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北师大版数学八年级下册 1.2等腰三角形 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·郑州期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（　　）
A． B．
C． D．且
2．（2023七下·南宁期末）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（　　）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
3．（2024八下·霞浦月考）等腰三角形的顶角为，则底角的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·忠县期末）在中，已知，，，某同学用直尺和圆规先确定了三角形顶点A、C，在用长确定顶点B时，作出了如图所示的两个B点，那么这两个B点之间的长度为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2025八下·坪山期末）小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
6．（2025八下·义乌期末） 用反证法证明“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＜90°”时，应先假设（　　）
A．∠B＞90° B．∠B≤90° C．∠B≥90° D．∠B≠90°
7．（2025七下·普宁期末） 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是　 　.
8．（2025七下·罗湖期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D在BA延长线上，则　 　°.
9．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设　 　．
二、能力提升
10．（2023八下·霞山期中）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．2
11．（2025八下·茂名期中）如图，在中，，是的平分线，点是上的一点，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025七下·新都期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则　 　．
13．（2025八下·龙岗期中）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝　 　．
14．（2025八下·成都期中）如图，中，，D在边上，，求的度数．
15．（2025七下·崇明期末）已知在等边中，点是边上一点，点是延长线上一点，．
（1）如图1，如果点是的中点，说明；
（2）如图2，如果点是上任意一点（不与点、重合），还成立吗？请说明理由．
三、拓展创新
16．（2025八上·慈溪期中）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D在边上，且，则　 　度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E在 边上，且，，则的度数为　 　．
17．如图，在锐角三角形 ABC中，AB=AC，点 D 在 AB上，DE⊥AC于点 E，连结CD，∠CDE=∠B.
（1）特例探索：如图①，若∠A = 60°，求∠ACD 的度数；
（2）类比迁移：如图②，若∠A=α，求∠ACD的度数(用含α的代数式表示)；
（3）拓展提升：在图②中，猜想 BD 与AE 的数量关系，并给出证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则，
∴首先应该假设．
故选：B．
【分析】根据反证法的步骤先假设结论不成立，反面成立进行作答即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为15时，等腰三角形的三边分别是15，15，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+15+7=37；
当等腰三角形的腰为7时，等腰三角形的三边分别是15，7，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+7+7=29，
∵7+7＜15，
∴此时三角形不存在.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，再根据三角形三边关系知，7，7，15不能组成三角形，应舍去，从而得出等腰三角形的周长为37.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等，顶角是，
∴其底角为，
故选：．
【分析】根据等腰三角形的性质可得两个底角相等，再根据三角形内角和定理求解即可．
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作于点D，如图所示：
则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题主要考查30°直角三角形的性质和勾股定理，等腰三角形的性质，过C作于D，由∠A=30°得；利用勾股定理得；再由等腰三角形三线合一，得BB‘=2，即可得到答案．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当50°为顶角，则顶角为50°
②当50°为底角时，顶角为180°-2×50°=80°
故答案为： D
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＜90°”时，应先假设∠B≥90°，
故答案为：C．
【分析】反证法应先假设结论相反或不成立.
7．【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当边长为3的边是腰时，底边为：13-3×2=7，
由3+3＜7，可知不满足三角形三边关系；
当边长为3的边是底边时，腰长为（13-3）÷2=5，
由5+3＞5，可知满足三角形三边关系；
综上所述：其腰长是5，
故答案为： 5.
【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系计算求解即可.
8．【答案】70
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DAC是 △ABC 的外角，∠DAC=140°，
∴∠B+∠C=∠DAC=140°，
∴∠B=70°。
故答案为：70 .
【分析】首先根据等腰三角形的性质，得出∠B=∠C，再根据三角形外角的性质，即可得出∠B的度数。
9．【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知 的三边长为a，b，c 若 则 不是直角三角形”时，应先假设 是直角三角形，
故答案为： 是直角三角形.【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：和的平分线相交于点F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得，，再利用等角对等边的性质、线段的和差和等量代换可得，最后将数据代入求出EC的长即可。
11．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，是的平分线，
∴，故选项A正确；
∴，
在和中
∴，故选项B正确；
在和中，
，
∴，故选项C正确；
∵D为线段上一点，不一定是的平分线，
∴与不一定相等，故选项D错误；
故选：D．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质及全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角的和差解答即可．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG．设∠DCB＝x．
∵CA＝CB＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x，∠CDB＝∠CBD＝（180°﹣x）＝90°﹣x，
∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°，
∵CG⊥AD，CA＝CD，
∴DF＝AF，
∴GA＝DG，
∴∠GAD＝∠GDA＝45°，
∴∠AGB＝90°，
设BD＝m，则AG＝DG＝m+1，
∵在中，AB＝＝＝3，
∴在中，，即（3）2＝12+（m+1）2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质以及三角形内角和定理。连接，设，因为，根据等腰三角形性质，，，两式相减得；由、，根据等腰三角形“三线合一”得，即是的垂直平分线，故，，因此；设，则，在中，，由勾股定理得；在中，，代入数值得，解得。
14．【答案】解：在中，，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角可得，然后根据三角形外角性质求出∠BDC的度数，然后根据三角形内角和定理解答即可．
15．【答案】（1）是等边三角形，
，
，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
．
（2）成立，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，∠DFC=∠EBD，
在和中，
，
，
．
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得，进而可得，由三线合一可得、，再根据等边对等角结合三角形的内角和可得，利用三角形内角和定理求得，利用等角对等边，即可出结论；
（2）过点作，根据平行线的性质及等边三角形的判定和性质得∠DFC和∠EBD、、之间的关系，然后利用AAS证，再利用全等三角形的对应边相等可得EB和DF的管理，再结合等边三角形对应边相等即可得到结论．
（1）解：是等边三角形，
，
，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
．
．
16．【答案】（1）36
（2）或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）
设
则
即
解得
则
故答案为：36；
（2）设.
①当AD=AE时，如图：
②当AD=DE时，如图：
所以的度数为或
故答案为：或
【分析】(1)利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；
(2)设∠C=x，分为①AD=AE或AD=DE两种情况时，利用三角形内角和定理列方程解答即可.
17．【答案】（1）解：∵AB=AC， ∠A =60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE⊥AC交AC于点E，
∴∠CED=90°，
∵∠CDE=∠B=60°，
∴∠ACD= 90°-60°= 30°；
（2）解：∵AB=AC， ∠A=α，
∵DE⊥AC交AC于点E，
∴∠CED=90°，
（3）解：BD=2AE.理由如下：
在EC上截EF = AE， 连结DF， 如图2， 则∠DFA=∠A =α，
由 (2) 知
又·.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)首先推导出 是等边三角形，结合. C，得到 进而得到结论；
(2)利用角的关系求得 结合 ，根据直角三角形的两锐角互余解答即可
(3)在EC上截 连结DF，如 图2，推导出 进而得到结论.
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.2等腰三角形 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·郑州期中）用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（　　）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则，
∴首先应该假设．
故选：B．
【分析】根据反证法的步骤先假设结论不成立，反面成立进行作答即可．
2．（2023七下·南宁期末）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（　　）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为15时，等腰三角形的三边分别是15，15，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+15+7=37；
当等腰三角形的腰为7时，等腰三角形的三边分别是15，7，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+7+7=29，
∵7+7＜15，
∴此时三角形不存在.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，再根据三角形三边关系知，7，7，15不能组成三角形，应舍去，从而得出等腰三角形的周长为37.
3．（2024八下·霞浦月考）等腰三角形的顶角为，则底角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等，顶角是，
∴其底角为，
故选：．
【分析】根据等腰三角形的性质可得两个底角相等，再根据三角形内角和定理求解即可．
4．（2024七下·忠县期末）在中，已知，，，某同学用直尺和圆规先确定了三角形顶点A、C，在用长确定顶点B时，作出了如图所示的两个B点，那么这两个B点之间的长度为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点C作于点D，如图所示：
则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题主要考查30°直角三角形的性质和勾股定理，等腰三角形的性质，过C作于D，由∠A=30°得；利用勾股定理得；再由等腰三角形三线合一，得BB‘=2，即可得到答案．
5．（2025八下·坪山期末）小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当50°为顶角，则顶角为50°
②当50°为底角时，顶角为180°-2×50°=80°
故答案为： D
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.
6．（2025八下·义乌期末） 用反证法证明“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＜90°”时，应先假设（　　）
A．∠B＞90° B．∠B≤90° C．∠B≥90° D．∠B≠90°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若AB＝AC，则∠B＜90°”时，应先假设∠B≥90°，
故答案为：C．
【分析】反证法应先假设结论相反或不成立.
7．（2025七下·普宁期末） 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是　 　.
【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当边长为3的边是腰时，底边为：13-3×2=7，
由3+3＜7，可知不满足三角形三边关系；
当边长为3的边是底边时，腰长为（13-3）÷2=5，
由5+3＞5，可知满足三角形三边关系；
综上所述：其腰长是5，
故答案为： 5.
【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系计算求解即可.
8．（2025七下·罗湖期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D在BA延长线上，则　 　°.
【答案】70
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DAC是 △ABC 的外角，∠DAC=140°，
∴∠B+∠C=∠DAC=140°，
∴∠B=70°。
故答案为：70 .
【分析】首先根据等腰三角形的性质，得出∠B=∠C，再根据三角形外角的性质，即可得出∠B的度数。
9．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设　 　．
【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知 的三边长为a，b，c 若 则 不是直角三角形”时，应先假设 是直角三角形，
故答案为： 是直角三角形.【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
二、能力提升
10．（2023八下·霞山期中）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．2
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：和的平分线相交于点F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得，，再利用等角对等边的性质、线段的和差和等量代换可得，最后将数据代入求出EC的长即可。
11．（2025八下·茂名期中）如图，在中，，是的平分线，点是上的一点，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，是的平分线，
∴，故选项A正确；
∴，
在和中
∴，故选项B正确；
在和中，
，
∴，故选项C正确；
∵D为线段上一点，不一定是的平分线，
∴与不一定相等，故选项D错误；
故选：D．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质及全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
12．（2025七下·新都期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角的和差解答即可．
13．（2025八下·龙岗期中）如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E为BC边上一动点（不与点B、点C重合），连接AE并延长，在AE延长线上取点D，使CD＝CA，连接CD，过点C作CF⊥AD交AD于点F，交DB的延长线于点G，若CD＝3，BG＝1，则DB＝　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG．设∠DCB＝x．
∵CA＝CB＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣90°﹣x）＝45°﹣x，∠CDB＝∠CBD＝（180°﹣x）＝90°﹣x，
∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°，
∵CG⊥AD，CA＝CD，
∴DF＝AF，
∴GA＝DG，
∴∠GAD＝∠GDA＝45°，
∴∠AGB＝90°，
设BD＝m，则AG＝DG＝m+1，
∵在中，AB＝＝＝3，
∴在中，，即（3）2＝12+（m+1）2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质以及三角形内角和定理。连接，设，因为，根据等腰三角形性质，，，两式相减得；由、，根据等腰三角形“三线合一”得，即是的垂直平分线，故，，因此；设，则，在中，，由勾股定理得；在中，，代入数值得，解得。
14．（2025八下·成都期中）如图，中，，D在边上，，求的度数．
【答案】解：在中，，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角可得，然后根据三角形外角性质求出∠BDC的度数，然后根据三角形内角和定理解答即可．
15．（2025七下·崇明期末）已知在等边中，点是边上一点，点是延长线上一点，．
（1）如图1，如果点是的中点，说明；
（2）如图2，如果点是上任意一点（不与点、重合），还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）是等边三角形，
，
，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
．
（2）成立，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，∠DFC=∠EBD，
在和中，
，
，
．
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得，进而可得，由三线合一可得、，再根据等边对等角结合三角形的内角和可得，利用三角形内角和定理求得，利用等角对等边，即可出结论；
（2）过点作，根据平行线的性质及等边三角形的判定和性质得∠DFC和∠EBD、、之间的关系，然后利用AAS证，再利用全等三角形的对应边相等可得EB和DF的管理，再结合等边三角形对应边相等即可得到结论．
（1）解：是等边三角形，
，
，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
．
．
三、拓展创新
16．（2025八上·慈溪期中）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D在边上，且，则　 　度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E在 边上，且，，则的度数为　 　．
【答案】（1）36
（2）或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）
设
则
即
解得
则
故答案为：36；
（2）设.
①当AD=AE时，如图：
②当AD=DE时，如图：
所以的度数为或
故答案为：或
【分析】(1)利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；
(2)设∠C=x，分为①AD=AE或AD=DE两种情况时，利用三角形内角和定理列方程解答即可.
17．如图，在锐角三角形 ABC中，AB=AC，点 D 在 AB上，DE⊥AC于点 E，连结CD，∠CDE=∠B.
（1）特例探索：如图①，若∠A = 60°，求∠ACD 的度数；
（2）类比迁移：如图②，若∠A=α，求∠ACD的度数(用含α的代数式表示)；
（3）拓展提升：在图②中，猜想 BD 与AE 的数量关系，并给出证明.
【答案】（1）解：∵AB=AC， ∠A =60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE⊥AC交AC于点E，
∴∠CED=90°，
∵∠CDE=∠B=60°，
∴∠ACD= 90°-60°= 30°；
（2）解：∵AB=AC， ∠A=α，
∵DE⊥AC交AC于点E，
∴∠CED=90°，
（3）解：BD=2AE.理由如下：
在EC上截EF = AE， 连结DF， 如图2， 则∠DFA=∠A =α，
由 (2) 知
又·.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)首先推导出 是等边三角形，结合. C，得到 进而得到结论；
(2)利用角的关系求得 结合 ，根据直角三角形的两锐角互余解答即可
(3)在EC上截 连结DF，如 图2，推导出 进而得到结论.
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