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北师大版 八年级下册
第2课时 公因式为多项式的因式分解
学习目标
1.能准确找出各项的多项式公因式并进行因式分解。
2.能运用整体思想进行因式分解。
复习回顾
确定公因式的一般步骤：
1.多项式的第一项系数为负数时，先提出“-”号，注意提出“–”时多项式的各项要变号；
2.公因式的系数是多项式各项系数的_____________；
3.公因式中的字母取多项式中各项的____________；
4.公因式中的字母的指数取各项相同字母的_________。
最大公因数
相同字母
最低指数
推进新课
思考：下面的多项式有公因式吗？
（1）m(y+x)-10(y+x)；
（2）(3m+2n)(2m-n)-n(2m-n)；
（3）a(x-3)+2b(x-3)；
（4）3a(a-2b)+6b(a-2b)。
y+x
2m-n
x-3
3(a-2b)
公因式是多项式的形式，怎样运用提公因式法分解因式？
例2 把下列各式因式分解：
（1）a(x-3)+2b(x-3)； （2）y(x+1)+y2(x+1)2。
解：（1）a(x-3)+2b(x-3)
= (x-3)(a+2b)
（2）y(x+1)+y2(x+1)2
= y(x+1)[1+y(x+1)]
= y(x+1)(xy+y+1)
小结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
练一练
1.把下列各式因式分解：
（1）m(x2+5)-n(x2+5)；
（2）ab(m-2)-a(m-2)。
解：m(x2+5)-n(x2+5)
= (m-n)(x2+5)
解：ab(m-2)-a(m-2)
= a(m-2)(b-1)
例3 把下列各式因式分解：
（1）a(x-y)+b(y-x)； （2）6(m-n)3-12 (n-m)2。
解：（1）a(x-y)+b(y-x)
= a(x-y)-b(x-y)
= (x-y)(a-b)
（2）6(m-n)3-12 (n-m)2
= 6(m-n)3-12[-(m-n)]2
= 6(m-n)3-12(m-n)2
= 6(m-n)2(m-n-2)
在下列各等式右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：
(1)a-b=___(b-a)； (2)(a-b)2=___(b-a)2；
(3)(a-b)3=___(b-a)3； (4)(a-b)4=___(b-a)4；
(5)(a-b)5=___(b-a)5； (6)(a-b)6=___(b-a)6；
(7)(a+b)=___(-a-b)； (8)(a+b)2=___(-a-b)2。
-
+
-
+
-
+
-
+
你发现了什么？
归纳
①a-b=-(b-a)
(a-b)2n=(b-a)2n
(a-b)2n – 1 =-(b-a)2n – 1
②a+b=-(-a-b)
(a+b)2n =(-a-b)2n
-(a+b)2n – 1 =(-a-b) 2n – 1
（n为正整数）
练一练
2.把下列各式因式分解：
（1）(a+b)(a-2)+b(2-a)； （2）a(m-n)2+2(n-m)2。
解：(a+b)(a-2)+b(2-a)
= (a+b)(a-2)-b(a-2)
解：a(m-n)2+2(n-m)2
= a(m-n)2+2(m-n)2
= (a+b-b)(a-2)
= a(a-2)
= (a+2)(m-n)2
利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。
思考·交流
提公因式法因式分解的注意事项：
1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“-”号时，多项式各项都变号。
2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项。
3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开。
如图，有三张不同型号的长方形卡片。
尝试·思考
m
a+b
b
n
n
a
（1）你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？
a+b
n
m
a+b
b
n
n
a
（2）你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？
a+b
m+n
（3）依据（1）（2）拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？
a+b
n
a+b
m+n
na+nb=n(a+b)
na+nb+m(a+b) = (m+n)(a+b)
m
a+b
b
n
n
a
随堂演练
1. 将3a(x-y)-9b(x-y)用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（ ）
A. a-3b B. x-y
C. 3(x-y) D. 3x-y
C
2. 把下列各式因式分解：
【教材P116 随堂练习 T1】
（1）x(a+b)+y(a+b)；
（2）3а(x-y)-(x-y)；
（5）2(y-x)2+3(x-y)；
（6）mn(m-n)-m(n-m)2。
（3）6(p+q)2-12(q+p)；
（4）a(m-2)+b(2-m)；
= (x+y)(a+b)
= (3а-1)(x-y)
= 6(p+q)(p+q-2)
= (а-b)(m-2)
= (x-y)(2x-2y+3)
= m(m-n)(2n-m)
3.先因式分解，再计算求值：(x+2y)(x-2y)-(2y-x)2，其中x=2，y=-1。
解： 原式=(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2
=(x-2y)[(x+2y)-(x-2y)]
=4y(x-2y)
当x=2，y=-1时，
原式=4×(-1)×[2-2×(-1)]=-16。
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
布置作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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