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北师大版 八年级下册
第四章 因式分解
1.因式分解
学习目标
1.理解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解。
2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别。
复习回顾
1. 单项式：若一个代数式是________________，这样的代数式叫作单项式，单独________或_________也是单项式。
2. 多项式：几个单项式的____叫作多项式。
3. 整式：单项式和多项式统称整式。
数与字母的乘积
一个数
一个字母
和
例如：2x2y3，5，x
例如：2x2y3+5，x+2y
推进新课
993-99能被100整除吗？你是怎样想的？
993-99
= 99×992-99×1
= 99×(992-1)
= 99×9800
= 98×99×100。
所以，993-99能被100整除。
小明
993-99还能被哪些正整数整除？
把一个数式化成了几个数乘积的形式
(99+1)(99-1)
如果将上面问题中的99换成a，你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？
尝试·交流
993-99
= 99×992-99×1
= 99×(992-1)
= 99×9800
= 98×99×100
a3-a
= a·a2-a·1
= a·(a2-1)
= a·(a+1)(a-1)
= a(a+1)(a-1)
观察下面拼图过程，写出相应的代数式。
观察·思考
（1）
m
m
m
c
b
a
m
a+b+c
_____________________ = ____________。
（2）
_____________________ = ____________。
x
x
1
x
x
1
1
1
x+1
x+1
ma+mb+mc
m(a+b+c)
x2+2x+1
(x+1)2
观察我们所得到的三个式子，等号两边的代数式有什么不同？
a3-a = a(a+1)(a-1)
ma+mb+mc = m(a+b+c)
x2+2x+1 = (x+1)2
a3-a
ma+mb+mc
x2+2x+1
a(a+1)(a-1)
m(a+b+c)
(x+1)2
多项式
几个整式的乘积
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。
因式分解也可称为分解因式
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。
注意：
因式分解是一种恒等变形；
变形对象：是_________；
变形过程：由____变成____的形式；
变形结果：是几个_____的积；
因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。
多项式
和
积
整式
练一练
1.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
单项式不能因式分解
不是整式
操作·思考
1.计算下列各式：
（1）3x(x-1) =___________；
（2）m(a+b-1) =_____________；
（3）(m+4)(m-4) =_________；
（4）(y-3)2 =__________。
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
2.根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x =___________；
（2）ma+mb-m =___________；
（3）m2-16 =____________；
（4）y2-6y+9 =__________。
3x(x-1)
m(a+b-1)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
3x(x-1) =__________；
m(a+b-1) =__________；
(m+4)(m-4) =________；
(y-3)2 =__________。
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
3.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明。
（1）3x(x-1) =_________；
（2）m(a+b-1) =___________；
（3）(m+4)(m-4) =_______；
（4）(y-3)2 =_________。
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
（1）3x2-3x =___________；
（2）ma+mb-m =__________；
（3）m2-16 =____________；
（4）y2-6y+9 =_______。
3x(x-1)
m(a+b-1)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
整式乘法
因式分解
因式分解与整式乘法的区别与联系：
因式分解 整式乘法
区别 (1)把一个多项式化成几个整式的积的形式； (2)是多项式的恒等变形 (1)把几个整式相乘的形式化为一个整式的形式；
(2)是一种运算
联系 多项式 几个整式的积
因式分解
整式乘法
可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。
练一练
2.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）4a2-b2=(2a+b)(2a-b)；
（2）x2-5x+6=(x-2)(x+3)。
(2a+b)(2a-b)= 4a2-b2
(x-2)(x+3) = x2+x-6 ≠ x2-5x+6
随堂演练
1.连一连：
x2-y2
9-25x2
x2+6x+9
xy-y2
(x+3)2
y(x-y)
(3+5x)(3-5x)
(x+y)(x-y)
【教材P112 随堂练习 T1】
2.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
【教材P112 随堂练习 T2】
（1）(a+3)(a-3) = a2-9；
（2）m2-4 = (m+2)(m-2)；
（3）a2-b2+1 = (a+b)(a-b)+1；
（4）2mR+2mr = 2m(R+r)。
3.利用因式分解说明：257-512能被12整除。
解：因为 257-512
=257-(52)6
=257-256
=256×(25-1)
=256×24
=256×12×2
所以257-512能被12整除。
课堂小结
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。
1.因式分解的概念
2.因式分解与整式乘法
多项式 几个整式的积
因式分解
整式乘法
互为逆运算
布置作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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