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广西柳州铁一中学（初中部）2025--2026学年湘教版数学八年级上册期末综合测试
1．（2026八上·柳州期末）x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·柳州期末）下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，3，7 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，2，5
3．（2026八上·柳州期末）已知 ， ，则 的值为（　　）
A．9 B． C．12 D．
4．（2026八上·柳州期末）下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·柳州期末）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．DC＝BE D．∠ADC＝∠AEB
6．（2026八上·柳州期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026八上·柳州期末）如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
8．（2026八上·柳州期末）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026八上·柳州期末）已知 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·柳州期末）已知不等式组的解集是x≥2，则a的取值范围是(　　)
A．a＜2 B．a＝2 C．a＞2 D．a≤2
11．（2026八上·柳州期末）计算： =　 　.
12．（2026八上·柳州期末）请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式：　 　．
13．（2026八上·柳州期末）不等式的最小整数解是　 　．
14．（2026八上·柳州期末）ABCD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上一点．若∠B＝65°，∠MDN＝135°，则∠AMB＝　 　．
15．（2026八上·柳州期末）已知 ，则 的值是　 　．
16．（2026八上·柳州期末）解下列方程：
（1）
（2）
17．（2026八上·柳州期末）先化简，再求值：其中
18．（2026八上·柳州期末）解不等式组 ，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解.
19．（2026八上·柳州期末）如图，在中，，，，试求的度数．
20．（2026八上·柳州期末）已知实数a，b，c在数轴上如图，化简的值
21．（2026八上·柳州期末）如图，与中，，、分别是的角平分线．
（1）请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)；
（2）若请你证明．
22．（2026八上·柳州期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
23．（2026八上·柳州期末）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？
24．（2026八上·柳州期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动．
（1）问动点运动多少秒时，并说明理由；
（2）设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积；
（3）动点运动多少秒时，与的面积比为．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意；
B、当时，无意义，故此选项不符合题意；
C、x为任何实数时，，故一定有意义，故此选项符合题意；
D、当时，分式无意义， 故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、线段长度为2，3，7，最长边是7，∵，不满足三角形三边关系，∴不能构成三角形；
B、线段长度为3，4，5，最长边是5，∵，满足三角形三边关系，∴能构成三角形；
C、线段长度为1，2，3，最长边是3，∵，不满足“两边之和大于第三边”的严格要求，∴不能构成三角形；
D、线段长度为2，2，5，最长边是5，∵，不满足三角形三边关系，∴不能构成三角形；
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的除法逆运算法则，将为x2m n转化为x2m÷xn，再整体代入求值。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a6÷a3=a3，故不对；
B、（a3）2=a6，故不对；
C、2和3不是同类二次根式，因而不能合并，故不对；
D、符合二次根式的除法法则，正确．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；
B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；
C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误；
D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确；
故选C．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵解不等式得：，即，
∴表示在数轴上为：
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=70°．
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC．
∴∠DBC=180°-2∠C=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=70°，再利用内角和求出∠DBC=180°-2∠C=40°，最后利用角的运算求出∠ABD的度数即可.
8．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲种雪糕的价格为x元，则
甲种雪糕的根数： ；
乙种雪糕的根数： ．
可得方程： ．
故答案为：B
【分析】由题意可得相等关系：甲种雪糕的根数-乙种雪糕的根数=20，由相等关系即可列方程。
9．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由 ，得
，
解得 .
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解即可得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，从而即可算出代数式的值.
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
∴解不等式①得：x≥，
∵不等式组 的解集是x≥2，
∴a=2．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合不等式组的解集为x≥2，可得a=2．
11．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
12．【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的概念；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：原命题的题设为“一个三角形有两个角相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”，因此改写成“如果，那么”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】利用命题的定义及命题的书写方法求解即可.
13．【答案】3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：．
∴最小整数解为3．
故答案为：3.
【分析】先利用不等式组的解法求出解集x>2，再求出最小整数解即可.
14．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴∠A+∠MDN=180°，
∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．
故答案为：70°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠A+∠MDN=180°，再求出∠A的度数，最后利用三角形的内角和求出∠AMB的度数即可.
15．【答案】﹣2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ab=2（b﹣a），
∴ab=﹣2（a﹣b），
∴ =﹣2．
故答案是：﹣2．
【分析】利用分式的通分、比例的基本性质可求出比值.
16．【答案】（1）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解.
（2）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
展开化简得，解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可；
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解；
（2）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
展开化简得，解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解．
17．【答案】解：
，
当时，原式
．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得，再将x的值代入计算即可.
18．【答案】解：由①得，x≥﹣ ，
由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：﹣ ≤x＜3，
在数轴上表示为：
此不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”得出该不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来，利用数轴找出解集范围为内的整数解即可.
19．【答案】解：设，
∵，，，
∴，，．
∴，
∴．
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】设，先利用角的运算求出，，再利用三角形的内角和可得，即，求出a的值，从而可得．
20．【答案】解：∵从数轴可知：，
∴，
∴
=
=
=.
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先结合数轴判断出，可得，再利用二次根式的性质并结合绝对值的性质去掉绝对值，最后合并同类项即可.
21．【答案】（1）解：如图所示，线段、即为所求．
（2）解：，，，
，
，
、分别是、的角平分线，
，，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出图形即可；
（2）先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角平分线的定义和等量代换可得，再利用“ASA”证出即可.
（1）解：如图所示，线段、即为所求．
（2）解：，，，
，
，
、分别是、的角平分线，
，，
，
在和中，，
．
22．【答案】证明：（1），
点E是CD的中点，
，
又∵∠FEC=∠AED，
∴在和中，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，FC=AD，
又，
∴∠AEB=∠FEB=90°，
又∵BE=BE，
∴△AEB≌△FEB（SAS）
，
．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后可利用ASA证明，再利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）先根据三角形全等的性质可得，FC=AD，证明△AEB≌△FEB，即可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
23．【答案】（1）解：设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
由题意得：，
解得：x=80.·
经检验x=80是原方程的解.
答：乙工程队单独做需要80天完成.
（2）解：∵甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
∴，
即，
∵x<46，y<52，
∴，
解得：42∵x、y均为正整数，
∴x=45，y=50．
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，利用“ 甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成 ”列出方程求解即可；
（2）利用“ 甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成 ”列出方程，再结合“x<46，y<52”求出42（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得
，解之得x=80.·
经检验x=80是原方程的解.
答：乙工程队单独做需要80天完成；
（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
所以，即，
又∵x<46，y<52，
∴，
解得42∵x、y均为正整数，
∴x=45，y=50．
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
24．【答案】（1）解：设动点运动秒时，．
，
是等腰直角三角形，．
，
，
，
．
动点的速度为，动点的速度为，
，，．
要使，需，即，解得．
验证：当时，，，且，
．
故动点运动2秒时，.
（2）解：过点作于，
是等腰直角三角形，，
．
，，
的面积.
（3）解：由（2）知，
，
的边上的高，
的面积．
，
，
解得：．
答：动点运动秒时，与的面积比为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）设动点运动秒时，求出，，，再结合可得，，且从而得解；
（2）过点作于，利用等腰直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求出的面积即可；
（3）先求出，再结合，可得，最后求出x的值即可.
（1）解：设动点运动秒时，．
，
是等腰直角三角形，．
，
，
，
．
动点的速度为，动点的速度为，
，，．
要使，需，即，解得．
验证：当时，，，且，
．
故动点运动2秒时，；
（2）解：过点作于，
是等腰直角三角形，，
．
，，
的面积；
（3）解：由（2）知，
，
的边上的高，
的面积．
，
，解得：．
答：动点运动秒时，与的面积比为．
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1．（2026八上·柳州期末）x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意；
B、当时，无意义，故此选项不符合题意；
C、x为任何实数时，，故一定有意义，故此选项符合题意；
D、当时，分式无意义， 故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
2．（2026八上·柳州期末）下列线段能构成三角形的是（　　）
A．2，3，7 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，2，5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、线段长度为2，3，7，最长边是7，∵，不满足三角形三边关系，∴不能构成三角形；
B、线段长度为3，4，5，最长边是5，∵，满足三角形三边关系，∴能构成三角形；
C、线段长度为1，2，3，最长边是3，∵，不满足“两边之和大于第三边”的严格要求，∴不能构成三角形；
D、线段长度为2，2，5，最长边是5，∵，不满足三角形三边关系，∴不能构成三角形；
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
3．（2026八上·柳州期末）已知 ， ，则 的值为（　　）
A．9 B． C．12 D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的除法逆运算法则，将为x2m n转化为x2m÷xn，再整体代入求值。
4．（2026八上·柳州期末）下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a6÷a3=a3，故不对；
B、（a3）2=a6，故不对；
C、2和3不是同类二次根式，因而不能合并，故不对；
D、符合二次根式的除法法则，正确．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2026八上·柳州期末）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（　　）
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．DC＝BE D．∠ADC＝∠AEB
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；
B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；
C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误；
D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确；
故选C．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
6．（2026八上·柳州期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵解不等式得：，即，
∴表示在数轴上为：
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
7．（2026八上·柳州期末）如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°
∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=70°．
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC．
∴∠DBC=180°-2∠C=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=70°，再利用内角和求出∠DBC=180°-2∠C=40°，最后利用角的运算求出∠ABD的度数即可.
8．（2026八上·柳州期末）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲种雪糕的价格为x元，则
甲种雪糕的根数： ；
乙种雪糕的根数： ．
可得方程： ．
故答案为：B
【分析】由题意可得相等关系：甲种雪糕的根数-乙种雪糕的根数=20，由相等关系即可列方程。
9．（2026八上·柳州期末）已知 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由 ，得
，
解得 .
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式组，求解即可得出x的值，将x的值代入方程即可求出y的值，从而即可算出代数式的值.
10．（2026八上·柳州期末）已知不等式组的解集是x≥2，则a的取值范围是(　　)
A．a＜2 B．a＝2 C．a＞2 D．a≤2
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
∴解不等式①得：x≥，
∵不等式组 的解集是x≥2，
∴a=2．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组的解集，再结合不等式组的解集为x≥2，可得a=2．
11．（2026八上·柳州期末）计算： =　 　.
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：原式=3-=2.
【分析】根据二次根式加减运算法则计算即可。即先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并起来。
12．（2026八上·柳州期末）请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式：　 　．
【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的概念；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：原命题的题设为“一个三角形有两个角相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”，因此改写成“如果，那么”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】利用命题的定义及命题的书写方法求解即可.
13．（2026八上·柳州期末）不等式的最小整数解是　 　．
【答案】3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：．
∴最小整数解为3．
故答案为：3.
【分析】先利用不等式组的解法求出解集x>2，再求出最小整数解即可.
14．（2026八上·柳州期末）ABCD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上一点．若∠B＝65°，∠MDN＝135°，则∠AMB＝　 　．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴∠A+∠MDN=180°，
∴∠A=180°﹣∠MDN=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．
故答案为：70°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠A+∠MDN=180°，再求出∠A的度数，最后利用三角形的内角和求出∠AMB的度数即可.
15．（2026八上·柳州期末）已知 ，则 的值是　 　．
【答案】﹣2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ab=2（b﹣a），
∴ab=﹣2（a﹣b），
∴ =﹣2．
故答案是：﹣2．
【分析】利用分式的通分、比例的基本性质可求出比值.
16．（2026八上·柳州期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解.
（2）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
展开化简得，解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可；
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解；
（2）解：原方程可化为，
两边同乘得：，
展开化简得，解得，
检验：当时，，
∴是增根，
故原方程无解．
17．（2026八上·柳州期末）先化简，再求值：其中
【答案】解：
，
当时，原式
．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得，再将x的值代入计算即可.
18．（2026八上·柳州期末）解不等式组 ，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解.
【答案】解：由①得，x≥﹣ ，
由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：﹣ ≤x＜3，
在数轴上表示为：
此不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”得出该不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来，利用数轴找出解集范围为内的整数解即可.
19．（2026八上·柳州期末）如图，在中，，，，试求的度数．
【答案】解：设，
∵，，，
∴，，．
∴，
∴．
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】设，先利用角的运算求出，，再利用三角形的内角和可得，即，求出a的值，从而可得．
20．（2026八上·柳州期末）已知实数a，b，c在数轴上如图，化简的值
【答案】解：∵从数轴可知：，
∴，
∴
=
=
=.
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；实数的绝对值；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先结合数轴判断出，可得，再利用二次根式的性质并结合绝对值的性质去掉绝对值，最后合并同类项即可.
21．（2026八上·柳州期末）如图，与中，，、分别是的角平分线．
（1）请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)；
（2）若请你证明．
【答案】（1）解：如图所示，线段、即为所求．
（2）解：，，，
，
，
、分别是、的角平分线，
，，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出图形即可；
（2）先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角平分线的定义和等量代换可得，再利用“ASA”证出即可.
（1）解：如图所示，线段、即为所求．
（2）解：，，，
，
，
、分别是、的角平分线，
，，
，
在和中，，
．
22．（2026八上·柳州期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【答案】证明：（1），
点E是CD的中点，
，
又∵∠FEC=∠AED，
∴在和中，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，FC=AD，
又，
∴∠AEB=∠FEB=90°，
又∵BE=BE，
∴△AEB≌△FEB（SAS）
，
．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后可利用ASA证明，再利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）先根据三角形全等的性质可得，FC=AD，证明△AEB≌△FEB，即可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
23．（2026八上·柳州期末）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x<46，y<52，求甲、乙两队各做了多少天？
【答案】（1）解：设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
由题意得：，
解得：x=80.·
经检验x=80是原方程的解.
答：乙工程队单独做需要80天完成.
（2）解：∵甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
∴，
即，
∵x<46，y<52，
∴，
解得：42∵x、y均为正整数，
∴x=45，y=50．
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，利用“ 甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成 ”列出方程求解即可；
（2）利用“ 甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成 ”列出方程，再结合“x<46，y<52”求出42（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意得
，解之得x=80.·
经检验x=80是原方程的解.
答：乙工程队单独做需要80天完成；
（2）因为甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
所以，即，
又∵x<46，y<52，
∴，
解得42∵x、y均为正整数，
∴x=45，y=50．
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
24．（2026八上·柳州期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动．
（1）问动点运动多少秒时，并说明理由；
（2）设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积；
（3）动点运动多少秒时，与的面积比为．
【答案】（1）解：设动点运动秒时，．
，
是等腰直角三角形，．
，
，
，
．
动点的速度为，动点的速度为，
，，．
要使，需，即，解得．
验证：当时，，，且，
．
故动点运动2秒时，.
（2）解：过点作于，
是等腰直角三角形，，
．
，，
的面积.
（3）解：由（2）知，
，
的边上的高，
的面积．
，
，
解得：．
答：动点运动秒时，与的面积比为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）设动点运动秒时，求出，，，再结合可得，，且从而得解；
（2）过点作于，利用等腰直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求出的面积即可；
（3）先求出，再结合，可得，最后求出x的值即可.
（1）解：设动点运动秒时，．
，
是等腰直角三角形，．
，
，
，
．
动点的速度为，动点的速度为，
，，．
要使，需，即，解得．
验证：当时，，，且，
．
故动点运动2秒时，；
（2）解：过点作于，
是等腰直角三角形，，
．
，，
的面积；
（3）解：由（2）知，
，
的边上的高，
的面积．
，
，解得：．
答：动点运动秒时，与的面积比为．
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