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贵州省黔东南州2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试卷
1．（2026九上·黔东南期末）随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2026九上·黔东南期末）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径是，点是外一点，
∴；
∴的长可能是．
故答案为：D
【分析】根据点与圆的位置关系结合题意得到，进而对比选项即可求解。
3．（2026九上·黔东南期末）经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是随机事件，
故选：A．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．（2026九上·黔东南期末）关于的方程的一根为1，则的值为（　　）
A．6 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的根，
∴ 代入得，
即，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
5．（2026九上·黔东南期末）如图，点A关于原点的中心对称点是（　　）
A．点P B．点Q C．点K D．点R
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图知A点的坐标为
∴A关于原点的中心对称点，即K点．
故选：C．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
6．（2026九上·黔东南期末）抛物线的对称轴是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线方程为，其中，，
∴对称轴为，
故对称轴为，
故选：A．
【分析】根据对称轴公式即可求出答案.
7．（2026九上·黔东南期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
故选D．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
8．（2026九上·黔东南期末）如图，是的直径，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】根据圆周角定理的推论可得，根据同弧所对的圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．（2026九上·黔东南期末）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
故选B．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
10．（2026九上·黔东南期末）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意由垂径定理的推论可得，
∴，
∵铅球半径，
∴，
在中，
，
∴，
故选：C．
【分析】根据垂径定理的推论可得，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
11．（2026九上·黔东南期末）近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：月产值为万元，月均增长率为，月产值为万元，
根据题意，，
故选：．
【分析】设月均增长率为，则经过两个月增长后产值变为初始值的倍，建立方程即可求出答案.
12．（2026九上·黔东南期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，
当时，y取最大值4，
需满足，
即，
当时，，
解得或，
直线与抛物线的交点为和，
为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于，
，
结合，
可得．
故选：B．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．（2026九上·黔东南期末）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是关于的二次函数，
∴二次项系数，解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
14．（2026九上·黔东南期末）如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是　 　（写出一个符合题意的数即可）．
【答案】
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合，
∴n可以为（或或或）．
故答案为：（或或或）（答案不唯一）．
【分析】根据正多边形性质，结合旋转性质即可求出答案.
15．（2026九上·黔东南期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是　 　（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中选择一个填空）
【答案】白球
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为，
∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为，
∴该球的颜色最有可能是白球，
故答案为：白球．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
16．（2026九上·黔东南期末）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，延长到，使，连接，如图所示：
则，
在中，，
∴，
∵点是的内心，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，延长到，使，连接，则，根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB，根据三角形内心性质可得，，则，再根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠BOD，再根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
17．（2026九上·黔东南期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或
，

（2）解：
或
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：
或
，
（2）
或
，
18．（2026九上·黔东南期末）2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题．
（1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ．
（2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率．
【答案】（1）
（2）解：小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表：
A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录
A．抗战英雄事迹
B．阅兵装备科普
C．强军精神语录
由表格可得共9种等可能结果，
则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种，
∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个，
∴小明抽到该主题的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个，
∴小明抽到该主题的概率为，
故答案为：；
（2）解：小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表：
A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录
A．抗战英雄事迹
B．阅兵装备科普
C．强军精神语录
由表格可得共9种等可能结果，
则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种，
∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为．
19．（2026九上·黔东南期末）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点．
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长．
【答案】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
线段交于点，如图所示，
∴点即为所求圆心．
（2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角，
∴，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，线段交于点，即点即为所求圆心.
（2）圆形轮片的直径为，圆心角，再根据弧长公式即可求出答案.
20．（2026九上·黔东南期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，
．
答：的长为2．
（2）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
，
．
答：的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AB，再根据旋转性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC，再根据旋转性质可得，，，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ADB，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，
．
答：的长为2．
（2）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
，
．
答：的度数为．
21．（2026九上·黔东南期末）为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行跑道的宽度为x米．
（1）新场地的长为______米，宽为______米；（用含x的代数式表示）
（2）若新场地的总面积为320平方米，求步行跑道的宽度．
【答案】（1），
（2）解：依题意，新场地的长为米，宽为米
∵新场地的总面积为320平方米，
∴，
整理得，
解得（舍去）
∴步行跑道的宽度为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米．
∴新场地的长为米，宽为米，
故答案为：，
【分析】（1）根据题意建立代数式即可求出答案.
（2）依题意，新场地的长为米，宽为米，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米．
∴新场地的长为米，宽为米，
（2）解：依题意，新场地的长为米，宽为米
∵新场地的总面积为320平方米，
∴，
整理得，
解得（舍去）
∴步行跑道的宽度为2米．
22．（2026九上·黔东南期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】（1），，
（2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或．
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为，；
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（3）解：由得，，即，
∵直线与二次函数有两个公共点，
∴，
解得，
∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征将x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）联立两函数解析式，可得，根据直线与二次函数有两个公共点，则判别式，解不等式即可求出答案.
（1）解：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为，；
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或．
（3）解：由得，，即，
∵直线与二次函数有两个公共点，
∴，
解得，
∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是．
23．（2026九上·黔东南期末）如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线．
（1）______（写出一个与相等的角）；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求的半径．
【答案】（1）
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
连接，
，
．
，
．
是的切线，
，即，
在中，，
，
，
，
∴是等腰三角形．
（3）解：在中，，，，
．
．
设的半径为r，则，，
在中，
．
解得．
即的半径为3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：由对顶角相等可得．
故答案为：．
【分析】（1）根据对顶角相等即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，则，根据切线性质可得，即，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得BC，设的半径为r，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由对顶角相等可得．
故答案为：．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
连接，
，
．
，
．
是的切线，
，即，
在中，，
，
，
，
∴是等腰三角形．
（3）解：在中，，，，
．
．
设的半径为r，则，，
在中，
．
解得．
即的半径为3．
24．（2026九上·黔东南期末）在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，
则，
解得，，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
．
根据题意，设抛物线的解析式为，，
将代入得，，
解得，，
抛物线的解析式为，
当时，，
点M到地面的距离为米．
（3）解：由题意得，，，
则点和点关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的顶点的横坐标为，
又抛物线的顶点的纵坐标为，
抛物线的解析式为，
将代入得，，
整理得，，
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）；
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）．
且，
当时，．
答：当时，m的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，设抛物线的解析式为，，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，再将x=3代入解析式即可求出答案.
（3）由题意得，，，根据对称性质可得抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的解析式为，再将点C坐标代入解析式可得，再将n=2，代入解析式即可求出答案.
（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，
则，
解得，，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
．
根据题意，设抛物线的解析式为，，
将代入得，，
解得，，
抛物线的解析式为，
当时，，
点M到地面的距离为米．
（3）解：由题意得，，，
则点和点关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的顶点的横坐标为，
又抛物线的顶点的纵坐标为，
抛物线的解析式为，
将代入得，，
整理得，，
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）；
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）．
且，
当时，．
答：当时，m的取值范围是．
25．（2026九上·黔东南期末）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长．
【答案】（1），，
（2）；
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
（3）线段的长为或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：（1），；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
则，即；
（3）过点C作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
若点E在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
若点E在的延长线上时，
同理，，
∴，
同理，，
综上，线段的长为或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，则，再根据旋转性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，由旋转得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作于点H，根据矩形性质可得，，，根据勾股定理可得BD，再根据三角形面积可得CH，根据勾股定理可得DH，分情况讨论：若点E在线段上，根据边之间的关系可得EH，根据旋转性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案；若点E在的延长线上时，根据边之间的关系可得EH，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1贵州省黔东南州2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试卷
1．（2026九上·黔东南期末）随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·黔东南期末）已知的半径是，点P是外一点，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·黔东南期末）经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是（　　）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
4．（2026九上·黔东南期末）关于的方程的一根为1，则的值为（　　）
A．6 B．4 C． D．
5．（2026九上·黔东南期末）如图，点A关于原点的中心对称点是（　　）
A．点P B．点Q C．点K D．点R
6．（2026九上·黔东南期末）抛物线的对称轴是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·黔东南期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·黔东南期末）如图，是的直径，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·黔东南期末）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2026九上·黔东南期末）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
11．（2026九上·黔东南期末）近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2026九上·黔东南期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2026九上·黔东南期末）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是　 　．
14．（2026九上·黔东南期末）如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是　 　（写出一个符合题意的数即可）．
15．（2026九上·黔东南期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是　 　（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中选择一个填空）
16．（2026九上·黔东南期末）如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为　 　．
17．（2026九上·黔东南期末）解方程：
（1）
（2）
18．（2026九上·黔东南期末）2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题．
（1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ．
（2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率．
19．（2026九上·黔东南期末）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点．
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长．
20．（2026九上·黔东南期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接．
（1）若，，求的长；
（2）若，求的度数．
21．（2026九上·黔东南期末）为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行跑道的宽度为x米．
（1）新场地的长为______米，宽为______米；（用含x的代数式表示）
（2）若新场地的总面积为320平方米，求步行跑道的宽度．
22．（2026九上·黔东南期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围．
23．（2026九上·黔东南期末）如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线．
（1）______（写出一个与相等的角）；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若，，求的半径．
24．（2026九上·黔东南期末）在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围．
25．（2026九上·黔东南期末）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径是，点是外一点，
∴；
∴的长可能是．
故答案为：D
【分析】根据点与圆的位置关系结合题意得到，进而对比选项即可求解。
3．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是随机事件，
故选：A．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的根，
∴ 代入得，
即，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图知A点的坐标为
∴A关于原点的中心对称点，即K点．
故选：C．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线方程为，其中，，
∴对称轴为，
故对称轴为，
故选：A．
【分析】根据对称轴公式即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
故选D．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】根据圆周角定理的推论可得，根据同弧所对的圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
故选B．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意由垂径定理的推论可得，
∴，
∵铅球半径，
∴，
在中，
，
∴，
故选：C．
【分析】根据垂径定理的推论可得，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：月产值为万元，月均增长率为，月产值为万元，
根据题意，，
故选：．
【分析】设月均增长率为，则经过两个月增长后产值变为初始值的倍，建立方程即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，
当时，y取最大值4，
需满足，
即，
当时，，
解得或，
直线与抛物线的交点为和，
为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于，
，
结合，
可得．
故选：B．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数是关于的二次函数，
∴二次项系数，解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴此图案绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合，
∴n可以为（或或或）．
故答案为：（或或或）（答案不唯一）．
【分析】根据正多边形性质，结合旋转性质即可求出答案.
15．【答案】白球
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为，
∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为，
∴该球的颜色最有可能是白球，
故答案为：白球．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，延长到，使，连接，如图所示：
则，
在中，，
∴，
∵点是的内心，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，延长到，使，连接，则，根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB，根据三角形内心性质可得，，则，再根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠BOD，再根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
或
，

（2）解：
或
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：
或
，
（2）
或
，
18．【答案】（1）
（2）解：小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表：
A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录
A．抗战英雄事迹
B．阅兵装备科普
C．强军精神语录
由表格可得共9种等可能结果，
则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种，
∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个，
∴小明抽到该主题的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个，
∴小明抽到该主题的概率为，
故答案为：；
（2）解：小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表：
A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录
A．抗战英雄事迹
B．阅兵装备科普
C．强军精神语录
由表格可得共9种等可能结果，
则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种，
∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为．
19．【答案】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接；
线段交于点，如图所示，
∴点即为所求圆心．
（2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角，
∴，
∴，
∴弧的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，线段交于点，即点即为所求圆心.
（2）圆形轮片的直径为，圆心角，再根据弧长公式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，
．
答：的长为2．
（2）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
，
．
答：的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AB，再根据旋转性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC，再根据旋转性质可得，，，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ADB，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，
．
答：的长为2．
（2）解：在中，，，
．
绕点A顺时针旋转得到，
，，，
，
．
答：的度数为．
21．【答案】（1），
（2）解：依题意，新场地的长为米，宽为米
∵新场地的总面积为320平方米，
∴，
整理得，
解得（舍去）
∴步行跑道的宽度为2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米．
∴新场地的长为米，宽为米，
故答案为：，
【分析】（1）根据题意建立代数式即可求出答案.
（2）依题意，新场地的长为米，宽为米，根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米．
∴新场地的长为米，宽为米，
（2）解：依题意，新场地的长为米，宽为米
∵新场地的总面积为320平方米，
∴，
整理得，
解得（舍去）
∴步行跑道的宽度为2米．
22．【答案】（1），，
（2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或．
（3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为，；
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（3）解：由得，，即，
∵直线与二次函数有两个公共点，
∴，
解得，
∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征将x=0，y=0代入解析式即可求出答案.
（2）当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）联立两函数解析式，可得，根据直线与二次函数有两个公共点，则判别式，解不等式即可求出答案.
（1）解：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为，；
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或．
（3）解：由得，，即，
∵直线与二次函数有两个公共点，
∴，
解得，
∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是．
23．【答案】（1）
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
连接，
，
．
，
．
是的切线，
，即，
在中，，
，
，
，
∴是等腰三角形．
（3）解：在中，，，，
．
．
设的半径为r，则，，
在中，
．
解得．
即的半径为3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：由对顶角相等可得．
故答案为：．
【分析】（1）根据对顶角相等即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，则，根据切线性质可得，即，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得BC，设的半径为r，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由对顶角相等可得．
故答案为：．
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
连接，
，
．
，
．
是的切线，
，即，
在中，，
，
，
，
∴是等腰三角形．
（3）解：在中，，，，
．
．
设的半径为r，则，，
在中，
．
解得．
即的半径为3．
24．【答案】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，
则，
解得，，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
．
根据题意，设抛物线的解析式为，，
将代入得，，
解得，，
抛物线的解析式为，
当时，，
点M到地面的距离为米．
（3）解：由题意得，，，
则点和点关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的顶点的横坐标为，
又抛物线的顶点的纵坐标为，
抛物线的解析式为，
将代入得，，
整理得，，
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）；
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）．
且，
当时，．
答：当时，m的取值范围是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，设抛物线的解析式为，，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线的解析式为，再将x=3代入解析式即可求出答案.
（3）由题意得，，，根据对称性质可得抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的解析式为，再将点C坐标代入解析式可得，再将n=2，代入解析式即可求出答案.
（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，
则，
解得，，
抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
．
根据题意，设抛物线的解析式为，，
将代入得，，
解得，，
抛物线的解析式为，
当时，，
点M到地面的距离为米．
（3）解：由题意得，，，
则点和点关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的顶点的横坐标为，
又抛物线的顶点的纵坐标为，
抛物线的解析式为，
将代入得，，
整理得，，
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）；
当时，即，
解得，或（不符合题意，舍去）．
且，
当时，．
答：当时，m的取值范围是．
25．【答案】（1），，
（2）；
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
（3）线段的长为或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：（1），；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
则，即；
（3）过点C作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
若点E在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
若点E在的延长线上时，
同理，，
∴，
同理，，
综上，线段的长为或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，则，再根据旋转性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，由旋转得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作于点H，根据矩形性质可得，，，根据勾股定理可得BD，再根据三角形面积可得CH，根据勾股定理可得DH，分情况讨论：若点E在线段上，根据边之间的关系可得EH，根据旋转性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案；若点E在的延长线上时，根据边之间的关系可得EH，再根据勾股定理即可求出答案.
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