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广西南宁市第四十七中学2024—2025学年下学期八年级数学期中监测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025八下·南宁期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·南宁期中）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示应为（　　）．
A． B． C． D．
3．（2025八下·南宁期中） 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·南宁期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·南宁期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·南宁期中）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2025八下·南宁期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
8．（2025八下·南宁期中）如图，平行四边形中，对角线，交于点O，点E是的中点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·南宁期中）在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
10．（2025八下·南宁期中）如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·南宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
12．（2025八下·南宁期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025八下·南宁期中）计算： ＝　 　
14．（2025八下·南宁期中）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
15．（2025八下·南宁期中）如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是（1，1），则点B的坐标是　 　．
16．（2025八下·南宁期中）如图，在中，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·南宁期中）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025八下·南宁期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）请直接写出的坐标：_____；_____；
（3）尺规作图：在轴上找一点，使得．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
19．（2025八下·南宁期中）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．
（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；
（2）求证：BF＝DC．
20．（2025八下·南宁期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
21．（2025八下·南宁期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
22．（2025八下·南宁期中）观察下列各式：
，
，
；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想__________；
（2）归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式__________；
（3）应用计算．；
（4）拓展应用：化简下列式子；
23．（2025八下·南宁期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ；
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时， °；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1300000用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x-1≥0，再求解即可。
4．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意
B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故该选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义判断，要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；
B、原式=6×2=12，所以B选项错误；
C、原式= =2，所以C选项准确；
D、原式=2 ，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：弦
故答案为： A．
【分析】已知两直角边分别为3和4，求斜边，利用勾股定理：两个直角边的平方和等于斜边的平方，再开方得5．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等.
矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等。
故答案为：C。
【分析】由于矩形是特殊的平行四边形，故除了具有平行四边形的所有性质外还具有独特的性质：对角线相等，四个内角都是90°，从而即可一一判断得出答案。
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，
∵点E是CB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴AB＝2OE，
∵OE＝6cm ，
∴AB＝12cm．
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得AO＝CO，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】由勾股定理，，
∴；
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：因为，
所以四边形是平行四边形，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
所以，
所以，
所以四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：B．
【分析】根据菱形的定义及其判定（在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形）、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
12．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故答案为：A．
【分析】如图，连接， 交于点
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形，则；再证（SAS），得，等量代换得；
②结合①结论， 得，则；由，则，由四边形为正方形，得，即，所以，即，垂直定义得；
③由②中的结论DE⊥FG， =45°，可得=45°；
④由点为上一动点，当时，根据垂线段最短，此时最小，AC为，由知，则为，则 FG的最小值为3错误，所以正确结论为 ①②③ 。
13．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
14．【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，
故答案为：真．
【分析】先写出原命题的逆命题，然后再是否正确即可。
15．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：OA= ，
∴OB=OA=，
∵点B在x轴的正半轴上，
∴点B的坐标是（，0），
故答案为（，0）．
【分析】根据勾股定理可得OA，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：连接CD，
∵F、G分别是ED、EC的中点，
∴FG是△FDC的中位线，
∴FG=，
当CD最小时，FG最小，
当CD⊥AB时，CD最小，
在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，
则BC=，
当CD⊥AB时，
，
∴，
解得：CD=，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接CD，根据三角形中位线定理可得FG=，当CD最小时，FG最小，当CD⊥AB时，CD最小，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质化简，化简绝对值，零次幂结果为1，再运算乘法，再运算加减．
（2）括号内先通分，再把除法转化为乘法计算，化简得，再把代入计算结果为．
18．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2），
（3）解：如图，点为所作．
【知识点】点的坐标；线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：由（1）的图得，，
故答案为：，，
【分析】（1）利用轴对称变换的性质关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接三点得到 ；
（2）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，写出A1和B1的坐标；
（3）利用尺规作线段的垂直平分线，与x轴相交于点P，P点满足条件．
（1）解：如图，为所作；
（2）解：由（1）的图得，，
故答案为：，，
（3）解：如图，点为所作．
19．【答案】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，
∵EF=DE，
∴DF=2DE，
∴AB=DF，且AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AD=BF，且AD=CD，
∴BF=DC．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥AB，AB=2DE，由EF=DE，可得DF=AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．证四边形ABFD是平行四边形；
（2）由（1）可知四边形ABFD是平行四边形，平行四边形对边相等，得AD=BF，再结合已知AD=CD，可得BF=CD．
20．【答案】（1）解：在中，
米，米，
米
米．
答：处与地面的距离是24米；
（2）解：在中，
米，米，
米
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：在中，
米，米，
米
米．
答：处与地面的距离是24米；
（2）解：在中，
米，米，
米
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形性质可得，即，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据勾股定理可得AE，再根据三角形面积及菱形的性质即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）题结论可得，
．

（4）解：由（2）题结论可得，
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；探索数与式的规律；观察与实验
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）观察根据题目中式子的特点，发现三个等式第每个式子计算过程为1+分子为1的分数-分子为1分子为1的分数，且第二个分数比一个分数的分母多1，结果为1+分子为1和分母是计算过程两个分数分母的乘积，就可以计算出
的结果；
（2）根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律；
（3）将式子算：改写为，运用规律进行求解；
（4）运用（2）得到的规律对算式进行改写并计算．
（1）解：，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：由（2）题结论可得，
．
（4）解：由（2）题结论可得，
．
23．【答案】（1）或或或（任写一个即可）；
（2）①；
②，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
综上所述：的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：∵对折矩形纸片，
∴，，
∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或或或（任写一个即可）；
（2）解：①由（1）可知，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据折叠性质可得，，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据折叠性质可得，，根据全等三角形性质可得，分情况讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广西南宁市第四十七中学2024—2025学年下学期八年级数学期中监测试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025八下·南宁期中）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可．
2．（2025八下·南宁期中）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示应为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1300000用科学记数法表示为．
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．（2025八下·南宁期中） 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x-1≥0，再求解即可。
4．（2025八下·南宁期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意
B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故该选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据最简二次根式的定义判断，要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式．
5．（2025八下·南宁期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；
B、原式=6×2=12，所以B选项错误；
C、原式= =2，所以C选项准确；
D、原式=2 ，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
6．（2025八下·南宁期中）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：弦
故答案为： A．
【分析】已知两直角边分别为3和4，求斜边，利用勾股定理：两个直角边的平方和等于斜边的平方，再开方得5．
7．（2025八下·南宁期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等.
矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等。
故答案为：C。
【分析】由于矩形是特殊的平行四边形，故除了具有平行四边形的所有性质外还具有独特的性质：对角线相等，四个内角都是90°，从而即可一一判断得出答案。
8．（2025八下·南宁期中）如图，平行四边形中，对角线，交于点O，点E是的中点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，
∵点E是CB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴AB＝2OE，
∵OE＝6cm ，
∴AB＝12cm．
故选：D．
【分析】根据平行四边形性质可得AO＝CO，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．（2025八下·南宁期中）在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】由勾股定理，，
∴；
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线即可求出答案.
10．（2025八下·南宁期中）如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：因为，
所以四边形是平行四边形，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
所以，
所以，
所以四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：B．
【分析】根据菱形的定义及其判定（在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形）、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
11．（2025八下·南宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
12．（2025八下·南宁期中）如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故答案为：A．
【分析】如图，连接， 交于点
由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形，则；再证（SAS），得，等量代换得；
②结合①结论， 得，则；由，则，由四边形为正方形，得，即，所以，即，垂直定义得；
③由②中的结论DE⊥FG， =45°，可得=45°；
④由点为上一动点，当时，根据垂线段最短，此时最小，AC为，由知，则为，则 FG的最小值为3错误，所以正确结论为 ①②③ 。
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025八下·南宁期中）计算： ＝　 　
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
14．（2025八下·南宁期中）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，
故答案为：真．
【分析】先写出原命题的逆命题，然后再是否正确即可。
15．（2025八下·南宁期中）如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是（1，1），则点B的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：OA= ，
∴OB=OA=，
∵点B在x轴的正半轴上，
∴点B的坐标是（，0），
故答案为（，0）．
【分析】根据勾股定理可得OA，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
16．（2025八下·南宁期中）如图，在中，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：连接CD，
∵F、G分别是ED、EC的中点，
∴FG是△FDC的中位线，
∴FG=，
当CD最小时，FG最小，
当CD⊥AB时，CD最小，
在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，
则BC=，
当CD⊥AB时，
，
∴，
解得：CD=，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接CD，根据三角形中位线定理可得FG=，当CD最小时，FG最小，当CD⊥AB时，CD最小，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·南宁期中）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∴，
∴．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质化简，化简绝对值，零次幂结果为1，再运算乘法，再运算加减．
（2）括号内先通分，再把除法转化为乘法计算，化简得，再把代入计算结果为．
18．（2025八下·南宁期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）请直接写出的坐标：_____；_____；
（3）尺规作图：在轴上找一点，使得．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2），
（3）解：如图，点为所作．
【知识点】点的坐标；线段垂直平分线的性质；作图﹣轴对称；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）解：由（1）的图得，，
故答案为：，，
【分析】（1）利用轴对称变换的性质关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，分别作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接三点得到 ；
（2）关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，写出A1和B1的坐标；
（3）利用尺规作线段的垂直平分线，与x轴相交于点P，P点满足条件．
（1）解：如图，为所作；
（2）解：由（1）的图得，，
故答案为：，，
（3）解：如图，点为所作．
19．（2025八下·南宁期中）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF．
（1）求证：四边形ABFD是平行四边形；
（2）求证：BF＝DC．
【答案】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD，
∵EF=DE，
∴DF=2DE，
∴AB=DF，且AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形；
（2）∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AD=BF，且AD=CD，
∴BF=DC．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥AB，AB=2DE，由EF=DE，可得DF=AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．证四边形ABFD是平行四边形；
（2）由（1）可知四边形ABFD是平行四边形，平行四边形对边相等，得AD=BF，再结合已知AD=CD，可得BF=CD．
20．（2025八下·南宁期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米．
（1）求处与地面的距离．
（2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】（1）解：在中，
米，米，
米
米．
答：处与地面的距离是24米；
（2）解：在中，
米，米，
米
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得OB，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：在中，
米，米，
米
米．
答：处与地面的距离是24米；
（2）解：在中，
米，米，
米
米．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米．
21．（2025八下·南宁期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形性质可得，即，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据勾股定理可得AE，再根据三角形面积及菱形的性质即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
22．（2025八下·南宁期中）观察下列各式：
，
，
；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（1）猜想__________；
（2）归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式__________；
（3）应用计算．；
（4）拓展应用：化简下列式子；
【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）题结论可得，
．

（4）解：由（2）题结论可得，
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；探索数与式的规律；观察与实验
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）观察根据题目中式子的特点，发现三个等式第每个式子计算过程为1+分子为1的分数-分子为1分子为1的分数，且第二个分数比一个分数的分母多1，结果为1+分子为1和分母是计算过程两个分数分母的乘积，就可以计算出
的结果；
（2）根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律；
（3）将式子算：改写为，运用规律进行求解；
（4）运用（2）得到的规律对算式进行改写并计算．
（1）解：，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：由（2）题结论可得，
．
（4）解：由（2）题结论可得，
．
23．（2025八下·南宁期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ；
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时， °；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长．
【答案】（1）或或或（任写一个即可）；
（2）①；
②，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
当点Q在线段上时，∵，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
综上所述：的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：∵对折矩形纸片，
∴，，
∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或或或（任写一个即可）；
（2）解：①由（1）可知，
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据折叠性质可得，，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）①根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据正方形性质可得，，由折叠可得：，，则，，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）根据折叠性质可得，，根据全等三角形性质可得，分情况讨论：当点Q在线段上时，当点Q在线段上时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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