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北师大版数学八年级下册 1.1三角形内角和定理 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·南宁期末）如图， ∠1是△ABC的外角， 若∠A=50°， ∠B=60°， 则∠1= （　　)
A．115° B．110° C．120° D．95°
2．（2026·黔南期末）如图，，则∠ACD的度数是 (　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
3．（2026八上·白马期末） 将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2019八上·南丹期中）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（　　）
A．90° B．80° C．60° D．50°
5．（2025八上·房山期末）如图，在中，点在边上，点在边上，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·诸暨期中） 两个直角三角尺如图摆放， 其中∠BAC=∠EDF =90°， ∠E=45°， ∠C=30°. 若BC∥EF ， 则∠1的度数为 (　　)
A．30° B．45° C．65° D．75°
7．（2026八上·长沙期末）如图， 是 的外角，若 则 　 　°.
8．（2025八上·兴仁月考）如图，直线l，m分别与的边平行，，则的度数是　 　．
9．（2025七下·博罗月考）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为　 　．
二、能力提升
10．（2026八上·望城期末）如图，在△ABC中，∠BAC=64°，∠B=36°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC的度数是（　　）
A．80° B．100° C．78° D．68°
11．（2025八下·龙岗期中）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八上·绍兴期中）将一副三角尺如图摆放，其中∠DFB的度数为（　　）
A．15° B．75° C．105° D．135°
13．（2025七下·竞赛） 如图，已知AB//FG，CD//EF，∠B=115°，∠F=35°，则∠C的度数为　 　度。
14．（2025八上·柯桥期中）如图，若，，，与交于点，则的度数是　 　．
15．（2025八上·慈溪期中） 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则　 　．
16．（2020八上·贵州月考）如图，AD平分∠CAE，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠D与∠ACD的度数.
17．（2025七下·杭州期中）如图，已知平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结BD，若，且，求的度数．
三、拓展创新
18．（2024八上·罗庄期中）在中，．点D在边上．且．点E在射线上，．
（1）如图，当点E在线段上时，若，求的度数．
（2）求与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵ ∠A=50°， ∠B=60°， ∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠A+∠B=50°+60°=110°。
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】 解：∵∠A＝110°，∠B＝30°，
∴∠A＋∠B＝140°，
∵∠ACD＝∠A＋∠B，
∴∠ACD＝140°．
故答案为：D．
【分析】利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和）分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，，
，
是的一个外角，
，
故答案为：A .
【分析】根据，，求得，再根据三角形外角的性质即可求解．
4．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；补角
【解析】【解答】解：∵∠3=100°
∴∠BDE=180°-∠3=80°
∴=80°
故答案为：A
【分析】根据补角可得∠BDE，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： ∵∠E=45°，BC∥EF，
∴∠EDC=∠E=45°，
又∵∠1=∠EDC+∠C，∠C=30°，
∴∠1=∠EDC+∠C=45°+30°=75°
故答案为：D .
【分析】利用平行线的性质求出∠CDE的度数，再利用∠1=∠EDC+∠C求出∠1的度数即可.
7．【答案】49
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
8．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，，
∴，
∴．
根据三角形外角的性质得，
∴．
∵直线，
∴．
故答案为：．
【分析】本题结合图形，并根据“两直线平行同旁内角互补”，可以先求出=60°，再根据三角形的外角的性质得=40°，最后根据“两直线平行同位角相等”得出。
9．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据对顶角相等求出∠3=40°，再根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出∠4的度数，最后根据二直线平行，同位角相等求出∠2=∠4，可得答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BAC=64°，AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=32°
∵∠B=36°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=68°，
故答案为：D.
【分析】先根据角平分线的性质求出∠BAD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数。
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
．
又，
，
，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为C
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的性质。在中，，根据三角形内角和为，结合，可列方程，解得；由三角形外角性质，是的外角，故，同时，即平分；又因为、，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得。
12．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠AFB=∠EAD+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠DFB=180°-∠AFB=105°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠AFB的度数，再根据邻补角点的定义即可得出答案.
13．【答案】80
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，延长AB交CD 于点N，延长CF，GF 相交于点K.
于是
故答案为：80.
【分析】延长AB交CD 于点N，延长CF，GF 相交于点K，然后根据平行线的性质得到∠CNB的度数，然后根据三角形的外角解答即可.
14．【答案】82°
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵
∴∠B=∠B'，∠AOB=∠A'OB'
∴∠AOB-∠A'OC=∠A'OB'-∠A'OC
∴∠AOA'=∠BOB'
∵∠A'CO为△B'OC的外角
∴∠A'CO=∠B'+∠BOB'=30°+52°=82°
故答案：82°.
【分析】由全等的性质得∠B=∠B'，∠AOB=∠A'OB'，由此得∠AOA'=∠BOB'，由三角形的外角的性质得∠A'CO=∠B'+∠BOB'，代入数据即得度数.
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】如图所示，
故正确答案为：
【分析】由于对顶角相等、直角三角形两锐角互余，则，再利用三角形外角的性质即可.
16．【答案】解：∵∠DAE是△ABD的外角，∠B=35°，∠DAE=60°
∴∠DAE=∠B+∠D
∴∠D=∠DAE-∠B=25°
∵AD平分∠CAE
∴∠CAE=2∠DAE=120°
∴∠BAC=180°－∠CAE=60°
∵∠B=35°
∴∠ACD=∠BAC+∠B =35°+60°=95°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据三角形外角的性质即可求出∠D，根据角平分线的定义可得∠CAE=2∠DAE，再根据邻补角的定义求出∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
17．【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
.
（2）解：设，
，
，
，
，
，即，解得，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可得，再通过平行线的性质得到，进而等量代换证得，即可判定.
(2)设，利用平行线的性质可得，由三角形的外角性质可得，通过垂直的定义求得，进而得到的度数．
18．【答案】（1）解：如图，
，
，
在中，，
，
，
∴.
（2）解：当E在线段上时，
，
，
在中，设，，
，
，
，
即.
当E在线段延长线上时，
在与中，，
，
，
，
即，
．
综上：或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据得，再根据三角形内角和定理得，进一步得，便可得.
（2）根据题意分为当E在线段上时及当E在线段延长线上时两种情况进行讨论，当E在线段上时，根据得，在中，设，，结合已知条件得，进一步得，计算得，同理可得当E在线段延长线上时，.
（1）解：，
，
在中，，
，
，
∴；
（2）解：当E在线段上时，如图，
，
，
在中，设，，
，
，
，
即；
当E在线段延长线上时，
在与中，，
，
，
，
即，
．
综上：或．
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.1三角形内角和定理 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·南宁期末）如图， ∠1是△ABC的外角， 若∠A=50°， ∠B=60°， 则∠1= （　　)
A．115° B．110° C．120° D．95°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵ ∠A=50°， ∠B=60°， ∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠A+∠B=50°+60°=110°。
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可得出答案。
2．（2026·黔南期末）如图，，则∠ACD的度数是 (　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】 解：∵∠A＝110°，∠B＝30°，
∴∠A＋∠B＝140°，
∵∠ACD＝∠A＋∠B，
∴∠ACD＝140°．
故答案为：D．
【分析】利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和）分析求解即可.
3．（2026八上·白马期末） 将一副三角板按照如图方式摆放，点共线，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，，
，
是的一个外角，
，
故答案为：A .
【分析】根据，，求得，再根据三角形外角的性质即可求解．
4．（2019八上·南丹期中）如图，在△ABC中，E为AC边上一点，若∠1＝20°，∠C＝60°，则∠AEB等于（　　）
A．90° B．80° C．60° D．50°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可知，∠AEB＝∠1+∠C＝80°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案.
5．（2025八上·房山期末）如图，在中，点在边上，点在边上，连接，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；补角
【解析】【解答】解：∵∠3=100°
∴∠BDE=180°-∠3=80°
∴=80°
故答案为：A
【分析】根据补角可得∠BDE，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．（2025八上·诸暨期中） 两个直角三角尺如图摆放， 其中∠BAC=∠EDF =90°， ∠E=45°， ∠C=30°. 若BC∥EF ， 则∠1的度数为 (　　)
A．30° B．45° C．65° D．75°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： ∵∠E=45°，BC∥EF，
∴∠EDC=∠E=45°，
又∵∠1=∠EDC+∠C，∠C=30°，
∴∠1=∠EDC+∠C=45°+30°=75°
故答案为：D .
【分析】利用平行线的性质求出∠CDE的度数，再利用∠1=∠EDC+∠C求出∠1的度数即可.
7．（2026八上·长沙期末）如图， 是 的外角，若 则 　 　°.
【答案】49
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
8．（2025八上·兴仁月考）如图，直线l，m分别与的边平行，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵直线，，
∴，
∴．
根据三角形外角的性质得，
∴．
∵直线，
∴．
故答案为：．
【分析】本题结合图形，并根据“两直线平行同旁内角互补”，可以先求出=60°，再根据三角形的外角的性质得=40°，最后根据“两直线平行同位角相等”得出。
9．（2025七下·博罗月考）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】首先根据对顶角相等求出∠3=40°，再根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出∠4的度数，最后根据二直线平行，同位角相等求出∠2=∠4，可得答案.
二、能力提升
10．（2026八上·望城期末）如图，在△ABC中，∠BAC=64°，∠B=36°，AD平分∠BAC交BC于点D，则∠ADC的度数是（　　）
A．80° B．100° C．78° D．68°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BAC=64°，AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=32°
∵∠B=36°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=68°，
故答案为：D.
【分析】先根据角平分线的性质求出∠BAD的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数。
11．（2025八下·龙岗期中）如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：，
．
又，
，
，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为C
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的性质。在中，，根据三角形内角和为，结合，可列方程，解得；由三角形外角性质，是的外角，故，同时，即平分；又因为、，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得。
12．（2025八上·绍兴期中）将一副三角尺如图摆放，其中∠DFB的度数为（　　）
A．15° B．75° C．105° D．135°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠AFB=∠EAD+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠DFB=180°-∠AFB=105°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠AFB的度数，再根据邻补角点的定义即可得出答案.
13．（2025七下·竞赛） 如图，已知AB//FG，CD//EF，∠B=115°，∠F=35°，则∠C的度数为　 　度。
【答案】80
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，延长AB交CD 于点N，延长CF，GF 相交于点K.
于是
故答案为：80.
【分析】延长AB交CD 于点N，延长CF，GF 相交于点K，然后根据平行线的性质得到∠CNB的度数，然后根据三角形的外角解答即可.
14．（2025八上·柯桥期中）如图，若，，，与交于点，则的度数是　 　．
【答案】82°
【知识点】三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵
∴∠B=∠B'，∠AOB=∠A'OB'
∴∠AOB-∠A'OC=∠A'OB'-∠A'OC
∴∠AOA'=∠BOB'
∵∠A'CO为△B'OC的外角
∴∠A'CO=∠B'+∠BOB'=30°+52°=82°
故答案：82°.
【分析】由全等的性质得∠B=∠B'，∠AOB=∠A'OB'，由此得∠AOA'=∠BOB'，由三角形的外角的性质得∠A'CO=∠B'+∠BOB'，代入数据即得度数.
15．（2025八上·慈溪期中） 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】如图所示，
故正确答案为：
【分析】由于对顶角相等、直角三角形两锐角互余，则，再利用三角形外角的性质即可.
16．（2020八上·贵州月考）如图，AD平分∠CAE，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠D与∠ACD的度数.
【答案】解：∵∠DAE是△ABD的外角，∠B=35°，∠DAE=60°
∴∠DAE=∠B+∠D
∴∠D=∠DAE-∠B=25°
∵AD平分∠CAE
∴∠CAE=2∠DAE=120°
∴∠BAC=180°－∠CAE=60°
∵∠B=35°
∴∠ACD=∠BAC+∠B =35°+60°=95°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据三角形外角的性质即可求出∠D，根据角平分线的定义可得∠CAE=2∠DAE，再根据邻补角的定义求出∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
17．（2025七下·杭州期中）如图，已知平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结BD，若，且，求的度数．
【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
.
（2）解：设，
，
，
，
，
，即，解得，
.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义可得，再通过平行线的性质得到，进而等量代换证得，即可判定.
(2)设，利用平行线的性质可得，由三角形的外角性质可得，通过垂直的定义求得，进而得到的度数．
三、拓展创新
18．（2024八上·罗庄期中）在中，．点D在边上．且．点E在射线上，．
（1）如图，当点E在线段上时，若，求的度数．
（2）求与的数量关系．
【答案】（1）解：如图，
，
，
在中，，
，
，
∴.
（2）解：当E在线段上时，
，
，
在中，设，，
，
，
，
即.
当E在线段延长线上时，
在与中，，
，
，
，
即，
．
综上：或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据得，再根据三角形内角和定理得，进一步得，便可得.
（2）根据题意分为当E在线段上时及当E在线段延长线上时两种情况进行讨论，当E在线段上时，根据得，在中，设，，结合已知条件得，进一步得，计算得，同理可得当E在线段延长线上时，.
（1）解：，
，
在中，，
，
，
∴；
（2）解：当E在线段上时，如图，
，
，
在中，设，，
，
，
，
即；
当E在线段延长线上时，
在与中，，
，
，
，
即，
．
综上：或．
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