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(共20张PPT)
北师大版 八年级下册
3.公式法
第1课时 利用平方差公式因式分解
学习目标
1.掌握运用平方差公式进行因式分解。
2.灵活运用平方差公式或已学过的提公因式法分解因式，正确判断因式分解是否彻底。
复习回顾
计算：
（1）(x + 5)(x – 5) = ________；
（2）(3x + y)(3x – y) = _________；
（3）(3m + 2n)(3m – 2n) = ___________。
x2 – 25
9x2 – y2
9m2 – 4n2
因式分解：
（1）x2 – 25 = _______________；
（2）9x2 – y2 = _______________；
（3）9m2 – 4n2 = ___________________。
(x + 5)(x – 5)
(3x + y)(3x – y)
(3m + 2n)(3m – 2n)
你发现了什么？
推进新课
观察下面两个等式，它们有什么共同特征？
x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)
9x2 – y2 = (3x + y)(3x – y)
52
(3x)2
是两数的平方差的形式
整式乘法
因式分解
想一想：多项式 a2 – b2 有什么特点？你能将它因式分解吗？
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
事实上，把乘法公式(a + b)(a – b) = a2 – b2反过来，就得到
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a，b可以是单项式，也可以是多项式
练一练
1.下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-(x2+y2)
（4）y2-x2
（5）x2-(5y)2
（6）(3m)2-1
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成( )2-( )2 的形式。
总结
例1 把下列各式因式分解：
（1）25 – 16x2；
（2）9a2 – b2。
解: (1) 25 – 16x2
= 52 – (4x)2
= (5 + 4x)(5 – 4x)
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
运用平方差公式因式分解，应注意：
①公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即a），另一项互为相反数（即b和-b）。
②公式左边是这两项的平方差。
③公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式。
例2 把下列各式因式分解：
（1）2x3 – 8x ；
解：(1) 2x3–8x
= 2x(x2–4)
= 2x(x2–22)
= 2x(x+2)(x–2)；
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解。
例2 把下列各式因式分解：
（2）9(m+n)2 – (m–n)2。
(2) 9(m+n)2 – (m–n)2
= [3(m+n)]2 – (m–n)2
= [3(m+n)+(m–n)][3(m+n)–(m–n)]
= (3m+3n+m–n) (3m+3n–m+n)
= (4m+2n)(2m+4n)
= 4(2m+n)(m+2n)。
练一练
2.把下列各式因式分解：
（1）(x+2y)2 – 4y2；
（2）x2(x–1)+9(1–x)。
解：(1) (x+2y)2 – 4y2
= (x+2y)2 – (2y)2
= (x+2y+2y) (x+2y–2y)
= x(x+4y)；
(2) x2(x–1)+9(1–x)
= x2(x–1)–9(x–1)
= (x–1)(x2–9)
= (x–1)(x+3)(x–3)。
方法总结
公式中的a，b无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
操作·思考
b
a
如图，在一张边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积。当 a=3.6，b=0.8 时，剩余部分的面积是多少？
剩余部分的面积：a2-4b2
=a2-(2b)2
=(a+2b)(a-2b)
当a=3.6，b=0.8时，原式=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4 (cm2)
练一练
3.已知长方形的面积为 81a -4b ，其中一边长为 9a+2b，则这条边的邻边长是__________。
81a2-4b2
=(9a)2-(2b)2
=(9a+2b)(9a-2b)
9a-2b
随堂演练
【教材P119 随堂练习 T1】
1.判断下列等式是否一定成立：
（1）x2+y2=(x+y)(x+y)； （ ）
（2）x2-y2=(x+y)(x-y)； （ ）
（3）-x2+y2=(-x+y)(-x-y)； （ ）
（4）-x2-y2=-(x+y)(x-y)。 （ ）
√
×
×
×
2.把下列各式因式分解：
【教材P119 随堂练习 T2】
（1） a2b2-m2；
（2） (m-a)2-(n+b)2；
解：(1)原式=(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m)
(2)原式=(m-a+n+b)[m-a-(n+b)]
=(m-a+n+b)(m-a-n-b)
（3） x2-(a+b-c)2；
（4） -16x4+81y4。
(3)原式=(x+a+b-c)[x-(a+b-c)]
=(x+a+b-c)(x-a-b+c)]
(4)原式=81y4-16x4
=(9y2)2-(4x2)2
=(9y2+4x2)(9y2-4x2)
=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)
3.刘师傅在制造某汽车配件时，要在半径为 R cm 的圆形钢板上钻四个半径均为 r cm 的圆孔，刘师傅测量出 R=7.8，r=1.1，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积。(π取3.14，结果精确到1cm )
解：根据题意可得，圆形钢板的剩余面积为
πR -4πr =π(R -4r )=π(R+2r)(R-2r)cm 。
将R=7.8，r=1.1代入，得
π(R+2r)(R-2r)≈3.14×(7.8+2×1.1)×(7.8-2×1.1)
=3.14×10×5.6=175.84≈176(cm )。
答：圆形钢板的剩余面积约为176cm 。
课堂小结
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a，b可以是单项式，也可以是多项式
利用平方差公式因式分解：
布置作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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