资源简介

广西南宁市青秀区凤岭北路中学2024－2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·青秀期中）下列四个实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025七下·青秀期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
4．（2025七下·青秀期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·青秀期中）下面是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·青秀期中）如图，，下列线段的长能表示点B到的距离的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·青秀期中）如图，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·青秀期中）下列说法正确的是（　　）
A．垂线最短
B．对顶角相等
C．两点之间直线最短
D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
9．（2025七下·青秀期中）如图所示的是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶翅膀顶部点C的坐标为，表示蝴蝶翅膀尾部点A的坐标为，则蝴蝶翅膀尾部另一点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·青秀期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·青秀期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（　　）．
A． B． C． D．
12．（2025七下·青秀期中）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025七下·青秀期中）25的算术平方根是　 　．
14．（2025七下·青秀期中）点在轴上，则的值是　 　．
15．（2025七下·青秀期中）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当　 　时，木条与平行．
16．（2025七下·青秀期中）如图是青湖公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长米．宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么王华沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为　 　米．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·青秀期中）（1）计算：．
（2）求x的值：．
18．（2025七下·青秀期中）解方程组
19．（2025七下·青秀期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为．
（1）把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到了，请画出；
（2）请直接写出点，，的坐标；
（3）求的面积．
20．（2025七下·青秀期中）如图，中，E是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，DF平分，求的度数．
21．（2025七下·青秀期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，请问购买方案分别是：___________________________________________________
22．（2025七下·青秀期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？
小南用自己的方法进行了探究：，而，即．
任务：
（1）结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系．
（2）运用以上结论，计算：①，②
（3）运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积．
23．（2025七下·青秀期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
请用上面的结论解决下面的问题：
【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，是有理数，是无理数，
故答案为：B．
【分析】根据无限不循环小数是无理数解答即可．
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
故点所在的象限是第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
3．【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图可知C是平移得到，A、B、D不是平移得到，
故选：C．
【分析】
平移不改变图形的形状与大小，平移前后对应点的连线平行且相等，或在同一条直线上．
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当a=0时，a2=0，
∴能说明命题“对于任意实数a，都有a2>0”是假命题的反例是a=0.
故答案选：C.
【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例，即满足命题的条件，但不满足命题的结论的例子即可.要找出一个实数a，使得a2≤0，从而说明原命题是假命题.通过观察选项，可以发现当a=0时，a2=0，这与原命题的结论相矛盾，因此得出结论.
5．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入得：，所以该选项不符合题意；
B、把代入得：，所以该选项不符合题意；
C、把代入得：，所以该选项符合题意；
D、把代入得：，所以该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】将各项解代入方程组进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴线段的长能表示点B到的距离．
故选：B．
【分析】本题考查点到直线的距离．根据，利用点到直线的距离的定义可得线段的长能表示点B到的距离．
7．【答案】A
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用邻补角求出∠AFC的度数，再利用平行线的性质求出即可.
8．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线的概念；垂线段最短及其应用；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、垂线最短，说法错误；
B、对顶角相等，说法正确；
C、两点之间直线最短，说法错误；
D、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法错误；
故选：B．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短；对顶角的性质：对顶角相等；两点之间，线段最短；垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直分别进行分析即可．
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由A、C两点的坐标分别为，，可得如图所示的平面直角坐标系，
则点B坐标为，
故选：B．
【分析】根据点A，C的坐标作出直角坐标，再根据点B的位置求出坐标即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每本甲种书x元，每本乙种书y元，
根据题意：，
故答案为：C．
【分析】设每本甲种书x元，每本乙种书y元，利用“ 每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共230元 ”列出方程组即可.
11．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：由条件可知正方形的边长为，
，
点表示的数为．
故选：B．
【分析】
首先利用正方形面积公式求出边长，从而得到AE的长度为；然后根据数轴上点的位置关系，即点E在点A左侧，用点A表示的数减去AE的长度，就可得出点E所表示的数为。
12．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
14．【答案】4
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点在y轴上，
，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用y轴上点坐标的特征可得，再求出a的值即可.
15．【答案】70
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
木条转动时．
当时，．
∴当时，木条a与b平行．
故答案为：70．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
16．【答案】104
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由图可知，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米；
故答案为：104．
【分析】利用平移的性质列出算式，再利用周长公式求解即可.
17．【答案】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；利用开平方求未知数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
18．【答案】解：
，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：；
∴方程组的解集为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），，；
（3）解：．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可求出答案.
（2）根据平移性质即可求出答案.
（3）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由平移后的图形可得，，；
（3）．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵DF平分，
∴
在中，
∵，
∴．
答：的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得，即可证出；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵DF平分，
∴
在中，
∵，
∴．
答：的度数为．
21．【答案】解：任务1、设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2、设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，
由题意得：
整理得：，
均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案：（1）A款奶茶14杯，购买B款奶茶5杯；（2）A款奶茶8杯，购买B款奶茶10杯；（3）A款奶茶2杯，购买B款奶茶15杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；二元一次不定方程
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．
任务1：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2，设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，根据购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
22．【答案】（1）解：根据阅读材料中的例题得，当时，.
（2）解：①，
②.
（3）解：由题意，得长方形的面积．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法利用二次根式的乘法的计算方法求解即可；
（2）利用（1）的规律并利用二次根式的乘法的计算方法求解即可；
（3）利用长方形的面积公式列出算式，再利用二次根式的乘法的计算方法求解即可.
（1）根据阅读材料中的例题得，当时，；
（2）①，
②；
（3）由题意，得长方形的面积．
23．【答案】解：（1）如图①，，理由如下：
过作直线，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
如图②，，理由如下：
过作直线，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图③，延长，交于点，过作，
而，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图④，
由（1）的结论可得：，，
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）如图①，过作直线，由平行于同一直线的两条直线互相平行可得，再利用二直线平行，同旁内角互补可得，，然后将两个等式相加可得结论；如图②，过作直线，由平行于同一直线的两条直线互相平行可得，由二直线平行，内错角相等得，，然后将两个等式相加可得结论；
（2）如图③，延长，交于点，过作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得，由二直线平行，内错角相等得，利用二直线平行，同旁内角互补可得，由二直线平行，同位角相等得，再结合垂直定义可得，从而根据角的构成可求出∠BAO的度数；
（3）由（1）的结论可得：，，由角平分线定义得，，结合可得结论．
1 / 1广西南宁市青秀区凤岭北路中学2024－2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·青秀期中）下列四个实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，是有理数，是无理数，
故答案为：B．
【分析】根据无限不循环小数是无理数解答即可．
2．（2025七下·青秀期中）在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
故点所在的象限是第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
3．（2025七下·青秀期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
【答案】C
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图可知C是平移得到，A、B、D不是平移得到，
故选：C．
【分析】
平移不改变图形的形状与大小，平移前后对应点的连线平行且相等，或在同一条直线上．
4．（2025七下·青秀期中）下列选项中，能说明命题“对于任何实数a，都有”是假命题的a的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当a=0时，a2=0，
∴能说明命题“对于任意实数a，都有a2>0”是假命题的反例是a=0.
故答案选：C.
【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例，即满足命题的条件，但不满足命题的结论的例子即可.要找出一个实数a，使得a2≤0，从而说明原命题是假命题.通过观察选项，可以发现当a=0时，a2=0，这与原命题的结论相矛盾，因此得出结论.
5．（2025七下·青秀期中）下面是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入得：，所以该选项不符合题意；
B、把代入得：，所以该选项不符合题意；
C、把代入得：，所以该选项符合题意；
D、把代入得：，所以该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】将各项解代入方程组进行判断即可求出答案.
6．（2025七下·青秀期中）如图，，下列线段的长能表示点B到的距离的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴线段的长能表示点B到的距离．
故选：B．
【分析】本题考查点到直线的距离．根据，利用点到直线的距离的定义可得线段的长能表示点B到的距离．
7．（2025七下·青秀期中）如图，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用邻补角求出∠AFC的度数，再利用平行线的性质求出即可.
8．（2025七下·青秀期中）下列说法正确的是（　　）
A．垂线最短
B．对顶角相等
C．两点之间直线最短
D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线的概念；垂线段最短及其应用；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、垂线最短，说法错误；
B、对顶角相等，说法正确；
C、两点之间直线最短，说法错误；
D、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法错误；
故选：B．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短；对顶角的性质：对顶角相等；两点之间，线段最短；垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直分别进行分析即可．
9．（2025七下·青秀期中）如图所示的是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶翅膀顶部点C的坐标为，表示蝴蝶翅膀尾部点A的坐标为，则蝴蝶翅膀尾部另一点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由A、C两点的坐标分别为，，可得如图所示的平面直角坐标系，
则点B坐标为，
故选：B．
【分析】根据点A，C的坐标作出直角坐标，再根据点B的位置求出坐标即可求出答案.
10．（2025七下·青秀期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每本甲种书x元，每本乙种书y元，
根据题意：，
故答案为：C．
【分析】设每本甲种书x元，每本乙种书y元，利用“ 每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共230元 ”列出方程组即可.
11．（2025七下·青秀期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；正方形的性质；求算术平方根
【解析】【解答】解：由条件可知正方形的边长为，
，
点表示的数为．
故选：B．
【分析】
首先利用正方形面积公式求出边长，从而得到AE的长度为；然后根据数轴上点的位置关系，即点E在点A左侧，用点A表示的数减去AE的长度，就可得出点E所表示的数为。
12．（2025七下·青秀期中）如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据角之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025七下·青秀期中）25的算术平方根是　 　．
【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
14．（2025七下·青秀期中）点在轴上，则的值是　 　．
【答案】4
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点在y轴上，
，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用y轴上点坐标的特征可得，再求出a的值即可.
15．（2025七下·青秀期中）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当　 　时，木条与平行．
【答案】70
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
木条转动时．
当时，．
∴当时，木条a与b平行．
故答案为：70．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
16．（2025七下·青秀期中）如图是青湖公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长米．宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么王华沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为　 　米．
【答案】104
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由图可知，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米；
故答案为：104．
【分析】利用平移的性质列出算式，再利用周长公式求解即可.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·青秀期中）（1）计算：．
（2）求x的值：．
【答案】解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；利用开平方求未知数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
18．（2025七下·青秀期中）解方程组
【答案】解：
，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：；
∴方程组的解集为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．（2025七下·青秀期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为．
（1）把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到了，请画出；
（2）请直接写出点，，的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），，；
（3）解：．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可求出答案.
（2）根据平移性质即可求出答案.
（3）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由平移后的图形可得，，；
（3）．
20．（2025七下·青秀期中）如图，中，E是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，DF平分，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵DF平分，
∴
在中，
∵，
∴．
答：的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合，利用等量代换可得，即可证出；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵DF平分，
∴
在中，
∵，
∴．
答：的度数为．
21．（2025七下·青秀期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，请问购买方案分别是：___________________________________________________
【答案】解：任务1、设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2、设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，
由题意得：
整理得：，
均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案：（1）A款奶茶14杯，购买B款奶茶5杯；（2）A款奶茶8杯，购买B款奶茶10杯；（3）A款奶茶2杯，购买B款奶茶15杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；二元一次不定方程
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．
任务1：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2，设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，根据购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
22．（2025七下·青秀期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？
小南用自己的方法进行了探究：，而，即．
任务：
（1）结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系．
（2）运用以上结论，计算：①，②
（3）运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积．
【答案】（1）解：根据阅读材料中的例题得，当时，.
（2）解：①，
②.
（3）解：由题意，得长方形的面积．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法利用二次根式的乘法的计算方法求解即可；
（2）利用（1）的规律并利用二次根式的乘法的计算方法求解即可；
（3）利用长方形的面积公式列出算式，再利用二次根式的乘法的计算方法求解即可.
（1）根据阅读材料中的例题得，当时，；
（2）①，
②；
（3）由题意，得长方形的面积．
23．（2025七下·青秀期中）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．
【建立模型】（1）如图①②已知，点在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明．
请用上面的结论解决下面的问题：
【解决问题】（2）如图是一盏可调节台灯，如图3为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数．
【拓展应用】（3）如图（4），已知和分别平分和，若，求的度数．
【答案】解：（1）如图①，，理由如下：
过作直线，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
如图②，，理由如下：
过作直线，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图③，延长，交于点，过作，
而，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图④，
由（1）的结论可得：，，
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）如图①，过作直线，由平行于同一直线的两条直线互相平行可得，再利用二直线平行，同旁内角互补可得，，然后将两个等式相加可得结论；如图②，过作直线，由平行于同一直线的两条直线互相平行可得，由二直线平行，内错角相等得，，然后将两个等式相加可得结论；
（2）如图③，延长，交于点，过作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得，由二直线平行，内错角相等得，利用二直线平行，同旁内角互补可得，由二直线平行，同位角相等得，再结合垂直定义可得，从而根据角的构成可求出∠BAO的度数；
（3）由（1）的结论可得：，，由角平分线定义得，，结合可得结论．
1 / 1

展开更多......

收起↑