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(共18张PPT)
北师大版 八年级下册
第2课时 利用完全平方公式因式分解
学习目标
1.掌握利用完全平方公式进行分解因式。
2.灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，正确判断因式分解是否彻底。
复习回顾
在括号里填上适当的式子，使等式成立：
(1) (a + b)2 = ____________；
(2) (a – b)2 = _____________；
(3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2；
(4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 。
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
2a
2a
整式乘法
因式分解
推进新课
这两个式子有什么特点？
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方式
完全平方式的特点：
①必须是三项式(或可以看成三项的)；
②有两个数或式的平方和；
③有两底数之积的±2倍。
现在我们把完全平方公式反过来，就得到
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
完全平方公式：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
练一练
1.下列多项式能否用完全平方公式来因式分解？为什么？
（1）a2 – 12a + 36
（2）x2 + 4x + 4y2
（3）4a2 + 2ab +b2
（4）a2 – ab + b2
（6）a2 + a + 0.25
a2
62
2·a·6
x2
(2y)2
2·x·2
(2a)2
(b)2
2·2a· b
a2
2·a· b
a2
0.52
2·a·0.5
（5）x2 – 6x – 9
b2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
(a + b)2=a2 + 2ab + b2
(a – b)2=a2 – 2ab + b2
(a + b)(a – b)=a2 – b2
整式乘法
因式分解
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。
归纳
例3 把下列各式因式分解：
（1）x2+ 14x + 49；
（2）(m + n)2 – 6(m + n) + 9。
解（1）x2+14x+49
= x2+2×7x+72
= (x+7)2；
（2）(m+n)2–6(m+n)+9
= (m+n)2–2×3(m+n)+32
= [(m+n)–3]2
= (m+n–3)2。
例4 把下列各式因式分解：
（1）3ax2 + 6axy + 3ay2；
（2）– x2 – 4y2 + 4xy。
解（1）3ax2+6axy+3ay2
= 3a(x2+2xy+y2)
= 3a(x+y)2；
（2） –x2–4y2+4xy
= –(x2+4y2–4xy)
= –(x2–4xy+4y2)
= –[x2–2·x·2y+(2y)2]
= –(x–2y)2。
首项有“-”号要先提出来
运用完全平方公式分解因式应注意什么？
（1）先找平方项，再运用公式；
（2）平方项可以是单项式，也可以是多项式；
（3）若平方项前面有负号，先把负号提到括号前面，再考虑用完全平方公式。
练一练
2.把下列各式因式分解：
（1）1+6(x–y)+9(x–y)2；
（2）3ax3–30ax2+75ax。
解：(1) 1+6(x–y)+9(x–y)2
= [1+3(x–y)]2
= (1+3x–3y)2
(2) 3ax3–30ax2+75ax
= 3ax(x2–10x+25)
= 3ax(x–5)2
x-y看作整体
提公因式后，出现完全平方式，继续分解
回顾·反思
（1）回顾从整式乘法到因式分解的探索过程，你有哪些感悟？
（2）在解决哪些问题时，用因式分解的方法更加便利？请举例说明。
随堂演练
1.如果 100x2 + kxy + y2 可以分解为(10x - y)2，那么k的值是（ ）
A. 20 B. -20
C. 10 D. -10
B
【教材P120 随堂练习 T1】
2.下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？
（1）x2-x+ ；
（2）9a2b2-3ab+1；
（3）m2+3mn+9n2；
（4）x6-10x3-25。
解：原式=(x-)2
解：原式=(m+3n)2
(3ab)2
2·ab·1
12
3.把下列各式因式分解：
【教材P120 随堂练习 T2】
（1） x -12xy+36y ；
（2）16a4+24a b +9b4；
解：(1)原式=(x-6y)
(2)原式=(4a +3b )
（3）-2xy-x -y ；
（4）4-12(x-y)+9(x-y) 。
(3)原式=-(x+y)
(4)原式=(2-3x+3y)
4.已知△ABC的三边长a，b，c满足a +b +c +50=6a+8b+10c，求三角形的周长。
解：∵a +b +c +50=6a+8b+10c，
∴a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0，
即(a-3) +(b-4) +(c-5) =0。
∴a=3，b=4，c=5。
∵3+4＞5，∴能组成三角形。
∴a+b+c=3+4+5=12，
即三角形的周长为12。
课堂小结
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
因式分解
整式乘法
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。
布置作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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