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广西南宁市第十四中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025八下·南宁期中）下列二次根式中，最简二次根式是 　　
A． B． C． D．
2．（2025八下·南宁期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
3．（2025八下·南宁期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·南宁期中）在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·南宁期中）据统计，某校七个班了解并使用过（人工智能AI软件）的同学人数分别为：25，26，27，28，30，30，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．25和29 B．25和30 C．28和29 D．28和30
6．（2025八下·南宁期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·南宁期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·南宁期中）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
9．（2025八下·南宁期中）在太阳和月球的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位．如图是某海港某天的实时潮位图．某海港某日0时到24时的水深随时间的变化如图所示．下列从图象中得到的信息正确的是（　　）
A．24时水深最高
B．两次最高水深的时间间隔12小时
C．12时的水深为
D．0时到12时之间水深持续上升
10．（2025八下·南宁期中）如图，直线l上有三个正方形a、b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（　　）
A．8 B． C．41 D．12
11．（2025八下·南宁期中）如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八下·南宁期中）若关于x的一次函数不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．或 B．或 C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025八下·南宁期中）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025八下·南宁期中）甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　 　．
15．（2025八下·南宁期中）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为　 　．
16．（2025八下·南宁期中）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·南宁期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025八下·南宁期中）如图，中，，D、E分别为、的中点，连接，过E作交的延长线于F．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
19．（2025八下·南宁期中）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛，所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图：
两组样本数据的众数、中位数、平均数如表所示：
年级 众数（分） 中位数（分） 平均分（分）
七年级 a b 14.4
八年级 12 12 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据．你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由（写出一条即可）；
（3）若七年级共有800名学生，请你估计七年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数．
20．（2025八下·南宁期中）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象．概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
x … 0 1 2 3 4 …
y … a b …
（1）列表，写出表中a，b的值：__________，__________；画图，在平面直角坐标系中补全该函数的图象；
（2）观察函数图象、写出关于函数的一条性质的结论；
（3）若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直线与函数围成的封闭图形的内部恰有五个整点时（不包含和图象上的点），m的取值范围为__________．
21．（2025八下·南宁期中）某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架，若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元．
（1）请你求出甲、乙两种栽培架的单价；
（2）若该校计划购进这两种规格的栽培架共140个，且乙种栽培架的数量不少于56个，设购买这批栽培架所需费用为w元，甲种栽培架购买a个．求w与a之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？
22．（2025八下·南宁期中）综合与实践：
折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧，定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图1．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若的面积为12，，则此完美矩形的边长__________，面积为__________．
（2）类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若的面积为40，，求完美矩形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若，，求此完美矩形EFGH的周长与面积．
23．（2025八下·南宁期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，点在线段上，点的横坐标为，过点作轴交折线于．
（1）求点，的坐标；
（2）当时，求的长度；
（3）分别过点，作，垂直于轴，垂足分别为点，，当时，求矩形周长的最大值；
（4）在轴上取一点，连接使得．当时，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故本选项不合题意；
是最简二次根式，故本选项符合题意；
，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
故答案为： ．
【分析】下列二次根式中，最简二次根式是 ．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，不能构成直角三角形，故选项符合题意；
B.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据正比例函数的定义可知为正比例函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义（我们把形如y=kx，且k≠0的解析式称为正比例函数）分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意；
添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
添加，能判定是菱形；选项C符合题意；
添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
故选：C．
【分析】根据菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：一共7个数据，按从小到大排列，最中间的数为28，
故中位数为：28，
其中30出现的次数最多，
故众数为30，
故答案为：D.
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）和众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和二次根式的除法计算方法逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由菱形知，
∴，，，
∴，
∵点M为的中点，O为的中点，
∴；
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A．由图象可知，3时和15时水深最高，故本选项不符合题意；
B．两次最高水深的时间间隔为（小时），故本选项符合题意；
C．由图象可知，12时的水深，故本选项不符合题意；
D．由图象可知，0时到12时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】结合函数图象中的数据逐项分析判断即可.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：
根据题意可知：，，，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
；
故答案为：D．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得CE=DF，再利用勾股定理求出BC2的值，从而可得答案.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可求，由面积法求得，证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得．
12．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
则x的取值范围是：，
故答案为： ．
【分析】掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，先求出，再计算求解即可。
14．【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，．，
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】根据“方差越小，乘积越稳定”解答即可．
15．【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即，
∵平移后的直线与轴交于，
，
解得：，
故答案为：1．
【分析】先利用函数解析式平移的特征可得新的解析式为，再将点代入求出k的值即可.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作交于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作交于，先证出，利用全等三角形的性质可得，，利用勾股定理求出，再证出是等腰直角三角形， 可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，最后求出即可.
17．【答案】解：（1）
（2）
，
当时，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
18．【答案】（1）证明：∵D、E分别为、的中点，
∴为的中位线，
，即
∵，
四边形为平行四边形．
（2）解：，，
为等边三角形，
D为中点，
，
．
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证出DE为的中位线，利用中位线的性质可得，即，再结合EF//DC，即可证出四边形为平行四边形；
（2）先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用平行四边形的性质可得．
（1）证明：∵D、E分别为、的中点
∴为的中位线，
，即
又，
四边形为平行四边形．
（2）解：，，
为等边三角形，
D为中点，
，
．
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
19．【答案】（1）16，16，14.4
（2）解：七年级学生安全知识竞赛成绩更好．
因为七年级的中位数大于八年级的中位数，七年级有一半以上的人成绩大于16分，
所以七年级学生安全知识竞赛成绩更好．（或七年级的众数大于八年级的众数，七年级大多数人的竞赛成绩是16分）
（3）解：用样本估计总体得：
答：估计七年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数为160人.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级中，16分的人数最多，
故，
七年级中，中位数位于最中间的是第10位数和第11位数，均为16，
故
，
故答案为：16，16，14.4.
【分析】（1）利用中位数、众数和平均数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用中位数、众数和平均数的定义及性质分析求解即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以800可得答案.
（1）解：七年级中，16分的人数最多，
故，
七年级中，中位数位于最中间的是第10位数和第11位数，均为16，
故
（2）解：七年级学生安全知识竞赛成绩更好．因为七年级的中位数大于八年级的中位数，七年级有一半以上的人成绩大于16分，所以七年级学生安全知识竞赛成绩更好．（或七年级的众数大于八年级的众数，七年级大多数人的竞赛成绩是16分）
（3）解：用样本估计总体得：
答：估计七年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数为160人
20．【答案】（1）解：，，
如下图，函数图象为所求（画图要求：平滑曲线，不与x轴有交点）故
（2）解：函数图象关于y轴对称（函数值；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值，言之有理即可）
（3）
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：当，，
当，，
∴，．
故答案为：，；
（3）解：由函数图象围成的图形中，有整数点，，，等，
∴当时，直线与函数围成的封闭图形的内部恰有五个整点
故答案为：．
【分析】（1）将x=1和x=3分别代入解析式求出a、b的值即可；
（2）根据函数图象直接分析求解即可；
（3）结合函数图形并利用“封闭图形的内部恰有五个整点”分析求解即可.
（1）解：当，，
当，，
∴，．
故答案为：，；
如下图，函数图象为所求（画图要求：平滑曲线，不与x轴有交点）故
（2）解：函数图象关于y轴对称（函数值；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值，言之有理即可）
（3）解：由函数图象围成的图形中，有整数点，，，等，
∴当时，直线与函数围成的封闭图形的内部恰有五个整点
故答案为：．
21．【答案】（1）解：设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元.
（2）解：甲种花架购买a个，则乙种花架购买个，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
，
随a的增大而减小，
当时，w取最小值，最小值为，
答：当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，利用“ 若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元 ”列出方程组求解即可；
（2）甲种花架购买a个，则乙种花架购买个，利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，
根据题意得：，解得：，
答：甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元；
（2）解：甲种花架购买a个，则乙种花架购买个，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
，
随a的增大而减小，
当时，w取最小值，最小值为，
答：当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元．
22．【答案】（1）3；6
（2）解：由折叠可知：，，
，
同理可知：，，
矩形的面积为：，
，
矩形的周长.
（3）解：连接EG，如图所示：
由折叠可知：点、分别是、的中点，
，，
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
在中，设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
，，
此完美矩形的周长为．面积是．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
如图，过点作于，交于点，
，
，
由折叠可知：，
，
完美矩形的面积为：．
故答案为：3；6.
【分析】（1）过点作于，交于点，利用三角形的面积公式可得，求出AM的长，再利用折叠的性质可得，最后利用矩形的面积公式求解即可；
（2）利用折叠的性质可得，，再结合，，求出，最后求出矩形的周长即可；
（3）连接EG，先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，可得，，最后求出矩形的周长和面积即可.
（1）解：由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
如图，过点作于，交于点，
，
，
由折叠可知：，
，
完美矩形的面积为：．
故答案为：3；6；
（2）解：由折叠可知：，，
，
同理可知：，，
矩形的面积为：，
，
矩形的周长；
（3）解：连接EG
由折叠可知：点、分别是、的中点，
，，
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
在中，设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
，，
此完美矩形的周长为．面积是．
23．【答案】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
∴当时，得：，解得：；
当时，得：，
∴，.
（2）解：设直线的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，点的横坐标为，
设，
又∵轴，
∴，
∴，
∴的长度为.
（3）解：∵轴，轴，
∴，，
∵轴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图，当时，
由（2）知：，，
∴，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，；
②如图，当时，
设直线解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为 ，
此时，，
∴，，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，，
综上所述，矩形周长的最大值为.
（4）或
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（4）设交轴于点，
∵，
∴，
①如图，当点在线段的左侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
②如图，当点在线段的右侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
综上所述，当时，的取值范围是或．
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出答案即可；
（2）先求出直线OC的解析式，再设，利用轴，可得点N的坐标，最后利用两点之间的距离公式求出MN的长即可；
（3）先证出四边形是矩形，可得，再分类讨论：①当时，②当时，先分别画出图形，再利用矩形的周长公式及一次函数的性质分析求解即可；
（4）设交轴于点，先求出，再分类讨论：①当点在线段的左侧，②当点在线段的右侧，再分别画出图形并求解即可.
（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
当时，得：，解得：；
当时，得：，
∴，；
（2）设直线的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，点的横坐标为，
设，
又∵轴，
∴，
∴，
∴的长度为；
（3）∵轴，轴，
∴，，
∵轴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图，当时，
由（2）知：，，
∴，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，；
②如图，当时，
设直线解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为 ，
此时，，
∴，，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，，
综上所述，矩形周长的最大值为；
（4）设交轴于点，
∵，
∴，
①如图，当点在线段的左侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
②如图，当点在线段的右侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
综上所述，当时，的取值范围是或．
1 / 1广西南宁市第十四中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025八下·南宁期中）下列二次根式中，最简二次根式是 　　
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故本选项不合题意；
是最简二次根式，故本选项符合题意；
，故本选项不合题意；
，故本选项不合题意；
故答案为： ．
【分析】下列二次根式中，最简二次根式是 ．
2．（2025八下·南宁期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，不能构成直角三角形，故选项符合题意；
B.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
3．（2025八下·南宁期中）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：根据正比例函数的定义可知为正比例函数，
故答案为：B.
【分析】利用正比例函数的定义（我们把形如y=kx，且k≠0的解析式称为正比例函数）分析求解即可.
4．（2025八下·南宁期中）在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意；
添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
添加，能判定是菱形；选项C符合题意；
添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
故选：C．
【分析】根据菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025八下·南宁期中）据统计，某校七个班了解并使用过（人工智能AI软件）的同学人数分别为：25，26，27，28，30，30，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．25和29 B．25和30 C．28和29 D．28和30
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：一共7个数据，按从小到大排列，最中间的数为28，
故中位数为：28，
其中30出现的次数最多，
故众数为30，
故答案为：D.
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）和众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
6．（2025八下·南宁期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和二次根式的除法计算方法逐项分析判断即可.
7．（2025八下·南宁期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的一元一次不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴由图像可知，关于的一元一次不等式的解集为．
故选：C．
【分析】当直线的图象在直线的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
8．（2025八下·南宁期中）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由菱形知，
∴，，，
∴，
∵点M为的中点，O为的中点，
∴；
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
9．（2025八下·南宁期中）在太阳和月球的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位．如图是某海港某天的实时潮位图．某海港某日0时到24时的水深随时间的变化如图所示．下列从图象中得到的信息正确的是（　　）
A．24时水深最高
B．两次最高水深的时间间隔12小时
C．12时的水深为
D．0时到12时之间水深持续上升
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A．由图象可知，3时和15时水深最高，故本选项不符合题意；
B．两次最高水深的时间间隔为（小时），故本选项符合题意；
C．由图象可知，12时的水深，故本选项不符合题意；
D．由图象可知，0时到12时之间的水深先上升再下降，最后又上升，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】结合函数图象中的数据逐项分析判断即可.
10．（2025八下·南宁期中）如图，直线l上有三个正方形a、b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（　　）
A．8 B． C．41 D．12
【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：
根据题意可知：，，，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
；
故答案为：D．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得CE=DF，再利用勾股定理求出BC2的值，从而可得答案.
11．（2025八下·南宁期中）如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故选：A．
【分析】根据勾股定理可求，由面积法求得，证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得．
12．（2025八下·南宁期中）若关于x的一次函数不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知：，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025八下·南宁期中）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
则x的取值范围是：，
故答案为： ．
【分析】掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，先求出，再计算求解即可。
14．（2025八下·南宁期中）甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　 　．
【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，．，
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】根据“方差越小，乘积越稳定”解答即可．
15．（2025八下·南宁期中）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即，
∵平移后的直线与轴交于，
，
解得：，
故答案为：1．
【分析】先利用函数解析式平移的特征可得新的解析式为，再将点代入求出k的值即可.
16．（2025八下·南宁期中）如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作交于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
又，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作交于，先证出，利用全等三角形的性质可得，，利用勾股定理求出，再证出是等腰直角三角形， 可得，再证出，利用全等三角形的性质可得，最后求出即可.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·南宁期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
（2）
，
当时，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
18．（2025八下·南宁期中）如图，中，，D、E分别为、的中点，连接，过E作交的延长线于F．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵D、E分别为、的中点，
∴为的中位线，
，即
∵，
四边形为平行四边形．
（2）解：，，
为等边三角形，
D为中点，
，
．
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证出DE为的中位线，利用中位线的性质可得，即，再结合EF//DC，即可证出四边形为平行四边形；
（2）先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出CD的长，最后利用平行四边形的性质可得．
（1）证明：∵D、E分别为、的中点
∴为的中位线，
，即
又，
四边形为平行四边形．
（2）解：，，
为等边三角形，
D为中点，
，
．
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
19．（2025八下·南宁期中）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛，所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图：
两组样本数据的众数、中位数、平均数如表所示：
年级 众数（分） 中位数（分） 平均分（分）
七年级 a b 14.4
八年级 12 12 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据．你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由（写出一条即可）；
（3）若七年级共有800名学生，请你估计七年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）16，16，14.4
（2）解：七年级学生安全知识竞赛成绩更好．
因为七年级的中位数大于八年级的中位数，七年级有一半以上的人成绩大于16分，
所以七年级学生安全知识竞赛成绩更好．（或七年级的众数大于八年级的众数，七年级大多数人的竞赛成绩是16分）
（3）解：用样本估计总体得：
答：估计七年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数为160人.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：七年级中，16分的人数最多，
故，
七年级中，中位数位于最中间的是第10位数和第11位数，均为16，
故
，
故答案为：16，16，14.4.
【分析】（1）利用中位数、众数和平均数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用中位数、众数和平均数的定义及性质分析求解即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以800可得答案.
（1）解：七年级中，16分的人数最多，
故，
七年级中，中位数位于最中间的是第10位数和第11位数，均为16，
故
（2）解：七年级学生安全知识竞赛成绩更好．因为七年级的中位数大于八年级的中位数，七年级有一半以上的人成绩大于16分，所以七年级学生安全知识竞赛成绩更好．（或七年级的众数大于八年级的众数，七年级大多数人的竞赛成绩是16分）
（3）解：用样本估计总体得：
答：估计七年级安全知识竞赛成绩优秀的学生人数为160人
20．（2025八下·南宁期中）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象．概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
x … 0 1 2 3 4 …
y … a b …
（1）列表，写出表中a，b的值：__________，__________；画图，在平面直角坐标系中补全该函数的图象；
（2）观察函数图象、写出关于函数的一条性质的结论；
（3）若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直线与函数围成的封闭图形的内部恰有五个整点时（不包含和图象上的点），m的取值范围为__________．
【答案】（1）解：，，
如下图，函数图象为所求（画图要求：平滑曲线，不与x轴有交点）故
（2）解：函数图象关于y轴对称（函数值；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值，言之有理即可）
（3）
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：当，，
当，，
∴，．
故答案为：，；
（3）解：由函数图象围成的图形中，有整数点，，，等，
∴当时，直线与函数围成的封闭图形的内部恰有五个整点
故答案为：．
【分析】（1）将x=1和x=3分别代入解析式求出a、b的值即可；
（2）根据函数图象直接分析求解即可；
（3）结合函数图形并利用“封闭图形的内部恰有五个整点”分析求解即可.
（1）解：当，，
当，，
∴，．
故答案为：，；
如下图，函数图象为所求（画图要求：平滑曲线，不与x轴有交点）故
（2）解：函数图象关于y轴对称（函数值；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值，言之有理即可）
（3）解：由函数图象围成的图形中，有整数点，，，等，
∴当时，直线与函数围成的封闭图形的内部恰有五个整点
故答案为：．
21．（2025八下·南宁期中）某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架，若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元．
（1）请你求出甲、乙两种栽培架的单价；
（2）若该校计划购进这两种规格的栽培架共140个，且乙种栽培架的数量不少于56个，设购买这批栽培架所需费用为w元，甲种栽培架购买a个．求w与a之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？
【答案】（1）解：设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元.
（2）解：甲种花架购买a个，则乙种花架购买个，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
，
随a的增大而减小，
当时，w取最小值，最小值为，
答：当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，利用“ 若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元 ”列出方程组求解即可；
（2）甲种花架购买a个，则乙种花架购买个，利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，
根据题意得：，解得：，
答：甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元；
（2）解：甲种花架购买a个，则乙种花架购买个，
由题意得：，
解得：，
根据题意得：，
，
随a的增大而减小，
当时，w取最小值，最小值为，
答：当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元．
22．（2025八下·南宁期中）综合与实践：
折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧，定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图1．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若的面积为12，，则此完美矩形的边长__________，面积为__________．
（2）类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美矩形AEFG，若的面积为40，，求完美矩形AEFG的周长．
（3）拓展延伸：
如图3．将纸片按所示折叠成完美矩形EFGH，若，，求此完美矩形EFGH的周长与面积．
【答案】（1）3；6
（2）解：由折叠可知：，，
，
同理可知：，，
矩形的面积为：，
，
矩形的周长.
（3）解：连接EG，如图所示：
由折叠可知：点、分别是、的中点，
，，
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
在中，设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
，，
此完美矩形的周长为．面积是．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
如图，过点作于，交于点，
，
，
由折叠可知：，
，
完美矩形的面积为：．
故答案为：3；6.
【分析】（1）过点作于，交于点，利用三角形的面积公式可得，求出AM的长，再利用折叠的性质可得，最后利用矩形的面积公式求解即可；
（2）利用折叠的性质可得，，再结合，，求出，最后求出矩形的周长即可；
（3）连接EG，先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，可得，，最后求出矩形的周长和面积即可.
（1）解：由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
如图，过点作于，交于点，
，
，
由折叠可知：，
，
完美矩形的面积为：．
故答案为：3；6；
（2）解：由折叠可知：，，
，
同理可知：，，
矩形的面积为：，
，
矩形的周长；
（3）解：连接EG
由折叠可知：点、分别是、的中点，
，，
由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
在中，设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
，，
此完美矩形的周长为．面积是．
23．（2025八下·南宁期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，点的坐标为，点在线段上，点的横坐标为，过点作轴交折线于．
（1）求点，的坐标；
（2）当时，求的长度；
（3）分别过点，作，垂直于轴，垂足分别为点，，当时，求矩形周长的最大值；
（4）在轴上取一点，连接使得．当时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
∴当时，得：，解得：；
当时，得：，
∴，.
（2）解：设直线的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，点的横坐标为，
设，
又∵轴，
∴，
∴，
∴的长度为.
（3）解：∵轴，轴，
∴，，
∵轴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图，当时，
由（2）知：，，
∴，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，；
②如图，当时，
设直线解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为 ，
此时，，
∴，，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，，
综上所述，矩形周长的最大值为.
（4）或
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（4）设交轴于点，
∵，
∴，
①如图，当点在线段的左侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
②如图，当点在线段的右侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
综上所述，当时，的取值范围是或．
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出答案即可；
（2）先求出直线OC的解析式，再设，利用轴，可得点N的坐标，最后利用两点之间的距离公式求出MN的长即可；
（3）先证出四边形是矩形，可得，再分类讨论：①当时，②当时，先分别画出图形，再利用矩形的周长公式及一次函数的性质分析求解即可；
（4）设交轴于点，先求出，再分类讨论：①当点在线段的左侧，②当点在线段的右侧，再分别画出图形并求解即可.
（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
当时，得：，解得：；
当时，得：，
∴，；
（2）设直线的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点在线段上，点的横坐标为，
设，
又∵轴，
∴，
∴，
∴的长度为；
（3）∵轴，轴，
∴，，
∵轴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
①如图，当时，
由（2）知：，，
∴，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，；
②如图，当时，
设直线解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线解析式为 ，
此时，，
∴，，
∴矩形周长：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，，
综上所述，矩形周长的最大值为；
（4）设交轴于点，
∵，
∴，
①如图，当点在线段的左侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
②如图，当点在线段的右侧，
∵轴，，，
∴轴，即，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴当时，此时的取值范围是；
综上所述，当时，的取值范围是或．
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