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北师大版数学八年级下册 1.2等腰三角形 第一课时 同步分层练习
一、选择题
1．（2026八上·义乌期末）等腰三角形一个角为36°，则顶角的度数为 (　　)
A．36° B．36°或72° C．108° D．36°或108°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若36°角为顶角，符合题意；
若36°角为底角，则顶角为180°-36°-36°=108°；
综上所述，顶角的度数为 36°或108° .
故答案为：D .
【分析】36°角可能为底角可能为顶角，求出对应的顶角即可.
2．（2026八上·临海期末）如图，在等边△ABC中，若BC边上的中线AD与AC边上的中线BE交于点 F， 则∠AFB 的度数为(　　)
A．110° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=60°
∵AD为BC的中线，BE为AC的中线
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠FAB=∠BAC=30°，∠ABF=∠ABC=30°
∵∠AFB=180°-∠FAB-∠FBA
∴∠AFB=180°-30°-30°=120°
故答案：B.
【分析】由等边三角形的性质知∠BAC=∠ABC=60°，由“三线合一”知∠FAB=∠FBA=30°，由此可得AFB的度数.
3．（2024八下·兴宁月考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据其性质即可求出答案.
4．（2025八上·临平期中）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条QP，QR组成，两根木条在点Q处相连并.可绕点Q转动，另有长度与QS相等的两根木条MS，MT，其中木条MS的一端S固定在木条QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M 和点T在相应轨道槽中的位置可改变∠PQR的大小。若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足∠PQR=40°时，下列判断正确的是 （　　）
A．QT=QM B．MS 平分∠QMT
C．∠PTM=120° D．∠RMT=120°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由已知QS=MS
∴∠SMQ=∠PQR=40°
∵∠MST为△SQM的外角
∴∠MST=∠SQM+∠SMQ=40°+40°=80°
∵SM=TM
∴∠STM=∠TSM=80°
∴∠QMT=180°-∠QTM-∠TQM=180°-40°-80°=60°
∴QT≠QM，故A错误；
∵∠TMS=180°-∠TSM-∠STM=180°-80°-80°=20°
∴∠QMS=40°
故B错误；
∠PTM为△QTM的外角
∠PTM=∠TMQ+∠TQM=40°+60°=100°，故C错误；
∵∠RMT为△QTM的外角
∴∠RMT=∠TQM+∠QTM=40°+80°=120°，故D正确；
故答案：D.
【分析】由QS=SM得∠SQM=∠SMQ，由外角的性质得∠MST=80°，由MS=MT得∠MTS=80°，由此得∠SMT=20°，由外角的性质得∠PTM和∠TMR的度数，即可判断各选项.
5．（2025八下·茂名期中）如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线.若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，分别是线段，的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠B+∠C，根据垂直平分线性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2024八上·嵩县期末）如图在等腰中，其中，，P是内一点，且，则等于（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC，根据等边对等角可得，，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2026八上·黔南期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则　 　．
【答案】3
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接．
，
，
∵的垂直平分线是，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】连接 BD，利用等腰△ABC 的内角关系，求出∠A = ∠C = 30°。根据线段垂直平分线的性质，得到 AD = BD，进而推出∠DBA = 30°，从而得到∠DBC = 90°。在 Rt△DBC 中，利用 “30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，由 DC = 6cm，求出 BD = 3cm，最终得到 AD = 3cm。
8．（2026八上·越秀月考）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长＝5＋5＋2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
【分析】分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
9．（2025八上·义乌期中）如图已知△ABC为等边三角形， BD为中线， 延长BC至E， 使CE=CD=1， 连接DE， 则DE=　 　.
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为AC中线
∴BD⊥AC，∠CBD=∠ABC=30°
∴BC=2CD=2
∴BD=
∵CD=CE
∴∠CDE=∠CED
∵∠BCD为△CDE的外角
∴∠BCD=∠CDE+∠CED=2∠CED=60°
∴∠CED=30°
∴DE=BD=
故答案为：.
【分析】由等边三角形的性质知∠CBD=30°，BD⊥AC，得BC=2，即得BD的长，同时由外角的性质知∠E=∠CBD，DE=BD.
二、填空题
10．（2026八上·越秀月考）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠CDE=80°，则∠BDE的度数是（　　）．
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠CDE＝80°，
∴DCE＝∠DEC＝×（180° 80°）＝50°，
∵∠O＋∠CDO＝∠DCE，
∴2∠O＝∠DCE＝50°，
∴∠O＝25°，
∴∠BDE＝∠O＋∠DEC＝75°．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的性质推出∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，求出∠DCE＝∠DEC＝50°，由三角形的外角性质求出∠O＝25°，得到∠BDE＝∠O＋∠DEC＝75°．
11．（2026八上·嘉兴期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以AB为边向下作等边三角形ABE，若DE的最小值为1，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；等边三角形的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC．
如图，当DE取最小值时，AE⊥BC，此时A，D，E三点共线，且DE为点E到BC的距离．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE．
又∵DE的最小值为1，
∴AD=DE=1，AB=AC=AE=AD+DE=2．
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，即，
∵点D为BC中点，
∴BC=2BD=.
故答案为：B.
【分析】先根据等腰三角形三线合一，得出AD⊥BC；再分析DE取最小值的条件，即AE⊥BC，此时A，D，E共线，结合等边三角形性质得到AB=AE=2；最后在Rt△ABD中用勾股定理求出BD=，从而得到BC=.
12．（2026八上·潮南期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在等边三角形中，，，
∵是边上的中线，
，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在等边三角形中，，，根据是边上的中线，得，根据，得，在中，，，可得，含有的直角三角形的性质，可得.
13．（2026八上·门头沟期末）在中，，，是上的动点（不与点重合），且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）写请用等式表示、的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2） 解：结论： BE=EF
证明： 延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM.
在△EFD与△MCD中，
∴△EFD≌△MCD(SAS).
∴CM=EF，
∵AD⊥EM，ED= DM，
∴AE= AM .
∴∠EAM=2∠EAD=2α.
∵∠BAC=2α，
∴∠BAE=∠CAM.
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACM(SAS).
∵EB=CM，
∴BE = EF.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-线段的和差；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据题意画出图形，解答即可；
（2）延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM，根据SAS证明△EFD≌△MCD，根据全等三角形的性质得到CM=EF，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE= AM ，从而可得∠EAM=2∠EAD=2α，再利用SAS证明△ABE≌△ACM，根据全等三角形的性质解答即可.
14．（2026八上·祁东期末）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：因为BE=CF，
所以BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又因为∠A=∠D，∠B=∠C，
在△ABF与△DCE中，
，
所以△ABF△DCE(AAS)，
所以AB=DC．
（2）解：△OEF为等腰三角形
理由如下：因为△ABF△DCE(AAS)，
所以∠AFB=∠DEC，
所以OE=OF，
所以△OEF为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据BE=CF推出BF=CE，然后利用“角角边"证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠AFB=∠DEC，再根据等角对等边求出OE=OF，从而得解.
三、解答题
15．（2023八上·海淀期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在中，若，且有“等腰线段”，则的度数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
当为“等腰线段”时，
∵、均为等腰三角形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
当为“等腰线段”时，
∵为等腰三角形，
∴，则，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
解得：，
综上：．
故答案为：．
【分析】设，则，然后进行分类讨论：当为“等腰线段”时，当为“等腰线段”时，根据等腰三角形性质即可求出答案.
16．（2025八上·娄星期末）如图1，在和中，，为延长线上一点，且，记，．
（1）【初步发现】
用含和的式子表示____________，若，则___________；
（2）【深入探究】
若，
①如图2，连接，请判断的形状是__________三角形；
②如图3，在边上取点，使得，作点关于直线对称点，连接并延长交于点，连接，依题意补全图形，请写出线段，和之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1），100
（2）①等边；
②结论：．
理由：如图，作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点，
由对称可知：，
∴是等边三角形，
，
，
由①知：，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）在中，，
，则，
∵， ，
∵， ，
则，
；
∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
；
（2）结论：是等边三角形．
理由：∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
，
，
是等边三角形，
【分析】
本题属于三角形综合探究题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形“等边对等角”推导角度关系，结合对称性质和全等证明线段关系.
（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解即可；
（2）①证明，结合，判定为等边三角形；
②结论；．作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点，再通过SAS证可得，即可推导出OP-CP与AB的关系．
（1）在中，，
，则，
∵， ，
∵， ，
则，
；
∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
；
（2）结论：是等边三角形．
理由：∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
，
，
是等边三角形，
结论：．
理由：如图，作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点，
由对称可知：，
∴是等边三角形，
，
，
由①知：，
，
．
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.2等腰三角形 第一课时 同步分层练习
一、选择题
1．（2026八上·义乌期末）等腰三角形一个角为36°，则顶角的度数为 (　　)
A．36° B．36°或72° C．108° D．36°或108°
2．（2026八上·临海期末）如图，在等边△ABC中，若BC边上的中线AD与AC边上的中线BE交于点 F， 则∠AFB 的度数为(　　)
A．110° B．120° C．135° D．150°
3．（2024八下·兴宁月考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
4．（2025八上·临平期中）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条QP，QR组成，两根木条在点Q处相连并.可绕点Q转动，另有长度与QS相等的两根木条MS，MT，其中木条MS的一端S固定在木条QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M 和点T在相应轨道槽中的位置可改变∠PQR的大小。若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足∠PQR=40°时，下列判断正确的是 （　　）
A．QT=QM B．MS 平分∠QMT
C．∠PTM=120° D．∠RMT=120°
5．（2025八下·茂名期中）如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线.若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·嵩县期末）如图在等腰中，其中，，P是内一点，且，则等于（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
7．（2026八上·黔南期末）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点．若，则　 　．
8．（2026八上·越秀月考）若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为　 　．
9．（2025八上·义乌期中）如图已知△ABC为等边三角形， BD为中线， 延长BC至E， 使CE=CD=1， 连接DE， 则DE=　 　.
二、填空题
10．（2026八上·越秀月考）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠CDE=80°，则∠BDE的度数是（　　）．
A．60° B．65° C．75° D．80°
11．（2026八上·嘉兴期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以AB为边向下作等边三角形ABE，若DE的最小值为1，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
12．（2026八上·潮南期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为　 　．
13．（2026八上·门头沟期末）在中，，，是上的动点（不与点重合），且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）写请用等式表示、的数量关系，并证明．
14．（2026八上·祁东期末）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
三、解答题
15．（2023八上·海淀期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”．如图，在中，若，且有“等腰线段”，则的度数的取值范围为　 　．
16．（2025八上·娄星期末）如图1，在和中，，为延长线上一点，且，记，．
（1）【初步发现】
用含和的式子表示____________，若，则___________；
（2）【深入探究】
若，
①如图2，连接，请判断的形状是__________三角形；
②如图3，在边上取点，使得，作点关于直线对称点，连接并延长交于点，连接，依题意补全图形，请写出线段，和之间的等量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若36°角为顶角，符合题意；
若36°角为底角，则顶角为180°-36°-36°=108°；
综上所述，顶角的度数为 36°或108° .
故答案为：D .
【分析】36°角可能为底角可能为顶角，求出对应的顶角即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=60°
∵AD为BC的中线，BE为AC的中线
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠FAB=∠BAC=30°，∠ABF=∠ABC=30°
∵∠AFB=180°-∠FAB-∠FBA
∴∠AFB=180°-30°-30°=120°
故答案：B.
【分析】由等边三角形的性质知∠BAC=∠ABC=60°，由“三线合一”知∠FAB=∠FBA=30°，由此可得AFB的度数.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据其性质即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由已知QS=MS
∴∠SMQ=∠PQR=40°
∵∠MST为△SQM的外角
∴∠MST=∠SQM+∠SMQ=40°+40°=80°
∵SM=TM
∴∠STM=∠TSM=80°
∴∠QMT=180°-∠QTM-∠TQM=180°-40°-80°=60°
∴QT≠QM，故A错误；
∵∠TMS=180°-∠TSM-∠STM=180°-80°-80°=20°
∴∠QMS=40°
故B错误；
∠PTM为△QTM的外角
∠PTM=∠TMQ+∠TQM=40°+60°=100°，故C错误；
∵∠RMT为△QTM的外角
∴∠RMT=∠TQM+∠QTM=40°+80°=120°，故D正确；
故答案：D.
【分析】由QS=SM得∠SQM=∠SMQ，由外角的性质得∠MST=80°，由MS=MT得∠MTS=80°，由此得∠SMT=20°，由外角的性质得∠PTM和∠TMR的度数，即可判断各选项.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，分别是线段，的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠B+∠C，根据垂直平分线性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC，根据等边对等角可得，，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】3
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接．
，
，
∵的垂直平分线是，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】连接 BD，利用等腰△ABC 的内角关系，求出∠A = ∠C = 30°。根据线段垂直平分线的性质，得到 AD = BD，进而推出∠DBA = 30°，从而得到∠DBC = 90°。在 Rt△DBC 中，利用 “30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，由 DC = 6cm，求出 BD = 3cm，最终得到 AD = 3cm。
8．【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长＝5＋5＋2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
【分析】分5是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
9．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为AC中线
∴BD⊥AC，∠CBD=∠ABC=30°
∴BC=2CD=2
∴BD=
∵CD=CE
∴∠CDE=∠CED
∵∠BCD为△CDE的外角
∴∠BCD=∠CDE+∠CED=2∠CED=60°
∴∠CED=30°
∴DE=BD=
故答案为：.
【分析】由等边三角形的性质知∠CBD=30°，BD⊥AC，得BC=2，即得BD的长，同时由外角的性质知∠E=∠CBD，DE=BD.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠CDE＝80°，
∴DCE＝∠DEC＝×（180° 80°）＝50°，
∵∠O＋∠CDO＝∠DCE，
∴2∠O＝∠DCE＝50°，
∴∠O＝25°，
∴∠BDE＝∠O＋∠DEC＝75°．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的性质推出∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，求出∠DCE＝∠DEC＝50°，由三角形的外角性质求出∠O＝25°，得到∠BDE＝∠O＋∠DEC＝75°．
11．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；等边三角形的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC．
如图，当DE取最小值时，AE⊥BC，此时A，D，E三点共线，且DE为点E到BC的距离．
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=AE．
又∵DE的最小值为1，
∴AD=DE=1，AB=AC=AE=AD+DE=2．
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，即，
∵点D为BC中点，
∴BC=2BD=.
故答案为：B.
【分析】先根据等腰三角形三线合一，得出AD⊥BC；再分析DE取最小值的条件，即AE⊥BC，此时A，D，E共线，结合等边三角形性质得到AB=AE=2；最后在Rt△ABD中用勾股定理求出BD=，从而得到BC=.
12．【答案】4
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
在等边三角形中，，，
∵是边上的中线，
，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在等边三角形中，，，根据是边上的中线，得，根据，得，在中，，，可得，含有的直角三角形的性质，可得.
13．【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2） 解：结论： BE=EF
证明： 延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM.
在△EFD与△MCD中，
∴△EFD≌△MCD(SAS).
∴CM=EF，
∵AD⊥EM，ED= DM，
∴AE= AM .
∴∠EAM=2∠EAD=2α.
∵∠BAC=2α，
∴∠BAE=∠CAM.
∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACM(SAS).
∵EB=CM，
∴BE = EF.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-线段的和差；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据题意画出图形，解答即可；
（2）延长ED至点M， 使DM = ED，连接AM，CM，根据SAS证明△EFD≌△MCD，根据全等三角形的性质得到CM=EF，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE= AM ，从而可得∠EAM=2∠EAD=2α，再利用SAS证明△ABE≌△ACM，根据全等三角形的性质解答即可.
14．【答案】（1）证明：因为BE=CF，
所以BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又因为∠A=∠D，∠B=∠C，
在△ABF与△DCE中，
，
所以△ABF△DCE(AAS)，
所以AB=DC．
（2）解：△OEF为等腰三角形
理由如下：因为△ABF△DCE(AAS)，
所以∠AFB=∠DEC，
所以OE=OF，
所以△OEF为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)根据BE=CF推出BF=CE，然后利用“角角边"证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠AFB=∠DEC，再根据等角对等边求出OE=OF，从而得解.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
当为“等腰线段”时，
∵、均为等腰三角形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
当为“等腰线段”时，
∵为等腰三角形，
∴，则，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
解得：，
综上：．
故答案为：．
【分析】设，则，然后进行分类讨论：当为“等腰线段”时，当为“等腰线段”时，根据等腰三角形性质即可求出答案.
16．【答案】（1），100
（2）①等边；
②结论：．
理由：如图，作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点，
由对称可知：，
∴是等边三角形，
，
，
由①知：，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）在中，，
，则，
∵， ，
∵， ，
则，
；
∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
；
（2）结论：是等边三角形．
理由：∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
，
，
是等边三角形，
【分析】
本题属于三角形综合探究题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形“等边对等角”推导角度关系，结合对称性质和全等证明线段关系.
（1）利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解即可；
（2）①证明，结合，判定为等边三角形；
②结论；．作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点，再通过SAS证可得，即可推导出OP-CP与AB的关系．
（1）在中，，
，则，
∵， ，
∵， ，
则，
；
∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
；
（2）结论：是等边三角形．
理由：∵，
，
，
是等腰三角形，
，
，
同理：，
，
，
是等边三角形，
结论：．
理由：如图，作点C关于直线的对称点F，连接，，，，则点P为的延长线与的交点，
由对称可知：，
∴是等边三角形，
，
，
由①知：，
，
．
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