出答案.
16．（2026八上·关岭期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为　 　．
【答案】62
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作于点，
，，
，，
两机箱之间的最大宽度为．
故答案为：62．
【分析】过点作于点，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质，结合边之间的关系即可求出答案.
17．（2026八上·关岭期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法，乘法，结合合并同类项法则即可求出答案.
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，再合并同类项即可求出答案.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（2026八上·关岭期末）如图，是的角平分线．
（1）若，，则边的长度的取值范围是 ；
（2）若，，求和的度数．
【答案】（1）
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得∠BAD，再根据角平分线定义可得∠BAC，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
19．（2026八上·关岭期末）如图，在四边形中，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
20．（2026八上·关岭期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称．
（1）作出；
（2）若内有一点的坐标为，则内与点关于轴对称的点的坐标是 ．
【答案】（1）解：如图即为．
（2）
【知识点】点的坐标；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：关于轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为相反数，
已知点，它关于轴对称的点的坐标为：．
答：．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：如图即为．
（2）解：关于轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为相反数，
已知点，它关于轴对称的点的坐标为：．
答：．
21．（2026八上·关岭期末）先化简：再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式
，
根据题意可知，要使原分式有意义，则，且，
故令，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入计算即可求出答案.
22．（2026八上·关岭期末）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）过点D作于点M，若，求的长．
【答案】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
则的长为4．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰三角形三线合一性质可得，根据边之间的关系可得FM，再根据等腰直角三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：平分，
，
又，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
则的长为4．
23．（2026八上·关岭期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下．
嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元
淇淇 你肯定搞错了
设每支圆珠笔的价格为x 元．
（1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了．
（2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值．
【答案】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时购买圆珠笔的数量为（支），
∵购买圆珠笔的数量为整数，
∴不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了；
（2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故整数m的值为3．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时购买圆珠笔的数量为（支），
∵购买圆珠笔的数量为整数，
∴不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了；
（2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，
解得，
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故整数m的值为3．
24．（2026八上·关岭期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图是由个长、宽分别为，的长方形和个边长为的正方形拼成的一个大正方形，利用这个图形可以验证一个恒等式，这个恒等式是 ．
（2）请利用图所得的恒等式，解决问题：
①若，，求的值；
②如图，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积之和为，的面积为，求的长．
【答案】（1）
（2）解：①解：已知，，
，
，
．
答：．
②解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
阴影部分的面积之和为，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
故．
答：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：大正方形边长为，
大正方形面积可表示为，
个长方形的长、宽分别为、，小正方形的边长为，
大正方形面积可表示为，
．
答：．
【分析】（1）根据长方形面积，结合割补法建立代数式即可求出答案.
（2）①根据完全平方公式化简计算即可求出答案.
②设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据阴影部分面积建立方程，结合完全平方公式即可求出答案.
（1）解：大正方形边长为，
大正方形面积可表示为，
个长方形的长、宽分别为、，小正方形的边长为，
大正方形面积可表示为，
．
答：．
（2）①解：已知，，
，
，
．
答：．
②解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，
阴影部分的面积之和为，
，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
故．
答：．
25．（2026八上·关岭期末）如图，，与相交于点E，．
（1）求证：AC垂直平分BD；
（2）如图2，过点B作交的延长线于点F，若；
①求证：是等边三角形；
②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当的值最小时，写出此时与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：，，
，，
在的垂直平分上，，
，
在的垂直平分上，
垂直平分
（2）①证明：设，
，
，
是的外角，
，
由（1），，
，
，
，
，
，
，即，
则，
，
，
是等边三角形；
②为最小值时，与的数量关系是，
理由：
延长至，使，
，
与关于成轴对称，过作于交于，连接，
，
，此时为最小，
由①知：，即，
即，
在中，，
，
为最小值时，与的数量关系是．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线判定定理及性质即可求出答案.
（2）①设，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，根据直线平行性质可得，则，再根据角之间的关系建立方程，解方程可得，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②延长至，使，过作于交于，连接，根据对称性质可得，根据边之间的关系可得，此时为最小，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
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