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(共25张PPT)
数据的分析
章末复习
知识结构图
数据
平均数
中位数
众数
离差平方和
方差
四分位数
组内离差平方和最小
集中趋势
离散程度
大致分布
分组
总体平均数
样本估计总体
总体方差
样本估计总体
要点梳理
一、数据的集中趋势
1.平均数：
（1）算式平均数：
x1 + x2 + … + xn
n
x
=
（2）加权平均数：
x
x1w1 + x2w2 + … + xnwn
w1 + w2 + … + wn
=
实际问题
当各项的权相等时，计算平均数用算式平均数；
当各项的权不相等时，计算平均数时就要用加权平均数.
权表示数据的重要程度！
汽车数量/辆 142 145 156 157
天数 2 2 6 5
1. 为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了 15 天在同一
时间段通过该路口的汽车数量如下表：
那么这 15 天在该时段通过该路口的汽车的平均数量为 ( )
A. 146 辆 B. 150 辆 C. 153 辆 D. 600 辆
x
142×2 + 145×2 + 156×6 + 157×5
15
=
= 153
C
2. 某队员 10 次射击的成绩如图所示，则该队员这 10 次射击
的平均成绩是____环.
x
6×1 + 7×1 + 8×2 + 9×4 + 10×2
10
=
= 8.5
8.5
2.中位数：
一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数.
当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数.
当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数.
注意：中位数是一个位置数，要先排序再确定！
如图是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，
那么该班 40 名同学一周的体育锻炼时间的中位数是（ ）
A. 8 h
B. 8.5 h
C. 9 h
D. 15 h
将数据从小到大排列后，第 20，21 个数据都是 9.
C
3.众数：
一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数.
注意：
①一组数据的众数一定出现在这组数据中；
②一组数据的众数可能不止一个；
③如果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数.
某班 40 名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数是____.
数据
频数
9
平均数、中位数和众数，三种量的意义与不足：
统计量 意义 不足
平均数 平均数是刻画数据集中趋势最常用的统计量，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活中较为常用 受极端值的影响较大
中位数 中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不易受极端值影响 不能充分利用数据提供的信息
众数 众数是一组数据中出现次数最多的数据，不易受极端值影响 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性
二、数据的离散程度
离差平方和
离差：xi － x ( i ＝1，2，…，n )
公式：
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
d 2 =
公式：
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
n
s 2 =
方差越大（小），数据的波动越大（小）
方差的作用
比较数据的稳定性
利用样本方差估计总体方差
方差
4
已知数据 x1，x2，x3，…，xn 的平均数 x = 9，方差 s2 = 6，求数据 3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2 的平均数和方差.
平均数：
x
3x1－2 + 3x2－2 + … + 3xn－2
n
=
3(x1 + x2 + … + xn )－2n
n
=
= 3 x －2
= 25
方差：
(3x1－2－3 x + 2)2 + (3x2－2－3 x + 2)2 +…+ (3xn－2－3 x + 2)2
n
s 2 =
9[( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 ]
n
=
= 9s2 = 9×6 = 54.
利用数据的集中趋势和离散程度作决策
1.统计的基本思想：用样本的特征（平均数和方差）估计总体的特征.
2.统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响.
三、数据的大致分布
一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份. 将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.
1.百分位数：
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
3.915
中位数
50%分位数
3.195
4.44
25%分位数
75%分位数
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
3.915
中位数
50%分位数
3.195
4.44
25%分位数
75%分位数
由于 3.195，3.915，4.44 这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数.
2.四分位数：
第二四分位数
第一四分位数
（下四分位数）
第三四分位数
（上四分位数）
Q1
Q2
Q3
数据 14,10,16,30,12,18,24,26,20,22,28 的四分位数分别是
Q1＝____，Q2＝____，Q3＝____．
将这组数据按从小到大的顺序排列：
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
中位数
Q2
Q1
Q3
14
20
26
3.箱线图：
为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图．
A 班和 B 班某次测试成绩 (单位:分) 如下:
A 班:70,72,74,75,76,77,78,79,80,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90;
B 班:40,50,55,60,62,65,68,70,72,73,74,75,76,78,80,82,84,85,88,90.
某同学想要利用百分位数分析 A，B 两个班的水平，如表是他记录的 A，B 两个班成绩的百分位数．
请根据以上信息完成下列问题:
（1）表中 a ＝ _____，
b ＝ _____；
63.5
81
63.5
81
（2）该同学基于四分位数绘制了A 班成绩的箱线图如图所示，获得了 A 班成绩的直观表示．请你根据 A 班成绩的箱线图在图中补全 B 班成绩的箱线图，并根据箱线图对 A，B 两个班的
成绩作出评价．
A 班成绩整体更高且更稳定，B 班成绩波动较大且存在极端低分现象.
四、数据的分组
如果把 n 个数据分为两组，前 m（m < n）个数据为一组，后（n－m）个数据为一组.
离差平方和分别为
( x1－ x1 )2 + ( x2－ x1 )2 + … + ( xm－ x1 )2
d12 =
( xm+1－ x2 )2 + ( xm+2－ x2 )2 + … + ( xn－ x2 )2
d22 =
组内离差平方和：d12 + d22
＝ m ( x1－ x )2 + (n－m )( x2－ x )2
组间离差平方和：
当分组结果满足组内差异最小的情况时，d12 + d22 与 满足什么条件？
d 2 = d12 + d22 +
这组数据的离差平方和，固定不变.
最小
最大
既可以按d12 + d22 最小
来分组，也可以按 最大来分组
某乡镇 6 家企业去年的产值如下表所示．
根据组间离差平方和最大的原则，把这 6 家企业分成两组．
解：将表中数据按从小到大排列，可得
5 8 10 10 12 14　
企业 A B C D E F
产值/亿元 8 10 12 5 14 10
分组 组间
离差平方和
第1个间隔 5 10.8 28.03
第2个间隔 6.5 11.5 33.33
第3个间隔 7.67 12 28.17
第4个间隔 8.25 13 30.08
第5个间隔 9 14 20.83
将它们分成两组共有 5 种情况，计算组间离差平方和，如下表．
因此，按组间离差平方和最大的分法为
{5，8} 和
{10，10，12，14}．
数据
平均数
中位数
众数
离差平方和
方差
四分位数
组内离差平方和最小
集中趋势
离散程度
大致分布
分组
总体平均数
样本估计总体
总体方差
样本估计总体
数据收集——数据整理——数据描述——数据分析(共31张PPT)
数据的分析
复习题24
复习巩固
1. 判断下列说法是否正确，若不正确，请举例说明.
（1）一组数据的平均数、中位数、众数一定存在，且都是这组数据中的数；
不正确.
例如一组数据 1，2，3，4 的平均数为 2.5，中位数为 2.5，
没有众数，所以一组数据中平均数、中位数不一定是这组数
据中的数，众数也不一定存在.
（2）一组数据的平均数、中位数、众数没有确定的大小关系；
（3）一组数据中，大于平均数和小于平均数的数据各占 50%；
正确.
不正确.
例如一组数据 1，2，3，6 的平均数为 3，大于平均数的数据为 6，占 25%，小于平均数的数据为 1，2，占 50%.
（4）计算加权平均数时，权越大的数据对加权平均数的影响也越大；
（5）比较两组数据的离散程度，离差平方和较大的组，其方差也一定较大.
正确.
不正确. 例如 A 组数据 2，3，7，8，B 组数据 2，3，6，7，8.由计算知 A 组数据的离差平方和为 26，方差为 6.5，而 B 组数据的离差平方和为 26.8，方差为 5.36. B 组数据的离差平方和比 A 组的大，但方差却比 A 组的小.
2. 为了解某一路口的汽车流量，随机调查了 10 天中同一时段
通过这个路口的汽车数量（单位：辆），结果如下：
183 209 195 178 204 215 191 208 167 197
在此时段中，平均约有多少辆汽车通过这个路口？
解：×(183 + 209 + 195 + 178 + 204+215+191+208+167+197)
≈195（辆）
所以在此时段中，平均约有 195 辆汽车通过这个路口.
3. 某年 A，B 两座城市四季的平均气温(单位：℃)如下表所示.
（1）分别计算 A，B 两座城市四季的平均气温(结果取整数)；
（2）哪座城市四季的平均气温变化比较小？
解: (1) A 城市四季的平均气温为
－4 + 19 + 9 + (－10)
4
≈ 4 (℃)
B 城市四季的平均气温为
16 + 30 + 24 + 11
4
≈ 20 (℃)
（2）A 城市四季平均气温的方差为
(－4－4)2 + (19－4)2 + (9－4)2 + (－10－4)2
4
=
64 + 225 + 25 + 196
4
=
= 127.5
B 城市四季平均气温的方差为
(16－20)2 + (30－20)2 + (24－20)2 + (11－20)2
4
=
16 + 100 + 16 + 81
4
=
= 53.25
因为 ，所以 B 城市四季的平均气温变化比较小.
>
4. 一家公司员工的月收入如下表所示.
（1）计算这家公司员工月收入的平均数、中位数和众数；
解：（1）这家公司员工月收入的平均数为
20000×1 + 18000×2 + 12000×4 + 8000×5 + 6000×7 + 5000×6
1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 6
216000
25
= 8640，
=
中位数为 6000，众数为 6000.
（2）计算这家公司员工月收入的四分位数，并画出箱线图.
（2）这家公司员工月收入的三个四分位数分别为
5000 + 6000
2
= 5500，
Q1 =
Q2 = 6000，
12000 + 12000
2
= 12000.
Q3 =
画出箱线图如图所示.
5. 某水库管理人员为了解某种鱼的生长情况，从水库中随机
捕捞了 20 条这种鱼，称得它们的质量（单位：kg）如下：
1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21
1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16
估计水库中这种鱼质量的平均数和方差（结果保留小数点后两位）.
解：从水库中随机捕捞的 20 条这种鱼质量的平均数为
1.15 + 1.04 + 1.11 + … + 1.16 + 1.24 + 1.12 + 1.16
20
≈ 1.17 .
x =
(1.15－1.17)2 + (1.04－1.17)2 + … + (1.16－1.17)2
20
方差 s2 =
≈ 0.01.
根据样本估计总体，估计水库中这种鱼质量的平均数为 1.17 kg，
方差为 0.01.
综合运用
6. 某天电影院有三个影厅放映电影，上午各厅只放映一场电影，
信息如下表所示.
计算电影院的上座率及所售电影票的平均价格.
解：电影院的上座率为
60×75% + 60×60% + 40×47.5%
60 + 60 + 40
= 62.5%.
45 + 36 + 19
160
=
所售电影票的平均价格为
30×60×75% + 40×60×60% + 50×40×47.5%
60×75% + 60×60% + 40×47.5%
1350 + 1440 + 950
45 + 36 + 19
=
= 37.4 (元).
3740
100
=
7. 下表是两种股票一周内的交易日收盘价格（单位：元/ 股）.
计算它们的平均数和方差（结果保留小数点后两位），比较这两种股票在这段时间内的涨、跌变化情况.
解：股票 A 的收盘价格的平均数为
11.62 + 11.51 + 11.39 + 11.94 + 11.17
5
≈ 11.53.
股票 B 的收盘价格的平均数为
13.53 + 14.07 + 13.49 + 13.84 + 14.80
5
≈ 13.95.
股票 A 的方差为
(11.62－11.53)2 + (11.51－11.53)2 + … + (11.17－11.53)2
5
=
0.3258
5
=
≈ 0.07 .
股票 B 的方差为
(13.53－13.95)2 + (14.07－13.95)2 + … + (14.80－13.95)2
5
=
1.137
5
=
≈ 0.23 .
股票 A 的涨跌情况比股票 B 的更稳定.
8. 甲、乙两门大炮在相同条件下向同一目标各发射 50 发炮弹，炮弹落点情况如下表所示.
（1）分别计算两门大炮所发射的炮弹落点与目标的距离的平均数；
（2）哪门大炮射击的准确性较好？
解：（1）甲炮所发射的炮弹落点与目标的距离的平均数为
40×0 + 30×1 + 20×3 + 10×7 + 0×39
50
= 3.2.
x甲 =
160
50
=
乙炮所发射的炮弹落点与目标的距离的平均数为
40×1 + 30×3 + 20×2 + 10×3 + 0×41
50
= 4.
x乙 =
200
50
=
（2）甲炮的方差为
(30－3.2)2 + (20－3.2)2×3 + (10－3.2)2×7 + (0－3.2)2×39
50
=
= 45.76 .
乙炮的方差为
(40－4)2 + (30－4)2×3 + (20－4)2×2 + (10－4)2×3 + (0－4)2×41
50
=
= 92 .
甲炮射击的准确性较好.
9. 下面是某地区监测的近两年 7 月的空气质量指数.
前年7月 71 42 45 58 67 48 51 63 51 73 55 79 52 52 77 54
87 54 62 55 56 58 60 61 62 65 69 42 72 69 73
去年7月 38 50 19 37 22 47 31 38 22 26 28 19 30 31 32 34
35 33 18 49 47 37 22 38 38 18 39 25 22 42 44
（1）分别计算两组监测数据的平均数、方差和四分位数（结果保留小数点后一位）
（2）画出两组数据的箱线图；
（3）通过上面的结果，比较说明这个地区的空气质量情况.
解：（1）前年 7 月监测数据的平均数为
71 + 42 + 45 + … + 72 + 69 + 73
31
≈ 60.7.
x前年 =
方差为
(71－60.7)2 + (42－60.7)2 + … + (69－60.7)2 + (73－60.7)2
31
=
≈ 118.4 .
四分位数为 Q1 = 52，Q2 = 60，Q3 = 69.
去年 7 月监测数据的平均数为
38 + 50 + 19 + … + 22 + 42 + 44
31
≈ 32.6 .
x去年 =
方差为
(38－32.6)2 + (50－32.6)2 + … + (42－32.6)2 + (44－32.6)2
31
=
≈ 90.0 .
四分位数为 Q1 = 22，Q2 = 33，Q3 = 38 .
（2）画箱线图如下：
（3）根据箱线图可以看出该地区前年 7 月的空气质量指数的中位数明显比去年 7 月的大，且波动比去年 7 月的略大. 前年 7 月约有75% 的天数的空气质量指数高于去年 7月空气质量指数的最大值，去年 7 月约有 75% 的天数的空气质量指数低于前年 7 月空气质量指数的最小值.
10. 已知 8 个地区居民人均可支配收入 x（单位：万元）如下表所示.
根据居民人均可支配收入的组内离差平方和最小的原则，把这 8 个地区分为两组.
解：将数据按从小到大排列为
2.2，2.4，2.7，2.9，3.3，3.7，4.1，4.3.
将它们分成两组共有 7 种情况：
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第 4 个间隔分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为｛1，4，6，8｝和｛2，3，5，7｝.
拓广探索
11. 学校八年级 40 名男生的 50 米跑成绩（单位：s）如下：
7.1 7.6 7.7 7.6 7.7 7.8 7.7 8.6 8.0 8.9 7.4 8.3 7.3 7.5
7.8 7.9 8.2 7.5 7.2 7.6 7.7 7.9 7.6 7.9 7.2 8.1 8.7 8.0
8.0 8.3 7.4 7.5 7.8 7.9 7.8 7.7 8.1 7.4 7.7 7.9
结合《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，用你所学的统计知识分析数据，为体育老师写一份数据分析报告.
解：整理数据列表如下：
这组数据的平均数为
7.1×1 + 7.2×2 + … + 8.9×1
40
= 7.8 .
x =
312
40
=
四分位数为 Q1 = 7.55，Q2 = 7.75，Q3 = 8，众数为 7.7 .
(7.1－7.8)2 + 2×(7.2－7.8)2 + … + (8.9－7.8)2
40
= 0.1525 .
s2 =
方差为
根据《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，这 40 名男生的 50 米跑成绩全部及格，其中有 72.5% 的男生成绩达到良好水平，达到优秀的男生人数占抽取男生总人数的 50%.

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