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第二章 匀变速直线运动的研究
第3节 课时1 匀变速直线运动的位移与时间关系
1.知道匀速直线运动的位移与v－t图像中图线与坐标轴所围面积的对应关系。
2.理解匀变速直线运动的位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。
3.理解匀变速直线运动的位移公式、速度与位移的关系式，会应用公式分析匀变速直线运动问题。
问题
？
由做匀速直线运动的物体的v-t图像可以看出，在t时间内的位移x对应着图中矩形的面积。
v/m.s-1
v
0
t/s
t
x=vt
那么做匀变速直线运动的物体，在t时间内的位移与时间会有怎么样的关系？
猜想：做匀变速直线运动的物体，其v-t图像与坐标轴围成的面积也应该表示位移。
如何验证猜想呢？
如果一个物体在不同的时间段，以不同的速度做匀速直线运动，那么我们如何求出在时间t内这辆汽车的位移？
v/m.s-1
v3
0
t/s
t3
v2
v1
t2
t1
x1=v1t1
x2=v2(t2-t1)
x3=v3(t3-t2)
x3=x1+x2+x1
三个面积之和
能否想到贴纸法？
知识点一：匀变速直线运动的位移
某物体以初速度v0做匀变速直线运动，其v-t图像如下图所示
v
0
t
v0
t
若能将“匀变速”转化为“匀速”就好了，该如何转化呢？
v
0
t
v0
t
不够准确
偏小
v
0
t
v0
t
还有点偏小
如果再分割细一些，无限分割下去呢？
分割到小矩形顶端的“锯齿”看不出来，那么每个矩形的面积之和就等于梯形的面积，即各段匀速直线运动的位移之和就等于匀变速直线运动的位移。
v0
0
t/s
t
v
v
v/(m s-1)
推导：由图可知梯形的面积：
即得位移：
由v＝v0＋at得：
微元累加法
面积表示位移的大小
正负表示位移的方向
匀变速直线运动的位移与时间的关系
1.公式：
2.对位移公式的理解:
只适用于匀变速直线运动：匀加、匀减；
因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。
（一般以v0的方向为正方向）
如果物体在做匀减速运动，在使用上式分析问题时，需要注意什么？
若以初速度方向为正方向，则加速度a代入数据时要用负值。
开始时(0时刻)物体位于坐标原点，所以在t时刻位移的大小等于该时刻物体的位置坐标x。
如果计时开始时物体位于坐标为x0的位置，那么在t时刻位移的大小就是x-x0，上面的公式就应该写为
如果物体运动的初速度为0，则有
【例题】航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。
（1）某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得 10 m/s 的速度后，由机上发动机使飞机获得 25 m/s2 的加速度在航母跑道上匀加速前进，2.4 s 后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？
（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅
速停下来。若某次飞机着舰时的速度为 80 m/s，
飞机钩住阻拦索后经过 2.5 s停下来。将这段运
动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的
大小及滑行的距离各是多少？
【分析 】两个问题都是已知匀变速直线运动的时间来计算位移。
第（1）问需要用匀变速直线运动的位移与时间的关系式计算。
第（2）问中，飞机着舰做匀减速直线运动的加速度需要根据速度与时间的关系式计算。匀减速运动各矢量的方向较为复杂，因此需要建立一维坐标系来确定它们的正负。
【解析】（1）根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有
（2）沿飞机滑行方向建立一维坐标系，飞机初速度v0＝80 m/s，
末速度v＝0，根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式，有
加速度为负值表示方向与 x 轴正方向相反。再根据匀变速直线
运动的位移与时间的关系式，有
我们已经知道匀变速直线运动的位移与时间存在定量关系，速度与时间也存在定量关系，那么速度与位移有什么定量关系呢？
时间
位移
速度
？
二者均含有时间t，可否消去时间？请各位同学自行推导
知识点二：速度与位移的关系
①
②
由①式有
③
将③式代入②式，有
可 得
（2）若 v0=0，
说 明
（1）只适用于匀变速直线运动；
速度与位移公式的推导
3.动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时，
屏幕显示的动车速度是126km/h。动车又前
进了 3 个里程碑时，速度变为54 km/h。把
动车进站过程视为匀减速直线运动。那么动
车进站的加速度是多少？它还要行驶多远才
能停下来？
【解析】 沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过 3 000 m 的运动称为前一过程，之后到停下来称为后一过程。
设在前一过程中的末位置为 M 点。 初速度 v0 ＝126km/h＝35m/s，
末速度 vM＝54 km/h＝15 m/s，位移x1＝3000m。
对前一过程，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有
对后一过程，末速度 v ＝ 0，初速度 vM ＝ 15 m/s由
v2 ＝ vM2 ＋ 2ax2，有
a=
x2=
五个量知道
了三个量，
就能求出其
余两个量。
不涉及时间
不涉及位移
不涉及末速度
第二章 匀变速直线运动的研究
第3节 课时2 匀变速直线运动的推论
3个公式中都含有 a，能不能推出不含a却含有v0、 v、 x、t的公式呢？
无位移
无末速度
无时间
5个：v0、 v、 a、x、t。
任何一个匀变速直线运动过程涉及物理量：
4类：速度、加速度、位移、时间；
速度与时间关系：
位移与时间关系：
速度与位移关系：
3个式子只有2个是独立的，由任意2个可以推出第3个。
平均速度和中间时刻速度
(重要推论)
(1)公式:
(2)含义:匀变速直线运动在某时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，并等于这段时间内初速度和末速度矢量和的一半.
推证：
v0+v是矢量和，不是代数和。
t 时间内的平均速度等于t/2时刻的瞬时速度
又因为
注意：此公式只适用于匀变速直线运动
v
v0
v /(m·s-1)
t /s
t
O
另证：
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v，中间时刻的速度为
推证：
②-①整理得：
前半段时间：
①
②
后半段时间：
所以：
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。
另 证：
＝
v
v0
v /(m·s-1)
t /s
t
O
另 证：
匀变速直线运动的中间位置速度
推论：在匀变速直线运动中，某段位移中间位置的瞬时速度与这段位移的初速度和末速度之间的关系：
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v，
联立整理得：
前半段位移：
后半段位移：
推证：
【例题】比较 与 的大小.
方法一：公式法
方法二：图像法
匀变速直线运动的中间位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度
位移差公式(逐差法)
(1)含义：做匀变速直线运动的物体在任意两个连续相等的时间T内,位移之差为一恒量。
(2)表达式：
重要推论：逐差相等
推广: △xmn=xm-xn=(m-n)aT2
Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2 (恒量)
任意两个连续相等时间间隔内的位移差为恒量，即 x＝aT2
推 导
故 Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2
解析：
【例题】在测定匀变速直线运动的加速度实验中，得到一条纸带如下图所示，A、B、C、D、E、F为相邻的6个计数点，若相邻计数点的时间间隔为0.1s，则粗测小车的加速度为________m/s2.
xm－xn=(m－n)aT2
x1 x2 x3 x4 x5
x5－x1=(5－1)aT2
a= 1.58
1.58
解：利用关系式Δx =aT2
前4s内的位移：
【例题】做匀加速直线运动的物体，从开始计时起连续两个4 s的时间间隔内通过的位移分别是48m和80m，则这个物体的加速度和初速度大小各是多少？
初速度为零的匀加速直线运动的比例式
建立时间坐标轴，把初速度为零的匀变速直线运动按时间T等分，如下图所示：
初速度为零的匀加速直线运动的速度公式：
可得：
已知：
所以：
T T T T T T T
①1T 秒末，2T秒末，…….瞬时速度之比:
建立时间坐标轴，把初速度为零的匀变速直线运动按时间T等分，如下图所示：
初速度为零的匀加速直线运动的位移公式：
可得：
已知：
所以：
②1T 内，2T 内，3T 内，…的位移之比
T T T T T T T
建立时间坐标轴，把初速度为零的匀变速直线运动按时间T等分，如下图
所示：
由图可得：
已知：
可得：
③第一个T内,第二个T内,第三个T内…的位移比
T T T T T T T
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
建立位移坐标轴，把初速度为零的匀变速直线运动按位移s等分，如下图
所示：
初速度为零的匀加速直线运动的时间公式：
可得：
所以：
④前1个s,前2个s，前3个s，…所用时间的比值:
s s s s s s s
建立位移坐标轴，把初速度为零的匀变速直线运动按位移s等分，如下图
所示：
初速度为零的匀加速直线运动的位移速度关系式：
可得：
所以：
⑤第1个s末，第2个s末，第3个s末…的速度之比:
s s s s s s s
建立位移坐标轴，把初速度为零的匀变速直线运动按位移s等分，如下图
所示：
由图可得：
已知：
所以：
⑥通过第1个s，通过第2个s，通过第3个s…所用时间的比值:
s s s s s s s
推论
公式
中间时刻速度
条件
v0=0匀加速直线运动的规律
公式
匀变速直线运动
中间位置速度
逐差法
公式
x=aT2

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