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贵州省遵义市红花岗区2025-2026学年八年级上学期期末测试数学试题
1．（2026八上·红花岗期末）下列四个表示数或式子关系的符号中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·红花岗期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·红花岗期末）物理课上，某同学做探究平面镜成像特点的实验，如图放置平面镜，若蜡烛火焰上点S在平面直角坐标系中的坐标为，则眼睛看到的镜像的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·红花岗期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（　　）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点
5．（2026八上·红花岗期末）化简结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·红花岗期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·红花岗期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2026八上·红花岗期末）“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，平分，，则点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·红花岗期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（　　）
的值
的值 无意义
A． B． C． D．
11．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长度为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
12．（2026八上·红花岗期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（　　）
A．30 B． C．78 D．
13．（2026八上·红花岗期末）　 　．
14．（2026八上·红花岗期末）红花岗区空气质量监测数据显示，平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为克/立方米，则　 　．
15．（2026八上·红花岗期末）如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为　 　．
16．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，，，、、分别是线段、、上的动点，连接、、，当的周长最小时，　 　．
17．（2026八上·红花岗期末）（1）计算：
（2）解方程：
18．（2026八上·红花岗期末）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式 第一步
第二步
第三步
＝0 第四步
（1）小明的化简过程中第　 　步开始出现错误．
（2）请写出该分式化简的正确过程，并把x＝2代入求值．
19．（2026八上·红花岗期末）如图，点是外一点，连接、，与交于点，下列条件：
；；．
（1）请从中选取两个合适的作为已知条件，证明余下的一个成立．
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．
20．（2026八上·红花岗期末）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，的三个顶点均在格点上，且坐标分别为点．
（1）根据A、B、C的坐标描点画出．
（2）画出关于x轴对称的．
（3）求出的面积．
21．（2026八上·红花岗期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的公式是 （填序号）．
①
②
③
（2）请应用上面的公式完成下列各题：
①若，，则 ．
②计算：
22．（2026八上·红花岗期末）遵义湄潭县是“中国茶业百强县”，某茶厂包装茶叶，种机器每分钟比种机器多包装盒；种机器包装盒的时间与种机器包装盒的时间相同．
在计算两种机器每分钟各包装多少盒时，嘉嘉和琪琪分别给出部分解答过程：
嘉嘉：列出方程；
琪琪：解：设种机器每分钟包装盒，则种机器每分钟包装 盒，列得方程 ．
请完成下列问题：
（1）根据嘉嘉所列方程，的实际意义是 ；
（2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路求出两种机器每分钟各包装多少盒．
23．（2026八上·红花岗期末）定义：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．
（1）如图1，已知，分别以A为圆心为半径、C为圆心为半径在右侧画弧，两弧交于点D；连接．求证：四边形是筝形．
（2）如图2，在（1）的条件下，对角线交于点O，，求筝形的面积．
（3）如图3，在中，，，点D、E分别在线段上，连接．当以A、B、D、E为顶点的四边形是筝形时，直接写出的长．
24．（2026八上·红花岗期末）综合实践
探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成．
计算发现 （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ．
尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明．
发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值．
25．（2026八上·红花岗期末）如图，线段射线，，在上有一点D（不与A、B重合）．在射线上点A的左侧取点E，使，连接，延长交于F．
【操作】
（1）依题意补全图形；
【初探】
（2）探究与的位置关系；
【深研】
（3）过点A作于G，猜想的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2+3<6，不能构成三角形，不符合题意；
B：三边相等可以构成三角形， 符合题意；
C：3+4<8，不能构成三角形， 不符合题意；
D：3+4=7，不等构成三角形， 不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案。
3．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，点与点关于轴对称，
火焰顶部点的坐标是，
眼睛看到的镜像点的坐标是．
故选：D．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点，
故选：．
【分析】根据三角形的重心性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；约分
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】根据平方差公式将分子化简，再进行约分即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：根据乘方的定义可知，故A选项正确；
B选项：根据同底数的乘法法则可知，故B选项错误；
C选项：根据幂的乘方运算法则可知，故C选项错误；
D选项：根据积的乘方的法则可知，故D选项错误．
故选：A．
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，由三角板可知，，
，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：，，
的依据是“”，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
平分，，
，
点到的距离是.
故选：C．
【分析】过点作，根据角平分线性质即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意；
B选项：分式的分母为，当时，分式无意义，
当时，，
当时，，
当时，，
故B选项符合题意；
C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意；
D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据垂直平分线性质可得DA，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：C
【分析】根据折叠性质可得，根据长方形性质可得，，则，根据等角对等边可得，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据单项式除以单项式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
则．
故答案为：．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵恰为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得，，根据等角对等边可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，
由轴对称的性质可知，，，
∴，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
由线段公理可得，，
当、、、四点共线时，取得最小值，
∵，，
∴的最小值为，即的周长最小值为，
∵，
∴，
∵，
∴当，即点与点重合时，取得最小值，
综上所述，当、、、四点共线，且时，的周长最小，最小值为；
当、、、四点共线，且时，如图，此时，
∵，，
∴，，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，根据轴对称性质可得，，则，，，，，，根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AH，再根据边之间的关系可得E1H，再根据勾股定理可得E1E2，根据边之间的关系可得，当、、、四点共线时，取得最小值，则的最小值为，即的周长最小值为，根据三角形面积可得AG，当，即点与点重合时，取得最小值，当、、、四点共线，且时，的周长最小，最小值为，当、、、四点共线，且时，此时，根据全等三角形性质可得，，结合三角形面积即可求出答案.
17．【答案】解：（1）；
（2）∵，
去分母得
解得：
检验：当时，，
∴原分式方程的解为
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）二
（2）解：
；
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】（1）解：第二步，去括号时，没有变号．
故答案为：二．
【分析】（1）根据去括号法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
（1）解：第二步，去括号时，没有变号．
故答案为：二．
（2）解：
；
当时，原式．
19．【答案】（1）解：情况一：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
情况二：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
在中，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）情况一：选择为条件，为结论，情况二：选择为条件，为结论，结合全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，根据三角形内角和定理可得∠ABD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：情况一：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
情况二：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
在中，，
．
20．【答案】（1）解：如图所示，为所求：
（2）解：如图所示，为所求：
（3）解：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据点的坐标在直角坐标系中标出位置，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，为所求：
（2）解：如图所示，为所求：
（3）解：．
21．【答案】（1）②
（2）①
②解：
．

【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
【分析】（1）根据拼接前后阴影的面积不变，结合正方形，平行四边形面积即可求出答案.
（2）①根据平方差公式化简等号坐标，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
②解：
．
22．【答案】（1）种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
（2）解：设种机器每分钟包装盒，则机器每分钟包装盒，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合实际，
，
答：种机器每分钟包装盒，种机器每分钟包装盒，
故答案为：，．
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据嘉嘉所列方程，的实际意义是种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟，
故答案为：种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
【分析】（）根据嘉嘉所列方程，的实际意义是种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
（）设种机器每分钟包装盒，则机器每分钟包装盒，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：根据嘉嘉所列方程，的实际意义是种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟，
故答案为：种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
（2）解：设种机器每分钟包装盒，则机器每分钟包装盒，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合实际，
，
答：种机器每分钟包装盒，种机器每分钟包装盒，
故答案为：，．
23．【答案】（1）证明：由作图可得，
∵，
∴，
∴，即四边形的对角线平分，
∴四边形是筝形；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴筝形的面积为；
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图，连接，当平分时，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∵，，
∴，
∴；
如图，当平分时，则，
同理，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵；
综上，的长为或．
【分析】（1）由作图可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即四边形的对角线平分，再根据筝形定义即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，即，再结合三角形面积即可求出答案.
（3）分情况讨论：连接，当平分时，则，根据角平分线定义可得∠BAD，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案；当平分时，则，同理，得，，根据三角形内角和定理可得∠DEB，再根据角之间的关系可得∠CED，再根据等角对等边及边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：由作图可得，
∵，
∴，
∴，即四边形的对角线平分，
∴四边形是筝形；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴筝形的面积为；
（3）解：如图，连接，当平分时，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∵，，
∴，
∴；
如图，当平分时，则，
同理，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵；
综上，的长为或．
24．【答案】解：（），，；
（）设，则，，，
，
∴的结果是定值；
（）∵，，
∴，
∵，
∴（负值已舍去），
联立，解得：，
∴，，
答：的值分别为．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（）根据题意可得：，，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据日历特征计算即可求出答案.
（2）设，则，，，代入代数式，结合多项式乘多项式，单项式乘多项式化简计算即可求出答案.
（3）根据完全平方公式可得2ab，a+b，联立方程组，解方程组即可求出答案.
25．【答案】解：（1）如图所示：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在上取点M使，连接
由（2）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
即，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）在上取点M使，连接，根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠FAM，再根据等腰直角三角形判定定理可得和都是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1贵州省遵义市红花岗区2025-2026学年八年级上学期期末测试数学试题
1．（2026八上·红花岗期末）下列四个表示数或式子关系的符号中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.
2．（2026八上·红花岗期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：2+3<6，不能构成三角形，不符合题意；
B：三边相等可以构成三角形， 符合题意；
C：3+4<8，不能构成三角形， 不符合题意；
D：3+4=7，不等构成三角形， 不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案。
3．（2026八上·红花岗期末）物理课上，某同学做探究平面镜成像特点的实验，如图放置平面镜，若蜡烛火焰上点S在平面直角坐标系中的坐标为，则眼睛看到的镜像的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，点与点关于轴对称，
火焰顶部点的坐标是，
眼睛看到的镜像点的坐标是．
故选：D．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．（2026八上·红花岗期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（　　）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点，
故选：．
【分析】根据三角形的重心性质即可求出答案.
5．（2026八上·红花岗期末）化简结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；约分
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】根据平方差公式将分子化简，再进行约分即可求出答案.
6．（2026八上·红花岗期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项：根据乘方的定义可知，故A选项正确；
B选项：根据同底数的乘法法则可知，故B选项错误；
C选项：根据幂的乘方运算法则可知，故C选项错误；
D选项：根据积的乘方的法则可知，故D选项错误．
故选：A．
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
7．（2026八上·红花岗期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，由三角板可知，，
，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
8．（2026八上·红花岗期末）“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：，，
的依据是“”，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，平分，，则点到的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示，过点作，
平分，，
，
点到的距离是.
故选：C．
【分析】过点作，根据角平分线性质即可求出答案.
10．（2026八上·红花岗期末）已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（　　）
的值
的值 无意义
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意；
B选项：分式的分母为，当时，分式无意义，
当时，，
当时，，
当时，，
故B选项符合题意；
C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意；
D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
11．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长度为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BD，再根据垂直平分线性质可得DA，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．（2026八上·红花岗期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（　　）
A．30 B． C．78 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得：，
∵四边形是长方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：C
【分析】根据折叠性质可得，根据长方形性质可得，，则，根据等角对等边可得，再根据三角形面积即可求出答案.
13．（2026八上·红花岗期末）　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据单项式除以单项式即可求出答案.
14．（2026八上·红花岗期末）红花岗区空气质量监测数据显示，平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为克/立方米，则　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
则．
故答案为：．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
15．（2026八上·红花岗期末）如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵恰为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得，，根据等角对等边可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2026八上·红花岗期末）如图，在中，，，，、、分别是线段、、上的动点，连接、、，当的周长最小时，　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，
由轴对称的性质可知，，，
∴，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
由线段公理可得，，
当、、、四点共线时，取得最小值，
∵，，
∴的最小值为，即的周长最小值为，
∵，
∴，
∵，
∴当，即点与点重合时，取得最小值，
综上所述，当、、、四点共线，且时，的周长最小，最小值为；
当、、、四点共线，且时，如图，此时，
∵，，
∴，，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】分别作点关于、的对称点、，连接、、、、、，作，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，根据轴对称性质可得，，则，，，，，，根据角之间的关系可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AH，再根据边之间的关系可得E1H，再根据勾股定理可得E1E2，根据边之间的关系可得，当、、、四点共线时，取得最小值，则的最小值为，即的周长最小值为，根据三角形面积可得AG，当，即点与点重合时，取得最小值，当、、、四点共线，且时，的周长最小，最小值为，当、、、四点共线，且时，此时，根据全等三角形性质可得，，结合三角形面积即可求出答案.
17．（2026八上·红花岗期末）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1）；
（2）∵，
去分母得
解得：
检验：当时，，
∴原分式方程的解为
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．（2026八上·红花岗期末）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式 第一步
第二步
第三步
＝0 第四步
（1）小明的化简过程中第　 　步开始出现错误．
（2）请写出该分式化简的正确过程，并把x＝2代入求值．
【答案】（1）二
（2）解：
；
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】（1）解：第二步，去括号时，没有变号．
故答案为：二．
【分析】（1）根据去括号法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
（1）解：第二步，去括号时，没有变号．
故答案为：二．
（2）解：
；
当时，原式．
19．（2026八上·红花岗期末）如图，点是外一点，连接、，与交于点，下列条件：
；；．
（1）请从中选取两个合适的作为已知条件，证明余下的一个成立．
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．
【答案】（1）解：情况一：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
情况二：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
在中，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）情况一：选择为条件，为结论，情况二：选择为条件，为结论，结合全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，，根据三角形内角和定理可得∠ABD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：情况一：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
情况二：选择为条件，为结论，
证明：在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
，，
在中，，
．
20．（2026八上·红花岗期末）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，的三个顶点均在格点上，且坐标分别为点．
（1）根据A、B、C的坐标描点画出．
（2）画出关于x轴对称的．
（3）求出的面积．
【答案】（1）解：如图所示，为所求：
（2）解：如图所示，为所求：
（3）解：．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据点的坐标在直角坐标系中标出位置，再依次连接即可求出答案.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，为所求：
（2）解：如图所示，为所求：
（3）解：．
21．（2026八上·红花岗期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的公式是 （填序号）．
①
②
③
（2）请应用上面的公式完成下列各题：
①若，，则 ．
②计算：
【答案】（1）②
（2）①
②解：
．

【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
【分析】（1）根据拼接前后阴影的面积不变，结合正方形，平行四边形面积即可求出答案.
（2）①根据平方差公式化简等号坐标，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（1）解：由图可知，阴影部分的面积为，
如下图所示，图中平行四边形的高为，底为，
平行四边形的面积为，
拼接前后阴影部分的面积没有变化，
，
能验证的公式是②，
故答案为②；
（2）①解：，，，
∴
，
故答案为：；
②解：
．
22．（2026八上·红花岗期末）遵义湄潭县是“中国茶业百强县”，某茶厂包装茶叶，种机器每分钟比种机器多包装盒；种机器包装盒的时间与种机器包装盒的时间相同．
在计算两种机器每分钟各包装多少盒时，嘉嘉和琪琪分别给出部分解答过程：
嘉嘉：列出方程；
琪琪：解：设种机器每分钟包装盒，则种机器每分钟包装 盒，列得方程 ．
请完成下列问题：
（1）根据嘉嘉所列方程，的实际意义是 ；
（2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路求出两种机器每分钟各包装多少盒．
【答案】（1）种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
（2）解：设种机器每分钟包装盒，则机器每分钟包装盒，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合实际，
，
答：种机器每分钟包装盒，种机器每分钟包装盒，
故答案为：，．
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据嘉嘉所列方程，的实际意义是种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟，
故答案为：种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
【分析】（）根据嘉嘉所列方程，的实际意义是种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
（）设种机器每分钟包装盒，则机器每分钟包装盒，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：根据嘉嘉所列方程，的实际意义是种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟，
故答案为：种机器包装盒用时分钟或种机器包装盒用时分钟；
（2）解：设种机器每分钟包装盒，则机器每分钟包装盒，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合实际，
，
答：种机器每分钟包装盒，种机器每分钟包装盒，
故答案为：，．
23．（2026八上·红花岗期末）定义：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．
（1）如图1，已知，分别以A为圆心为半径、C为圆心为半径在右侧画弧，两弧交于点D；连接．求证：四边形是筝形．
（2）如图2，在（1）的条件下，对角线交于点O，，求筝形的面积．
（3）如图3，在中，，，点D、E分别在线段上，连接．当以A、B、D、E为顶点的四边形是筝形时，直接写出的长．
【答案】（1）证明：由作图可得，
∵，
∴，
∴，即四边形的对角线平分，
∴四边形是筝形；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴筝形的面积为；
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图，连接，当平分时，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∵，，
∴，
∴；
如图，当平分时，则，
同理，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵；
综上，的长为或．
【分析】（1）由作图可得，根据全等三角形判定定理可得，则，即四边形的对角线平分，再根据筝形定义即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，即，再结合三角形面积即可求出答案.
（3）分情况讨论：连接，当平分时，则，根据角平分线定义可得∠BAD，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BD，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案；当平分时，则，同理，得，，根据三角形内角和定理可得∠DEB，再根据角之间的关系可得∠CED，再根据等角对等边及边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：由作图可得，
∵，
∴，
∴，即四边形的对角线平分，
∴四边形是筝形；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴筝形的面积为；
（3）解：如图，连接，当平分时，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∵，，
∴，
∴；
如图，当平分时，则，
同理，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵；
综上，的长为或．
24．（2026八上·红花岗期末）综合实践
探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成．
计算发现 （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ．
尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明．
发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值．
【答案】解：（），，；
（）设，则，，，
，
∴的结果是定值；
（）∵，，
∴，
∵，
∴（负值已舍去），
联立，解得：，
∴，，
答：的值分别为．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（）根据题意可得：，，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据日历特征计算即可求出答案.
（2）设，则，，，代入代数式，结合多项式乘多项式，单项式乘多项式化简计算即可求出答案.
（3）根据完全平方公式可得2ab，a+b，联立方程组，解方程组即可求出答案.
25．（2026八上·红花岗期末）如图，线段射线，，在上有一点D（不与A、B重合）．在射线上点A的左侧取点E，使，连接，延长交于F．
【操作】
（1）依题意补全图形；
【初探】
（2）探究与的位置关系；
【深研】
（3）过点A作于G，猜想的关系，并说明理由．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在上取点M使，连接
由（2）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
即，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）在上取点M使，连接，根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠FAM，再根据等腰直角三角形判定定理可得和都是等腰直角三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
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