资源简介

广西贵港市平南县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025八下·平南期中）我国有56个民族，各民族的传统服饰图案各具特色．下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·平南期中）在中，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·平南期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（　　）
A．6 B．4.5 C．3.5 D．3
4．（2025八下·平南期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·平南期中）如图，台风过后，同学们发现学校一棵树在距离地面处折断了，倒下部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·平南期中）在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，6 B．7，8，10 C．3，4，5 D．1，1，2
7．（2025八下·平南期中）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·平南期中）如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·平南期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·平南期中）如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（　　）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两角的平分线的交点处
11．（2025八下·平南期中）如图，某同学利用几何画板作图发现：在矩形中，是上的一个动点，过点分别作两条对角线的垂线，垂足分别是E，F，不管怎么移动点，的值都保持不变．若，，则的值为（　　）
A． B． C．12 D．24
12．（2025八下·平南期中）如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　）
A． B． C．6 D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025八下·平南期中）试写出一组勾股数　 　．
14．（2025八下·平南期中）一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是　 　．
15．（2025八下·平南期中）如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为　 　．
16．（2025八下·平南期中）如图，在正方形和正方形中，点在上．若，，点是的中点，则的长是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（2025八下·平南期中） 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长．
18．（2025八下·平南期中）已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速．
19．（2025八下·平南期中）如图，在中，．
（1）用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求证：．
20．（2025八下·平南期中）如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：是等边三角形．
21．（2025八下·平南期中）《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中记录“出入相补法”原理如下：如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接，则四边形的面积等于的面积．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
22．（2025八下·平南期中）如图，数学兴趣小组成员将的对角线向两个方向延长，且使，分别连接，，，．
（1）求证：；
（2）对角线向两边延长到什么情况时，四边形是矩形？请说明理由．
23．（2025八下·平南期中）【知识运用】
（1）如图1，是的一条中位线，求证：，．
【知识迁移】
（2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程．
【知识拓展】
（3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意；
C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意；
D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由定义进行逐项判断．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和定理计算∠C的度数．
3．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意可知：，
在中，是的中线，
故答案为：D．
【分析】
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．先根据题图，求出斜边AB的长，再由直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，且，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的性质对角相等可得，，结合已知可求的度数．
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意得：，，
，
，
，即这棵树在折断前的高度是6米．
故答案为：B．
【分析】如图：
由含角的直角三角形的性质得，再根据线段的和差，求出的长．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
C、，能围成直角三角形，此选项正确；
D、，故不能围成直角三角形，此选项错误．
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：五边形是正五边形，
，，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】
根据正五边形的性质各个边、各个角都相等得，，再利用等腰三角形的性质求出的度数，∠BCD与∠BCA的差等于的度数．
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取和的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：B．
【分析】由题意可知是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半，则．
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
平分．
故选：D．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线定义即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可作两个角的角平分线交点实际问题中为灯安装的位置．
11．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；三角形的高；数形结合；转化思想
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵矩形的两边，，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接．由矩形的两边，，矩形面积为48，在Rt△ABC求得，再由勾股定理得AC=10，对角线的分成的三角形面积等于矩形的四分之一，△AOD得面积为12，PE，PF为△AOP与△DOP的高，则，转化为求PE+PF的值．
12．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
∵将沿折叠，使点与点A重合，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，解得：，即的边上的高是．
故答案为：A．
【分析】如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
由ASA判定得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，
在Rt△AOF中，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求高为．
13．【答案】3、4、5（答案不唯一）
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：最常见的勾三股四弦五，勾股数为3，4，5．
故答案为：3、4、5（答案不唯一）．
【分析】本题属于开放题，学生积累平时很常见的勾股数，比如3，4，5； 6、8、10等
14．【答案】9
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形为边形，
故答案为：9
【分析】
本题考查了边形的内角和公式，代入内角和公式列方程，解方程即可．
15．【答案】9
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ E、F是的三等分点，
∴，即点F是的中点，点E是的中点，
∵D是的中点，
∴是的中位线，
∴且，
如图：过D作，则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：9．
【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键．
根据三等分点可得E、F分别是线段的中点则DF为的中位线， 由中位线定理可得且，
如图：过D作，
则四边形是平行四边形可得、，则，得，再根据三角形中位线的性质可得，则 ．
16．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；线段的中点；直角三角形斜边上的中线；转化思想
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∵点是的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】如图，连接，
根据正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，由正方形的对角线平分每一组对角即 ，得，在Rt△ACF中，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CH=．
17．【答案】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，，则，根据角平分定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】解：汽车没有超速，理由如下：依题意，由勾股定理可得：，，，
．
∴，
∴．
∴汽车没有超速．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；转化思想
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，可求出小汽车的速度，然后再判断．
19．【答案】（1）解：作图如图所示，则为所求作的角平分线
（2）证明：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠A，再根据角平分线定义可得，再根据等腰三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：作图如图所示，
则为所求作的角平分线
（2）证明：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
20．【答案】（1）证明：，垂足为D，，垂足为，
在和中，
（）.
；
（2）证明：由（1）可知，
，
，点是的中点，
，
，
又，
是等边三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用HL证明，得出结论 ；
（2）先由（1）可知，得，再根据直角三角形的性质斜边上的中线等于斜边的一半得，进而得，，则是等边三角形 。
（1）证明：，垂足为D，，垂足为，
在和中，
（）.
；
（2）证明：由（1）可知，
，
，点是的中点，
，
，
又，
是等边三角形．
21．【答案】（1）证明：点D，E分别是的中点，
．
在和中，，，，
．
．
同理可得：．
．
（2）解：点D，E分别是的中点，
是的中位线．
．
由（1）可知，，，
，．
四边形为矩形．
．，
．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；转化思想
【解析】【分析】（1）由已知可得AD=BD，则，则，同理可证：，再根据等量代换得 ；
（2）由已知中位线的定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，由一个角是直角的平行四边形是矩形证得四边形为矩形，再求出矩形的面积，等量代换得．
（1）证明：点D，E分别是的中点，
．
在和中，，，，
．
．
同理可得：．
．
（2）解：点D，E分别是的中点，
是的中位线．
．
由（1）可知，，，
，．
四边形为矩形．
．，
．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，连接，对角线向两边延长到时（是两对角线的交点），四边形是矩形，
理由如下：
连接，与交于点，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质对边平行且相等，可得，，由两直线平行，内错角相等，得，进等角的补角相等，得，已知，则 （SAS）；
（2）如图，连接，与交于点，
由平行四边形的性质可得，结合，由对角线相等的平行四边形是矩形判定平行四边形为矩形 。
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）如图，连接，对角线向两边延长到时（是两对角线的交点），四边形是矩形，理由如下：
连接，与交于点，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为矩形．
23．【答案】解：（1）证明：如图，延长至点F，使，连接，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）猜测：，．
如图，连接，，．
点分别绕着点旋转得到点，
，G，D，F三点共线．
．
是的中位线，
．
．
，，
．
同理可得，，
，．
四边形为平行四边形．
，．
（3）如图，连接．
由（2）可知，，．
，，
，．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长至点F，使，连接，由DE是三角形中位线，得，则（SAS），得，则AF∥EC，AF=EC，则四边形为平行四边形，则，；
（2）如图，连接，AG，BF，FH，．
由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．对顶角相等，则，DE是的中位线，则AD=DB，可证．得到，，则．同理可得，由一组对边平行且相等得四边形为平行四边形．则，．
（3）如图，连接，
由（2）得 ，AC=GH=6，由图可知四边形的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB与GH的值计算求出四边形的面积
1 / 1广西贵港市平南县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．（2025八下·平南期中）我国有56个民族，各民族的传统服饰图案各具特色．下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意；
C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意；
D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由定义进行逐项判断．
2．（2025八下·平南期中）在中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和定理计算∠C的度数．
3．（2025八下·平南期中）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（　　）
A．6 B．4.5 C．3.5 D．3
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意可知：，
在中，是的中线，
故答案为：D．
【分析】
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．先根据题图，求出斜边AB的长，再由直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
4．（2025八下·平南期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，且，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的性质对角相等可得，，结合已知可求的度数．
5．（2025八下·平南期中）如图，台风过后，同学们发现学校一棵树在距离地面处折断了，倒下部分与地面形成了的夹角，这棵树原来的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意得：，，
，
，
，即这棵树在折断前的高度是6米．
故答案为：B．
【分析】如图：
由含角的直角三角形的性质得，再根据线段的和差，求出的长．
6．（2025八下·平南期中）在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，6 B．7，8，10 C．3，4，5 D．1，1，2
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
C、，能围成直角三角形，此选项正确；
D、，故不能围成直角三角形，此选项错误．
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八下·平南期中）如图，在正五边形中，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：五边形是正五边形，
，，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】
根据正五边形的性质各个边、各个角都相等得，，再利用等腰三角形的性质求出的度数，∠BCD与∠BCA的差等于的度数．
8．（2025八下·平南期中）如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取和的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：B．
【分析】由题意可知是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半，则．
9．（2025八下·平南期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
平分．
故选：D．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线定义即可求出答案.
10．（2025八下·平南期中）如图，，，是连通三栋楼的道路，业主要求在这三条路围成的范围内安装一照明灯，使灯到三条路的距离相等，则灯应该安装在（　　）
A．，两边高线的交点处
B．，两边中线的交点处
C．，两边垂直平分线的交点处
D．，两角的平分线的交点处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴灯应该安装在，两角的平分线的交点处．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可作两个角的角平分线交点实际问题中为灯安装的位置．
11．（2025八下·平南期中）如图，某同学利用几何画板作图发现：在矩形中，是上的一个动点，过点分别作两条对角线的垂线，垂足分别是E，F，不管怎么移动点，的值都保持不变．若，，则的值为（　　）
A． B． C．12 D．24
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；三角形的高；数形结合；转化思想
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵矩形的两边，，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接．由矩形的两边，，矩形面积为48，在Rt△ABC求得，再由勾股定理得AC=10，对角线的分成的三角形面积等于矩形的四分之一，△AOD得面积为12，PE，PF为△AOP与△DOP的高，则，转化为求PE+PF的值．
12．（2025八下·平南期中）如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
∵将沿折叠，使点与点A重合，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，解得：，即的边上的高是．
故答案为：A．
【分析】如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
由ASA判定得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，
在Rt△AOF中，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求高为．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025八下·平南期中）试写出一组勾股数　 　．
【答案】3、4、5（答案不唯一）
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：最常见的勾三股四弦五，勾股数为3，4，5．
故答案为：3、4、5（答案不唯一）．
【分析】本题属于开放题，学生积累平时很常见的勾股数，比如3，4，5； 6、8、10等
14．（2025八下·平南期中）一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是　 　．
【答案】9
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形为边形，
故答案为：9
【分析】
本题考查了边形的内角和公式，代入内角和公式列方程，解方程即可．
15．（2025八下·平南期中）如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为　 　．
【答案】9
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ E、F是的三等分点，
∴，即点F是的中点，点E是的中点，
∵D是的中点，
∴是的中位线，
∴且，
如图：过D作，则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：9．
【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键．
根据三等分点可得E、F分别是线段的中点则DF为的中位线， 由中位线定理可得且，
如图：过D作，
则四边形是平行四边形可得、，则，得，再根据三角形中位线的性质可得，则 ．
16．（2025八下·平南期中）如图，在正方形和正方形中，点在上．若，，点是的中点，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；线段的中点；直角三角形斜边上的中线；转化思想
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
∵点是的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】如图，连接，
根据正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，由正方形的对角线平分每一组对角即 ，得，在Rt△ACF中，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CH=．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（2025八下·平南期中） 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长．
【答案】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，，则，根据角平分定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．（2025八下·平南期中）已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速．
【答案】解：汽车没有超速，理由如下：依题意，由勾股定理可得：，，，
．
∴，
∴．
∴汽车没有超速．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；转化思想
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，可求出小汽车的速度，然后再判断．
19．（2025八下·平南期中）如图，在中，．
（1）用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：作图如图所示，则为所求作的角平分线
（2）证明：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠A，再根据角平分线定义可得，再根据等腰三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：作图如图所示，
则为所求作的角平分线
（2）证明：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴．
20．（2025八下·平南期中）如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：是等边三角形．
【答案】（1）证明：，垂足为D，，垂足为，
在和中，
（）.
；
（2）证明：由（1）可知，
，
，点是的中点，
，
，
又，
是等边三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用HL证明，得出结论 ；
（2）先由（1）可知，得，再根据直角三角形的性质斜边上的中线等于斜边的一半得，进而得，，则是等边三角形 。
（1）证明：，垂足为D，，垂足为，
在和中，
（）.
；
（2）证明：由（1）可知，
，
，点是的中点，
，
，
又，
是等边三角形．
21．（2025八下·平南期中）《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中记录“出入相补法”原理如下：如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点作，垂足为，延长至点，使，连接，延长至点，使，连接，则四边形的面积等于的面积．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）证明：点D，E分别是的中点，
．
在和中，，，，
．
．
同理可得：．
．
（2）解：点D，E分别是的中点，
是的中位线．
．
由（1）可知，，，
，．
四边形为矩形．
．，
．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；转化思想
【解析】【分析】（1）由已知可得AD=BD，则，则，同理可证：，再根据等量代换得 ；
（2）由已知中位线的定义得是的中位线，由三角形中位线定理得，由一个角是直角的平行四边形是矩形证得四边形为矩形，再求出矩形的面积，等量代换得．
（1）证明：点D，E分别是的中点，
．
在和中，，，，
．
．
同理可得：．
．
（2）解：点D，E分别是的中点，
是的中位线．
．
由（1）可知，，，
，．
四边形为矩形．
．，
．
22．（2025八下·平南期中）如图，数学兴趣小组成员将的对角线向两个方向延长，且使，分别连接，，，．
（1）求证：；
（2）对角线向两边延长到什么情况时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，连接，对角线向两边延长到时（是两对角线的交点），四边形是矩形，
理由如下：
连接，与交于点，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质对边平行且相等，可得，，由两直线平行，内错角相等，得，进等角的补角相等，得，已知，则 （SAS）；
（2）如图，连接，与交于点，
由平行四边形的性质可得，结合，由对角线相等的平行四边形是矩形判定平行四边形为矩形 。
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）如图，连接，对角线向两边延长到时（是两对角线的交点），四边形是矩形，理由如下：
连接，与交于点，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形为矩形．
23．（2025八下·平南期中）【知识运用】
（1）如图1，是的一条中位线，求证：，．
【知识迁移】
（2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程．
【知识拓展】
（3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积．
【答案】解：（1）证明：如图，延长至点F，使，连接，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，；
（2）猜测：，．
如图，连接，，．
点分别绕着点旋转得到点，
，G，D，F三点共线．
．
是的中位线，
．
．
，，
．
同理可得，，
，．
四边形为平行四边形．
，．
（3）如图，连接．
由（2）可知，，．
，，
，．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长至点F，使，连接，由DE是三角形中位线，得，则（SAS），得，则AF∥EC，AF=EC，则四边形为平行四边形，则，；
（2）如图，连接，AG，BF，FH，．
由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．对顶角相等，则，DE是的中位线，则AD=DB，可证．得到，，则．同理可得，由一组对边平行且相等得四边形为平行四边形．则，．
（3）如图，连接，
由（2）得 ，AC=GH=6，由图可知四边形的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB与GH的值计算求出四边形的面积
1 / 1

展开更多......

收起↑