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广西河池市环江县2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025八下·环江期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·环江期中）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3
3．（2025八下·环江期中）下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·环江期中）下列结论正确的是（　　）
A．64的立方根是 B．没有立方根
C．平方根等于本身的数是0 D．
5．（2025八下·环江期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
6．（2025八下·环江期中）在中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·环江期中）在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）．
A． B． C． D．
8．（2025八下·环江期中）一个长方形抽屉长 ，宽 ，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·环江期中）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=4，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
10．（2025八下·环江期中）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（　　）
A．始终不变 B．不断变小
C．不断变大 D．先变小后变大
11．（2025八下·环江期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
12．（2025八下·环江期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（　　）．
A．24 B．30 C．40 D．50
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025八下·环江期中）计算：　 　．
14．（2025八下·环江期中）计算：
=　 　.
15．（2025八下·环江期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为　 　．
16．（2025八下·环江期中）如图，以对角线的交点O为原点，平行于边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为，则C点坐标为　 　．
三、解答题（共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．）
17．（2025八下·环江期中）如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
18．（2025八下·环江期中）（1）
（2）
19．（2025八下·环江期中）（1）按要求尺规作图：如图，在中，在，上分别截取，，连接．
（2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，与交于点，四边形的周长为20，，求的长．
20．（2025八下·环江期中）如图，在中，，，，点是上（不与，重合），过点作，，垂足分别是，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，连接，为的中点，随着点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，求的长度；若有变化，求的取值范围．
21．（2025八下·环江期中）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人．
（1）求．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
22．（2025八下·环江期中）矩形折叠探究
在矩形纸片中，，点是边上的一点．
（1）如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长；
（2）如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长．
23．（2025八下·环江期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、 ，是最简二次根式，故此选项正确；
C、 =2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
2．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥－3．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
不是同类二次根式，不能合并，故D符合题意.
故选D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、64的立方根是4，故该选项错误；
B、的立方根是，故该选项错误；
C、平方根等于本身的数是0，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
【分析】根据平方根与立方根的性质，算术平方根的意义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质可得再利用等角的补角相等可得.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这根木棒最长 (cm)，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求解即可.
9．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，BD=4，∠A=30°，
∴AB=2BD=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，
故选：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据平行四边形性质即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且点P为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故答案为：D．
【分析】连接AC，先证出△ABC是等边三角形，可得AB＝BC＝AC＝20cm，再证出△ABC是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得AC＝AB＝20cm.
12．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，
根据题意， ，
∵，
∴，
∴
∴，
即的值是30，
故选：B．
【分析】设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据正方形面积，完全平方公式即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】原式= =3-2=1.
故答案为：1.
【分析】由平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”和二次根式的性质“=a”可求解。
15．【答案】25
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
，
则所代表的正方形的面积为25，
故答案为：25．
【分析】根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵对角线的交点O为原点，A点坐标为，
∴点A和点C关于原点对称，
∴C点坐标为：．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质和中心对称图形的定义求出点C的坐标即可.
17．【答案】证明：四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式混合运算即可求出答案.
19．【答案】解：（1）依题意，在，上分别截取，，连接，如图所示：
（2）四边形为菱形，理由如下：
由作法得，
四边形为平行四边形，
，
即，
四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形，
（3）四边形为菱形，周长为20，
，，，，
在中，，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）以点为圆心，的长为半径画弧交于一点，即为点，再以点为圆心，的长为半径画弧交于一点，即为点，连接，即可作答；
（2）先证出四边形为平行四边形，再结合AB=AE，即可证出四边形为菱形；
（3）先利用菱形的性质求出，，再利用勾股定理列式计算求解即可.
20．【答案】（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出，再结合，，最后即可证出四边形是矩形；
（2）连接，过点作，当时，则最小，再求出的范围是，最后利用矩形的性质可得的范围是．
（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
21．【答案】（1）解：在中，
∵，，消防车高，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得OD，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵四边形是矩形
∴，，，
设，则，
由折叠可得，，
在中，，
即，
解得：，
∴；
（2）解：当点与点重合时，
设，则，
由折叠可得，，，，
在中，，
即，
解得：，
．
如图：过点作
∵四边形是矩形，
∴四边形，是矩形
则设
∴
在中，
∴
∴
在中，
∴

【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，，设，则，根据折叠性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）当点与点重合时，设，则，由折叠可得，，，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，过点作，根据矩形判定定理可得四边形，是矩形，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵四边形是矩形
∴，，，
设，则，
由折叠可得，，
在中，，
即，
解得：，
∴；
（2）解：当点与点重合时，
设，则，
由折叠可得，，，，
在中，，
即，
解得：，
．
如图：过点作
∵四边形是矩形，
∴四边形，是矩形
则设
∴
在中，
∴
∴
在中，
∴
23．【答案】（1）证明：∵正方形，∴，
作于P，于Q，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，在中，，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴点F与C重合，矩形为正方形，
∴．
（3）解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）作于P，于Q，利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质可推出，再根据四边形为矩形可推出，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明结论；
（2）先利用勾股定理可求出，据此可推出为的中点，进而得到点F与C重合，矩形为正方形，利用正方形的性质可求出的长度 ；
（3）根据题意分两种情况：与的夹角为；与的夹角为；利用角的运算和四边形内角和定理可求出的度数 ．
1 / 1广西河池市环江县2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025八下·环江期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、 ，是最简二次根式，故此选项正确；
C、 =2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
2．（2025八下·环江期中）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥－3．
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
3．（2025八下·环江期中）下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
不是同类二次根式，不能合并，故D符合题意.
故选D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·环江期中）下列结论正确的是（　　）
A．64的立方根是 B．没有立方根
C．平方根等于本身的数是0 D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、64的立方根是4，故该选项错误；
B、的立方根是，故该选项错误；
C、平方根等于本身的数是0，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
【分析】根据平方根与立方根的性质，算术平方根的意义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025八下·环江期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
6．（2025八下·环江期中）在中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质可得再利用等角的补角相等可得.
7．（2025八下·环江期中）在中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
A．∵四边形是平行四边形，∴不一定正确；
B．∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵与不一定相等，∴与不一定相等，∴一定正确；
C．∵四边形是平行四边形，∴，正确；
D．∵四边形是平行四边形，∴与不一定相等，∴不一定正确．
故选C．
【分析】根据平行四边形性质逐项进行判断即可求出答案.
8．（2025八下·环江期中）一个长方形抽屉长 ，宽 ，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：这根木棒最长 (cm)，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求解即可.
9．（2025八下·环江期中）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=4，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，BD=4，∠A=30°，
∴AB=2BD=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，
故选：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据平行四边形性质即可求出答案.
10．（2025八下·环江期中）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（　　）
A．始终不变 B．不断变小
C．不断变大 D．先变小后变大
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，且点P为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
∵梯子的长度不变，
∴P点和C点的距离始终不变．
故选：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
11．（2025八下·环江期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝20cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝20cm；
故答案为：D．
【分析】连接AC，先证出△ABC是等边三角形，可得AB＝BC＝AC＝20cm，再证出△ABC是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得AC＝AB＝20cm.
12．（2025八下·环江期中）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（　　）．
A．24 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，
根据题意， ，
∵，
∴，
∴
∴，
即的值是30，
故选：B．
【分析】设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，根据正方形面积，完全平方公式即可求出答案.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025八下·环江期中）计算：　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
14．（2025八下·环江期中）计算：
=　 　.
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】原式= =3-2=1.
故答案为：1.
【分析】由平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”和二次根式的性质“=a”可求解。
15．（2025八下·环江期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为　 　．
【答案】25
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
，
则所代表的正方形的面积为25，
故答案为：25．
【分析】根据勾股定理，结合正方形面积即可求出答案.
16．（2025八下·环江期中）如图，以对角线的交点O为原点，平行于边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为，则C点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵对角线的交点O为原点，A点坐标为，
∴点A和点C关于原点对称，
∴C点坐标为：．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质和中心对称图形的定义求出点C的坐标即可.
三、解答题（共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．）
17．（2025八下·环江期中）如图，在中，点分别在，上，且．求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
18．（2025八下·环江期中）（1）
（2）
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差公式，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据二次根式混合运算即可求出答案.
19．（2025八下·环江期中）（1）按要求尺规作图：如图，在中，在，上分别截取，，连接．
（2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，与交于点，四边形的周长为20，，求的长．
【答案】解：（1）依题意，在，上分别截取，，连接，如图所示：
（2）四边形为菱形，理由如下：
由作法得，
四边形为平行四边形，
，
即，
四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形，
（3）四边形为菱形，周长为20，
，，，，
在中，，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）以点为圆心，的长为半径画弧交于一点，即为点，再以点为圆心，的长为半径画弧交于一点，即为点，连接，即可作答；
（2）先证出四边形为平行四边形，再结合AB=AE，即可证出四边形为菱形；
（3）先利用菱形的性质求出，，再利用勾股定理列式计算求解即可.
20．（2025八下·环江期中）如图，在中，，，，点是上（不与，重合），过点作，，垂足分别是，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，连接，为的中点，随着点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，求的长度；若有变化，求的取值范围．
【答案】（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出，再结合，，最后即可证出四边形是矩形；
（2）连接，过点作，当时，则最小，再求出的范围是，最后利用矩形的性质可得的范围是．
（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
21．（2025八下·环江期中）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人．
（1）求．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】（1）解：在中，
∵，，消防车高，
∴，
∴；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得OD，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2025八下·环江期中）矩形折叠探究
在矩形纸片中，，点是边上的一点．
（1）如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长；
（2）如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形
∴，，，
设，则，
由折叠可得，，
在中，，
即，
解得：，
∴；
（2）解：当点与点重合时，
设，则，
由折叠可得，，，，
在中，，
即，
解得：，
．
如图：过点作
∵四边形是矩形，
∴四边形，是矩形
则设
∴
在中，
∴
∴
在中，
∴

【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，，，设，则，根据折叠性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）当点与点重合时，设，则，由折叠可得，，，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，过点作，根据矩形判定定理可得四边形，是矩形，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵四边形是矩形
∴，，，
设，则，
由折叠可得，，
在中，，
即，
解得：，
∴；
（2）解：当点与点重合时，
设，则，
由折叠可得，，，，
在中，，
即，
解得：，
．
如图：过点作
∵四边形是矩形，
∴四边形，是矩形
则设
∴
在中，
∴
∴
在中，
∴
23．（2025八下·环江期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】（1）证明：∵正方形，∴，
作于P，于Q，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，在中，，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴点F与C重合，矩形为正方形，
∴．
（3）解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：
（1）作于P，于Q，利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质可推出，再根据四边形为矩形可推出，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明结论；
（2）先利用勾股定理可求出，据此可推出为的中点，进而得到点F与C重合，矩形为正方形，利用正方形的性质可求出的长度 ；
（3）根据题意分两种情况：与的夹角为；与的夹角为；利用角的运算和四边形内角和定理可求出的度数 ．
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