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河北唐山市2026届高三第一次模拟演练数学试题
一、单选题
1．样本数据1，2，3，6，12，24的中位数为（ ）
A．8 B．6 C． D．3
2．表示复数z的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（ ）
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．11 B．9 C．8 D．5
5．某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，不同的分配方案有（ ）
A．6种 B．12种 C．14种 D．28种
6．若x为锐角，且.则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．等轴双曲线C的左、右焦点分别为，，以为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形的面积为，圆O的面积为，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A．M的最小值为 B．M的最大值为1
C．N的最小值为0 D．N的最大值为
二、多选题
9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A．是等比数列 B．
C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列
10．若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A．与有相同的零点 B．为偶函数
C．与有相同的极值点 D．对任意的，都有
11．O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，与抛物线C交于A，B两点，满足，作于D，则（ ）
A．N的横坐标是4 B．
C．直线斜率的最大为 D．当直线与C相切时，
三、填空题
12．已知，若，则______.
13．已知点，，若将绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为______.
14．若一个棱长为的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）内任意转动，则此圆锥体积的最小值为______.
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，，，D是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
16．已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.
(1)求C的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.
17．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
(1)证明：；
(2)若，求A.
18．函数，.
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)若曲线与在处有相同的切线，
（i）求a的值；
（ⅱ）若，证明：.
五、未知
19．某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；
(2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.
（ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；
（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值.
（估值参考：当时，，，，.）

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