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第八章｜ 机械能守恒定律
第2节　重力势能
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物理观念 (1)知道重力做功的特点。 (2)理解重力势能的表达式。 (3)了解弹性势能的概念及决定因素。
科学思维 (1)通过不同路径重力做功的分析，归纳出重力做功与路径无关的特点。 (2)通过重力做功与重力势能变化的关系体会功能关系。 (3)知道重力势能的大小与参考平面的选取有关，即重力势能具有相对性，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
科学态度与责任 熟练掌握具体应用中重力做功和重力势能的特点和计算方法。
1．填一填
(1)重力做的功
①功的大小：WG＝mgΔh。
②做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
(2)重力势能
①大小：Ep＝mgh。
②单位：在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳，符号为。
③重力做功与重力势能及其变化的关系WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
即：重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加。
④重力势能的相对性。
a．物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为0。
b．选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。
c．对选定的参考平面而言，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值；重力势能的正负表示大小。
2．判断
(1)同一物体在不同高度时，重力势能不同。(√)
(2)重力做功与物体的位移有关。(×)
(3)重力做功WG＝－20 J时，物体的重力势能减小20 J。(×)
(4)只要有重力做功，重力势能就一定增加。(×)
1．填一填
(1)弹性势能：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)影响弹性势能大小的因素：①弹簧的形变量；②弹簧的劲度系数。
(3)势能：势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。
①重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的。
②弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的。
2．判断
(1)弹性势能与弹簧的弹性形变量和劲度系数有关。(√)
(2)不同的弹簧发生相同的形变量时，弹性势能变化量不同。(√)
(3)弹簧被压缩时，弹性势能为负，弹簧被拉伸时，弹性势能为正。(×)
主题探究 一 　　对重力势能的理解
【重难释解】
1．重力势能的理解
状态量 重力势能是状态量，与物体所处的位置(或时刻)相对应
标矢性 重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正负。正值表示物体处于参考平面上方，负值表示物体处于参考平面下方
相对性 重力势能Ep＝mgh，高度h的相对性决定了重力势能具有相对性。重力势能的大小与参考平面的选取有关
系统性 重力是地球对物体吸引而产生的，所以重力势能是物体和地球这个系统共同具有的，平时所说的“物体的重力势能”只是一种简化的说法
2.重力势能变化量的绝对性
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
　如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化量分别是(　　)
A．mgh，减少mg(H－h)
B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h)
D．－mgh，减少mg(H＋h)
[解析]　以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为－mgh，初状态重力势能为mgH，即重力势能的变化量ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力势能减少了mg(H＋h)，故D正确。
[答案]　D
[迁移·发散]
在典例1中：
(1)若选地面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化量如何？
(2)若选释放点所在平面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化量如何？
(3)比较以上的结果，你能得出什么结论？
解析：(1)若选地面为参考平面，落地时重力势能为0，整个过程中重力势能减少mg(H＋h)。
(2)若选释放点所在平面为参考平面，落地时重力势能为－mg(H＋h)，整个过程中重力势能减少mg(H＋h)。
(3)根据以上的结果可知，重力势能具有相对性，但重力势能的变化量具有绝对性，与参考平面的选取无关。
答案：见解析
确定重力势能的方法
(1)重力势能是相对的，先确定参考平面，再确定重力势能。
(2)物体在参考平面以上，重力势能为正值；物体在参考平面以下，重力势能为负值。
【素养训练】
1．下列关于重力势能的说法正确的是(　　)
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了
D．地面上的物体的重力势能一定等于0
解析：选C　物体的重力势能与参考平面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考平面的重力势能不同，故A错误；物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势能面的距离越大，重力势能越小，故B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，故C正确；只有选地面为零势能面时，地面上的物体的重力势能才为0，否则不为0，D错误。
2．两个质量相等的实心铁球与实心木球，将它们放在同一水平地面上，下列结论正确的是(　　)
A．铁球的重力势能大于木球的重力势能
B．铁球的重力势能等于木球的重力势能
C．铁球的重力势能小于木球的重力势能
D．木球的重力势能不会大于铁球的重力势能
解析：选C　因为铁球和木球的密度不同，所以质量相等的实心铁球和实心木球，木球的体积较大，放在同
一水平地面上时，木球的重心高，因此，木球的重力势能大于铁球的重力势能，故C正确。
3．如图所示，水平桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：(g取10 m/s2)
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
解析：(1)以桌面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1＝0.4 m，因而物体具有的重力势能为Ep1＝mgh1＝2×10×0.4 J＝8 J
物体落至地面时，物体的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×10×(－0.8)J＝－16 J
因此物体在此过程中重力势能的减少量为
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8 J－(－16)J＝24 J。
(2)以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为
h1′＝(0.4＋0.8)m＝1.2 m，因而物体具有的重力势能为Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2 J＝24 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2′＝0
在此过程中，物体重力势能的减少量为
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝24 J－0＝24 J。
(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选取有关，而重力势能的变化量是绝对的，它与参考平面的选取无关。
答案：(1)8 J　24 J　(2)24 J　24 J　(3)见解析
主题探究 二 　　重力做功与重力势能变化的关系
【重难释解】
1．重力做功与重力势能的比较
比较内容 重力做功 重力势能
物理意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能
表达式 WG＝mgΔh Ep＝mgh
影响大小的因素　 重力mg和初、末位置的高度差Δh 重力mg和相对参考平面的高度h
特点 只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同
过程量 状态量
2.重力做功与重力势能变化的关系
(1)关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)意义：①重力做功的过程就是重力势能改变的过程；②重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就改变多少。
　在离地面80 m处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面。求：
(1)在第2 s末小球的重力势能；
(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化。
[解析]　(1)以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球所处的高度为
h＝－gt2＝－×10×22 m＝－20 m，
重力势能
Ep＝mgh＝200×10－3×10×(－20)J＝－40 J
Ep<0，说明小球在参考平面的下方。
(2)在第3 s末小球所处的高度为
h′＝－gt′2＝－×10×32 m＝－45 m，
第3 s内重力做的功为
W＝mg(h－h′)＝200×10－3×10×(－20＋45)J＝50 J
由重力做功与重力势能改变的关系可知，小球的重力势能减少了50 J。
[答案]　(1)－40 J　(2)50 J　重力势能减少了50 J
[迁移·发散]
质量为m的均匀细链条长为l，开始放在光滑的水平桌面上时，有长度为的链条悬在桌边缘，如图所示。松手后，链条滑离桌面。问：
(1)从开始到刚好滑离桌面(始终未触地)的过程中链条的重力势能变化了多少？
(2)重力对链条做的功是多少？
解析：(1)取桌面为参考平面，开始时链条的重力势能Ep1＝－mg×＝－。
末态时重力势能Ep2＝－mg×＝－。
故重力势能的变化量ΔEp＝Ep2－Ep1＝－mgL，负号代表减少。
(2)重力做的功等于链条重力势能的减少量，故WG＝mgL。
答案：(1)减少了mgL　(2)mgL
(1)重力势能的大小与零势能面的选取有关。
(2)重力做功、重力势能的变化量与零势能面的选取无关。
(3)计算重力做功、重力势能、重力势能的变化量时要注意区别其正、负。
【素养训练】
4．起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．重力做正功，重力势能减少5.0×103 J
B．重力做正功，重力势能增加5.0×103 J
C．重力做负功，重力势能减少5.0×103 J
D．重力做负功，重力势能增加5.0×103 J
解析：选D　起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，重力对物体做功W＝－mgh＝－50×10×10 J＝－5 000 J。重力对物体做多少负功，重力势能增加多少，则重力势能增加5.0×103 J。故D正确。
5．质量为m的足球在地面1位置被踢出后落到3位置，以下说法正确的是(　　)
A．由1到3的过程中，足球的重力势能始终不变，重力始终不做功
B．足球的重力势能先减小后增加，总的变化量为0；重力先做负功，后做正功，总功为零
C．足球的重力势能先增大后减小，总的变化量为0；重力先做正功，后做负功，总功为零
D．足球的重力势能先增大后减小，总的变化量为0；重力先做负功，后做正功，总功为零
解析：选D　前半阶段，足球向高处运动，重力势能增加，重力做负功；后半阶段，足球向低处运动，重力势能减小，重力做正功，D正确，A、B、C错误。
6.如图所示，直杆长为2L，中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b(可视为质点)，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统重力势能如何变化？变化了多少？
解析：b球重力势能增加mgL，a球重力势能减少2mgL，所以系统的重力势能减少了mgL。
答案：减少了　mgL
主题探究 三 　弹性势能的理解
【重难释解】
1．弹性势能的产生原因
(1)物体发生了弹性形变；
(2)物体各部分间有弹力作用。
2．弹性势能的影响因素
(1)弹簧的形变量x；
(2)弹簧的劲度系数k。
3．弹性势能与弹力做功的关系
(1)关系：W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)意义：①弹力做负功，弹性势能增大。如图所示，O为弹簧的原长处，物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大。
②弹力做正功，弹性势能减小。如图所示，物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减少。
典例3　(多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩至最短的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹力大小与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
[解析]　F＝kx，故A正确；弹簧开始被压缩时弹力较小，发生相同的位移时弹力做的功较少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功较多，故B正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，弹力做负功，弹性势能增加，故C错误，D正确。
[答案]　ABD
【素养训练】
7．下列几个运动过程中，物体弹性势能增加的是(　　)
A．运动员从压竿到竿伸直的过程中，竿的弹性势能
B．人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能
C．模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能
D．小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
解析：选B　运动员从压竿到竿伸直的过程中，竿的形变量先增大后减小，其弹性势能先增大后减小，故A错误；人拉长弹簧的过程中，弹簧的伸长量在增大，则弹性势能增加，故B正确；模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的形变量减小，则其弹性势能减小，故C错误；小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的压缩量减小，其弹性势能减小，故D错误。
8．如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是(　　)
A．重力势能减少，弹性势能增大
B．重力势能增大，弹性势能减少
C．重力势能减少，弹性势能减少
D．重力势能不变，弹性势能增大
解析：选A　弹簧向下压缩的过程中，弹簧压缩量增大，弹性势能增大；重力做正功，重力势能减少，故A正确。
9．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解析：选C　弹簧的弹性势能的大小，除了跟它的劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关，如果弹簧原来处在压缩状态，那么当它变长时，它的弹性势能减小，当它变短时，弹性势能增大，在原长处它的弹性势能最小，故A、B错误；形变量相同时，k越大的弹簧，其弹性势能越大，故C正确；弹簧的弹性势能与弹簧的形变量有关，与弹簧长度没有直接关系，弹簧在拉伸时的弹性势能不一定大于压缩时的弹性势能，故D错误。
一、培养创新意识和创新思维
小纸帽能弹多高
将圆珠笔里的弹簧取出，再用硬卡纸做个小纸帽，套在弹簧上(如图)。用力把小纸帽往下压，使弹簧产生一定的弹性形变，然后迅速放开手，看看小纸帽能弹多高。
用大小不同的力使弹簧产生大小不同的弹性形变，重复做几次，看看小纸帽弹起的高度有什么不同。
换用不同劲度系数的弹簧做此实验，看看小纸帽弹起的高度又有什么不同。
提示：用力越大，弹簧产生的弹性形变越大，小纸帽弹起的高度越高；用劲度系数越大的弹簧，在相同弹性形变下，小纸帽弹起的高度越高。
二、注重学以致用和思维建模
1.如图是某摩天轮，高度为108 m，直径是98 m。一质量为50 kg的游客乘坐该摩天轮做匀速圆周运动旋转一圈需25 min。如果以地面为零势能面，则他到达最高处时的(g取10 m/s2)(　　)
A．重力势能为5.4×104 J，角速度为0.2 rad/s
B．重力势能为4.9×104 J，角速度为0.2 rad/s
C．重力势能为5.4×104 J，角速度为4.2×10－3 rad/s
D．重力势能为4.9×104 J，角速度为4.2×10－3 rad/s
解析：选C　以地面为零势能面，游客到达最高处时的重力势能Ep＝mgh＝50×10×108 J＝5.4×104 J，由角速度与周期之间的关系得ω＝＝ rad/s≈4.2×10－3 rad/s，故C正确。
2．如图所示，撑竿跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑竿跳起过程的说法正确的是(　　)
A．运动员撑竿刚刚触地时，竿弹性势能最大
B．运动员撑竿跳起到达最高点时，竿弹性势能最大
C．运动员撑竿触地后上升到最高点之前某时刻，竿弹性势能最大
D．以上说法均有可能
解析：选C　竿形变量最大时，其弹性势能最大，竿刚触地时没有形变，人到最高点时，竿已由弯曲到基本完全伸直。故C正确。
3.(多选)如图甲为一种儿童玩具——不倒翁，其纵截面如图乙，底部是半球形，球心为O，顶点为P。“翁”静止时直立，用手推一下上部，“翁”倾斜，放手后来回摆动若干次后重新直立静止。下列判断正确的是(　　)
A．“翁”的重心位于O点
B．“翁”的重心位于O、P两点之间
C．摆动中“翁”从直立变倾斜过程，重力势能增加
D．摆动中“翁”从直立变倾斜过程，重力势能减少
解析：选BC　假设“翁”的重心在O点，则倾斜后，支持力还是沿半径过球心，“翁”仍平衡，不会自动恢复直立，假设重心在O上方，“翁”倾斜后会倾倒，更不会自动直立，所以重心位于O、P连线上且在O点下方某处，故A错误，B正确；“翁”静止时重心位置最低，所以从直立变倾斜过程中，重力势能增加，故C正确，D错误。
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的
B．处在同一高度的物体，具有的重力势能相同
C．重力势能是标量，不可能有正、负值
D．浮在海面上的小船的重力势能一定为零
解析：选A　重力势能具有系统性，重力势能是物体与地球共有的，故A正确；重力势能等于mgh，其中h是相对于参考平面的高度，参考平面不同，h不同，另外质量也不一定相同，故处在同一高度的物体，其重力势能不一定相同，故B错误；重力势能是标量，但有正负，负号表示物体在参考平面的下方，故C错误；零势能面的选取是任意的，并不一定选择海平面为零势能面，故浮在海面上的小船的重力势能不一定为0，故D错误。
2．(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
解析：选AB　发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫作弹性势能，因此，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数有关。故A、B正确。
3．如图为某森林生态园的一段山地越野路面，自行车以相同的速率先后通过a、b、c三点，关于自行车，下列说法正确的是(　　)
A．从a运动到b过程中，重力势能增加
B．在a点处于失重状态
C．在b点向心加速度方向竖直向上
D．在c点最容易爆胎
解析：选A　从a运动到b过程中，高度增加，则重力做负功，重力势能增加，A正确；在a点需要向上的加速度，处于超重状态，B错误；在b点向心加速度方向竖直向下，C错误；根据FN－mg＝m，运动半径越小，支持力越大，故在a点最容易爆胎，D错误。
4．(多选)如图所示，被压缩的轻质弹簧推动木块向右运动到恢复原长的过程中，弹簧的(　　)
A．弹力不变　　　　　 B．弹力减小
C．弹性势能不变 D．弹性势能减小
解析：选BD　弹簧逐渐恢复原长时，根据胡克定律可知弹力在减小，A错误，B正确；弹簧逐渐恢复原长，形变量在减小，可知弹性势能在减小，C错误，D正确。
5.如图所示，ACP和BDP是竖直平面内两个半径不同的半圆形光滑轨道，A、P、B三点位于同一水平面上，C和D分别为两轨道的最低点，将两个质量相同的小球分别从A和B两处同时无初速度释放，则(　　)
A．沿BDP光滑轨道运动的小球的重力势能永远为正值
B．两小球到达C点和D点时，重力做功相等
C．两小球到达C点和D点时，重力势能相等
D．两小球刚开始从A和B两处无初速度释放时，重力势能相等
解析：选D　不管选哪一平面为零势能面，A点和B点相对零势能面的竖直高度均相等，所以两小球重力势能相等，故D正确；两小球到达C点和D点时，不在同一水平面上，重力势能不相等，故C错误；重力势能Ep＝mgh，具有相对性，如果选A、P、B三点所在水平面为零势能参考平面，那么两球在运动过程中的重力势能恒为负值，如果选C点所在水平面为零势能参考平面，那么两球在运动过程中的重力势能恒为正值，故A错误；重力做功跟路径无关，只取决于物体所受重力及初、末两点竖直方向的高度差，两球从开始运动到C点和D点时竖直高度差不等，重力做功不相等，故B错误。
6．起跳摸高是同学们经常进行的一项活动。某学生身高1.80 m，质量70 kg，他站立举臂，手指摸到的高度为2.10 m。在一次摸高测试中，如果他先下蹲，再用力蹬地向上跳起，同时举臂，离地后手指摸到的高度为2.55 m。设他从蹬地到离开地面所用的时间为0.7 s。不计空气阻力(g取10 m/s2)，该同学跳起后增加的重力势能最大值是(　　)
A．1 260 J　　　　　　 B．1 470 J
C．315 J D．1 785 J
解析：选C　人的重心升高的高度为Δh＝2.55 m－2.10 m＝0.45 m，故该同学跳起后增加的重力势能最大值是Ep＝mgΔh＝70×10×0.45 J＝315 J。故C正确。
7．一个100 g的球从1.8 m的高处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高处，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g取10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．物体的重力势能一定减少0.55 J
D．物体的重力势能一定增加1.25 J
解析：选C　整个过程中重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×(1.8－1.25) J＝0.55 J，重力势能减少0.55 J，故C正确。
8．如图甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与水平轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，然后反向弹回，弹簧始终处在弹性限度内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，则弹簧的压缩量由8 cm变为4 cm时，弹簧所做的功以及弹性势能的变化量分别为(　　)
A.3.6 J、－3.6 J B．－3.6 J、3.6 J
C．1.8 J、－1.8 J D．－1.8 J、1.8 J
解析：选C　F?x图像中图线与x轴围成的面积表示弹力做的功，则W＝×0.08×60 J－×0.04×30 J＝1.8 J，根据W＝－ΔEp知，弹性势能的变化量为－1.8 J，C正确。
9.如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能变化了多少？重力做功为多少？(重力加速度为g)
解析：小球做圆周运动的半径R＝l－l＝l。
从A点运动到C点，小球下落高度h＝l－2R＝l，
故重力做功WG＝mgh＝mgl，
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl，
负号表示小球的重力势能减少了。
答案：减少了mgl　mgl
组—重应用·体现创新
10.魔方，又叫魔术方块或鲁比克方块，通常泛指三阶魔方，三阶魔方形状是正方体，由有弹性的硬塑料制成。要将一个质量为m、边长为a的水平放置的匀质三阶魔方翻倒，推力对它做功至少为(　　)
A.mga B.
C. D.
解析：选D　推力对物体所做的功，增加了物体的重力势能，即WF＝ΔEp，ΔEp＝mg＝mga，故D正确。
11．(多选)竖直上抛一个小球，从抛出到落回原抛出点的过程中，它的速度、重力势能、位移、加速度随时间变化的函数图像正确的是(不计空气阻力，以竖直向下为正方向，图中曲线为抛物线，抛出点为零势能点)(　　)
解析：选ABC　以竖直向下为正方向，则初速度为负值最大，重力加速度为正，小球匀减速运动到最高点速度为0，然后反向加速运动，故A正确；因为抛出点为零势能点，所以重力势能最初为0，上升过程重力势能增大，下落过程则减小，回到原点变为0，故B正确；因为位移始终在抛出点上方，所以一直为负值，故C正确；加速度竖直向下，为正值，故D错误。
12．如图所示，一条长l＝2 m、质量分布均匀的铁链放在水平地面上，铁链质量为10 kg，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的瞬间，克服铁链重力做功为多少？铁链的重力势能变化了多少？(重力加速度g取9.8 m/s2)
解析：铁链从初状态到末状态，它的重心位置升高了
h＝，
因此克服铁链重力所做的功为
W＝mg·＝10×9.8× J＝98 J，
铁链的重力势能增加了98 J。
答案：98 J　增加了98 J
7 / 7人教版物理必修第二册
第八章｜ 机械能守恒定律
第2节　重力势能
核心素养点击
物理观念 (1)知道重力做功的特点。 (2)理解重力势能的表达式。 (3)了解弹性势能的概念及决定因素。
科学思维 (1)通过不同路径重力做功的分析，归纳出重力做功与路径无关的特点。 (2)通过重力做功与重力势能变化的关系体会功能关系。 (3)知道重力势能的大小与参考平面的选取有关，即重力势能具有相对性，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
科学态度与责任 熟练掌握具体应用中重力做功和重力势能的特点和计算方法。
1．填一填
(1)重力做的功
①功的大小：WG＝ 。
②做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置 ，而跟物体运动的路径 。
(2)重力势能
①大小：Ep＝ 。
②单位：在国际单位制中，重力势能的单位是 ，符号为。
③重力做功与重力势能及其变化的关系WG＝ ＝－ΔEp。
即：重力做正功，重力势能 ；重力做负功，重力势能增加。
④重力势能的相对性。
a．物体的重力势能总是相对于某一 来说的，这个 叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为0。
b．选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是 的。
c．对选定的参考平面而言，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值；重力势能的正负表示大小。
2．判断
(1)同一物体在不同高度时，重力势能不同。( )
(2)重力做功与物体的位移有关。( )
(3)重力做功WG＝－20 J时，物体的重力势能减小20 J。( )
(4)只要有重力做功，重力势能就一定增加。( )
1．填一填
(1)弹性势能：发生 形变的物体的各部分之间，由于有 的相互作用而具有的势能。
(2)影响弹性势能大小的因素：①弹簧的 ；②弹簧的 。
(3)势能：势能也叫 ，与相互作用的物体的 位置有关。
①重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的。
②弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的。
2．判断
(1)弹性势能与弹簧的弹性形变量和劲度系数有关。( )
(2)不同的弹簧发生相同的形变量时，弹性势能变化量不同。( )
(3)弹簧被压缩时，弹性势能为负，弹簧被拉伸时，弹性势能为正。( )
主题探究 一 　　对重力势能的理解
【重难释解】
1．重力势能的理解
状态量 重力势能是状态量，与物体所处的位置(或时刻)相对应
标矢性 重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正负。正值表示物体处于参考平面上方，负值表示物体处于参考平面下方
相对性 重力势能Ep＝mgh，高度h的相对性决定了重力势能具有相对性。重力势能的大小与参考平面的选取有关
系统性 重力是地球对物体吸引而产生的，所以重力势能是物体和地球这个系统共同具有的，平时所说的“物体的重力势能”只是一种简化的说法
2.重力势能变化量的绝对性
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
　如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化量分别是(　　)
A．mgh，减少mg(H－h)
B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h)
D．－mgh，减少mg(H＋h)
[迁移·发散]
在典例1中：
(1)若选地面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化量如何？
(2)若选释放点所在平面为参考平面，则小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化量如何？
(3)比较以上的结果，你能得出什么结论？
【素养训练】
1．下列关于重力势能的说法正确的是(　　)
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了
D．地面上的物体的重力势能一定等于0
2．两个质量相等的实心铁球与实心木球，将它们放在同一水平地面上，下列结论正确的是(　　)
A．铁球的重力势能大于木球的重力势能
B．铁球的重力势能等于木球的重力势能
C．铁球的重力势能小于木球的重力势能
D．木球的重力势能不会大于铁球的重力势能
3．如图所示，水平桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：(g取10 m/s2)
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
主题探究 二 　　重力做功与重力势能变化的关系
【重难释解】
1．重力做功与重力势能的比较
比较内容 重力做功 重力势能
物理意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能
表达式 WG＝mgΔh Ep＝mgh
影响大小的因素　 重力mg和初、末位置的高度差Δh 重力mg和相对参考平面的高度h
特点 只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同
过程量 状态量
2.重力做功与重力势能变化的关系
(1)关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)意义：①重力做功的过程就是重力势能改变的过程；②重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就改变多少。
　在离地面80 m处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面。求：
(1)在第2 s末小球的重力势能；
(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化。
[迁移·发散]
质量为m的均匀细链条长为l，开始放在光滑的水平桌面上时，有长度为的链条悬在桌边缘，如图所示。松手后，链条滑离桌面。问：
(1)从开始到刚好滑离桌面(始终未触地)的过程中链条的重力势能变化了多少？
(2)重力对链条做的功是多少？
【素养训练】
4．起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．重力做正功，重力势能减少5.0×103 J
B．重力做正功，重力势能增加5.0×103 J
C．重力做负功，重力势能减少5.0×103 J
D．重力做负功，重力势能增加5.0×103 J
5．质量为m的足球在地面1位置被踢出后落到3位置，以下说法正确的是(　　)
A．由1到3的过程中，足球的重力势能始终不变，重力始终不做功
B．足球的重力势能先减小后增加，总的变化量为0；重力先做负功，后做正功，总功为零
C．足球的重力势能先增大后减小，总的变化量为0；重力先做正功，后做负功，总功为零
D．足球的重力势能先增大后减小，总的变化量为0；重力先做负功，后做正功，总功为零
6.如图所示，直杆长为2L，中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b(可视为质点)，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统重力势能如何变化？变化了多少？
主题探究 三 　弹性势能的理解
【重难释解】
1．弹性势能的产生原因
(1)物体发生了弹性形变；
(2)物体各部分间有弹力作用。
2．弹性势能的影响因素
(1)弹簧的形变量x；
(2)弹簧的劲度系数k。
3．弹性势能与弹力做功的关系
(1)关系：W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)意义：①弹力做负功，弹性势能增大。如图所示，O为弹簧的原长处，物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大。
②弹力做正功，弹性势能减小。如图所示，物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减少。
典例3　(多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩至最短的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹力大小与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
【素养训练】
7．下列几个运动过程中，物体弹性势能增加的是(　　)
A．运动员从压竿到竿伸直的过程中，竿的弹性势能
B．人拉长弹簧过程中弹簧的弹性势能
C．模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能
D．小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
8．如图所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是(　　)
A．重力势能减少，弹性势能增大
B．重力势能增大，弹性势能减少
C．重力势能减少，弹性势能减少
D．重力势能不变，弹性势能增大
9．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
一、培养创新意识和创新思维
小纸帽能弹多高
将圆珠笔里的弹簧取出，再用硬卡纸做个小纸帽，套在弹簧上(如图)。用力把小纸帽往下压，使弹簧产生一定的弹性形变，然后迅速放开手，看看小纸帽能弹多高。
用大小不同的力使弹簧产生大小不同的弹性形变，重复做几次，看看小纸帽弹起的高度有什么不同。
换用不同劲度系数的弹簧做此实验，看看小纸帽弹起的高度又有什么不同。
提示：用力越大，弹簧产生的弹性形变越大，小纸帽弹起的高度越高；用劲度系数越大的弹簧，在相同弹性形变下，小纸帽弹起的高度越高。
二、注重学以致用和思维建模
1.如图是某摩天轮，高度为108 m，直径是98 m。一质量为50 kg的游客乘坐该摩天轮做匀速圆周运动旋转一圈需25 min。如果以地面为零势能面，则他到达最高处时的(g取10 m/s2)(　　)
A．重力势能为5.4×104 J，角速度为0.2 rad/s
B．重力势能为4.9×104 J，角速度为0.2 rad/s
C．重力势能为5.4×104 J，角速度为4.2×10－3 rad/s
D．重力势能为4.9×104 J，角速度为4.2×10－3 rad/s
2．如图所示，撑竿跳是运动会中常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑竿跳起过程的说法正确的是(　　)
A．运动员撑竿刚刚触地时，竿弹性势能最大
B．运动员撑竿跳起到达最高点时，竿弹性势能最大
C．运动员撑竿触地后上升到最高点之前某时刻，竿弹性势能最大
D．以上说法均有可能
3.(多选)如图甲为一种儿童玩具——不倒翁，其纵截面如图乙，底部是半球形，球心为O，顶点为P。“翁”静止时直立，用手推一下上部，“翁”倾斜，放手后来回摆动若干次后重新直立静止。下列判断正确的是(　　)
A．“翁”的重心位于O点
B．“翁”的重心位于O、P两点之间
C．摆动中“翁”从直立变倾斜过程，重力势能增加
D．摆动中“翁”从直立变倾斜过程，重力势能减少
[课时跟踪检测]
组—重基础·体现综合
1．关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的
B．处在同一高度的物体，具有的重力势能相同
C．重力势能是标量，不可能有正、负值
D．浮在海面上的小船的重力势能一定为零
2．(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
3．如图为某森林生态园的一段山地越野路面，自行车以相同的速率先后通过a、b、c三点，关于自行车，下列说法正确的是(　　)
A．从a运动到b过程中，重力势能增加
B．在a点处于失重状态
C．在b点向心加速度方向竖直向上
D．在c点最容易爆胎
4．(多选)如图所示，被压缩的轻质弹簧推动木块向右运动到恢复原长的过程中，弹簧的(　　)
A．弹力不变　　　　　 B．弹力减小
C．弹性势能不变 D．弹性势能减小
5.如图所示，ACP和BDP是竖直平面内两个半径不同的半圆形光滑轨道，A、P、B三点位于同一水平面上，C和D分别为两轨道的最低点，将两个质量相同的小球分别从A和B两处同时无初速度释放，则(　　)
A．沿BDP光滑轨道运动的小球的重力势能永远为正值
B．两小球到达C点和D点时，重力做功相等
C．两小球到达C点和D点时，重力势能相等
D．两小球刚开始从A和B两处无初速度释放时，重力势能相等
6．起跳摸高是同学们经常进行的一项活动。某学生身高1.80 m，质量70 kg，他站立举臂，手指摸到的高度为2.10 m。在一次摸高测试中，如果他先下蹲，再用力蹬地向上跳起，同时举臂，离地后手指摸到的高度为2.55 m。设他从蹬地到离开地面所用的时间为0.7 s。不计空气阻力(g取10 m/s2)，该同学跳起后增加的重力势能最大值是(　　)
A．1 260 J　　　　　　 B．1 470 J
C．315 J D．1 785 J
7．一个100 g的球从1.8 m的高处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高处，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g取10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．物体的重力势能一定减少0.55 J
D．物体的重力势能一定增加1.25 J
8．如图甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与水平轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，然后反向弹回，弹簧始终处在弹性限度内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，则弹簧的压缩量由8 cm变为4 cm时，弹簧所做的功以及弹性势能的变化量分别为(　　)
A.3.6 J、－3.6 J B．－3.6 J、3.6 J
C．1.8 J、－1.8 J D．－1.8 J、1.8 J
9.如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能变化了多少？重力做功为多少？(重力加速度为g)
组—重应用·体现创新
10.魔方，又叫魔术方块或鲁比克方块，通常泛指三阶魔方，三阶魔方形状是正方体，由有弹性的硬塑料制成。要将一个质量为m、边长为a的水平放置的匀质三阶魔方翻倒，推力对它做功至少为(　　)
A.mga B.
C. D.
11．(多选)竖直上抛一个小球，从抛出到落回原抛出点的过程中，它的速度、重力势能、位移、加速度随时间变化的函数图像正确的是(不计空气阻力，以竖直向下为正方向，图中曲线为抛物线，抛出点为零势能点)(　　)
12．如图所示，一条长l＝2 m、质量分布均匀的铁链放在水平地面上，铁链质量为10 kg，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的瞬间，克服铁链重力做功为多少？铁链的重力势能变化了多少？(重力加速度g取9.8 m/s2)
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