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北师大版数学八年级下册 1.2等腰三角形 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·西双版纳期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．3米 B．6米 C．9米 D．12米
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意米，
∵，，
∴米，
∴（米）．
故选．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．（2026八上·湛江月考）如图，，平分．P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点．则的最小值为（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作于，
∵，平分，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，的最小值是2，
故选：B．
【分析】作于，根据角平分线定义可得，根据含30°角的直角三角形性质可得PQ'，再根据垂线段最短即可求出答案.
3．（2025八上·海淀期末）已知等腰三角形ABC的周长为30，则下列结论中错误的是（　　）
A．当∠A=30°时， △ABC的形状、大小唯一确定
B．当∠A=130°时， △ABC的形状、大小唯一确定
C．当AB=4时， △ABC的形状、大小唯一确定
D．当AB边上的高为12时，△ABC的形状、大小唯一确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：A、当 时，存在两种情况：
情况一： 为顶角，则底角 ；
情况二： 为底角，则另一个底角也为 ，顶角 ；
两种情况都能满足周长为30，因此 的形状、大小不唯一确定，
∴ 选项A结论错误；
B、当 时，
∵ 三角形内角和为 ，若 为底角，则两个底角之和为 ，不符合三角形内角和定理，
∴ 只能是顶角，底角为 ，形状、大小唯一确定，
∴ 选项B结论正确；
C、当 时，若 为腰，则另一腰也为4，底边为 ，但 ，不符合三角形三边关系（两边之和大于第三边），
∴ 只能为底边，腰长为 ，此时三角形的三边为4、13、13，形状、大小唯一确定，
∴ 选项C结论正确；
D、当 边上的高为12时，分两种情况：
情况一：（ 为底边），设 （D为垂足），则 ，
根据勾股定理 ，即 ，
展开得 ，
解得 ，，则 ，，三角形存在；
情况二： 或 （ 为腰），则腰长 ，另一腰也大于12，两腰之和大于24，底边小于 ，但此时腰上的高为12，此时面积为 ，若腰长大于12，底边小于6，会导致面积矛盾，三角形不存在，
∴ 只有情况一成立，三角形形状、大小唯一确定，
∴ 选项D结论正确。
故答案为：A
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形三边关系，解题需结合等腰三角形的特殊性，分情况讨论各选项，判断三角形的形状和大小是否唯一确定。首先明确等腰三角形中边和角的分类情况，对于选项A， 既可能是顶角也可能是底角，两种情况都符合周长要求，因此形状大小不唯一；选项B中 较大，只能作为顶角，否则违背三角形内角和定理，形状大小唯一；选项C中 若作为腰会不符合三边关系，只能作为底边，腰长固定，形状大小唯一；选项D中通过勾股定理计算，只有 作为底边时三角形存在，作为腰时矛盾，因此形状大小唯一，进而确定错误的选项。
4．（2024八下·平山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB=AD的值，由邻补角互补可求得∠DAE的度数，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠ADE的度数，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得求得AE的值，然后根据线段的和差CE=AC-AE计算即可求解．
5．（2023八上·建水月考）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角度的四则混合运算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：∵由作图知AB=BD，，
∴∠BAD=∠BDA=，
∴∠DAC=．
故选：B．
【分析】通过作图知AB=BD，由三角形内角和定理可推出∠BAD=∠BDA=70°，再根据角度的和差关系可求出答案．
6．（2025八上·北川期末）如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵于点，于点，
∴∠PDB=∠PEC=90°，
∴，
∴ BP=2BD，PC=2CE，
∵PC2=CE2+PE2，
∴
解得CE=2，
∴PC=2CE=4，
∴BP=BC-PC=6，
∴BD=3，
∴．
故答案为：D．
【分析】由等边三角形性质得∠B=∠C=60°，BC=AB=10，由直角三角形两锐角互余得出∠DPB=∠EPC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出BP=2BD，PC=2CE，在Rt△PEC中，利用勾股定理建立方程求解得出CE的长，进而得出PC的长，然后根据线段和差算出BP的长，进而得到BD的长，最后再根据勾股定理算出PD即可.
7．（2025八上·防城港期末）在中，，，，则　 　．
【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
【分析】
根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案。
8．（2023八下·顺德月考）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，是边的中线，
∴，，
∴∠ADB=90°，
∵，
∴
∵，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ADB=90°、BD=3，再根据勾股定理即可得出答案．
9．（2025八上·攸县期末）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求　 　．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴
=
=，
故答案为：12．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，即可求出答案．
二、能力提升
10．（2024八上·余杭期末）如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用SAS得到，即可得到，解题即可．
11．（2026八上·宁海期末）如图， 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， 以A为圆心， 适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交 BC于点 D， 若CD=3， 则BD 的长为(　　)
A．9 B． C．6 D．3
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：
∵AD平分
故选： C.
【分析】根据角平分线的定义得到即可得到AD=2CD=6，再根据等角对等边证明DB=AD可得结论.
12．（2026八上·宣化期末）如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，连接PF，
当PQ⊥AB时，PQ的最小，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC，
∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，
∵GF垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴∠FPA＝∠PAC＝15°，
∴∠PFH＝30°，
∴PF＝2PH＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【分析】作PH⊥AC于H，连接PF，首先根据角平分线的概念及性质可得出PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，再根据垂直平分线的性质可得出FA＝FP，进而根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出∠PFH＝30°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF=PF=6.
13．（2026八上·安顺期末）如图，已知的周长是，，，，分别平分和交于点，，且，的面积是　 　．
【答案】15
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点，作于点，如图，
∵，且平分，
∴，
∴在中，，
分别平分和，，，，
，．
，，，，
．
故答案为：15．
【分析】由BO平分∠ABC（60°），得∠OBD=30°，在Rt△OBD中，根据30°角对的直角边是斜边的一半，求出 ，根据角平分线性质，点O到△ABC三边的距离相等，即 ，将△ABC的面积拆分为三个小三角形面积之和，利用三角形周长15和高2，得到 。
14．（2026八上·临夏期末）如图，点是线段上一点，，，．
（1）求证：．
（2）若，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴
（2）解：为等边三角形．
理由：∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，即可得到是等边三角形.
15．（2026八上·龙岗期末）如图，在中，，于D点，平分交于点F．
（1）求证：．
（2）取的中点G，连结．若，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠AEF+∠ACE＝90°，∠BCE+∠CFD＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠AEF＝∠CFD，
∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF；
（2）解：在直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，
由勾股定理得：，
∴，
∵点G是CE的中点，
∴，
∴，
∴，
即△ABG的面积为3．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；余角；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等可得出∠AEF＝∠CFD，进而根据对顶角相等，可等量代换为∠AEF＝∠AFE，进而即可得出结论；
（2）首先根据勾股定理可求得，进而得出，再根据点G是CE的中点，即可得出。
三、拓展创新
16．（2025八上·宝安月考）周末小明和小亮在人民广场放风筝、如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，且DG=10米，CG=24米，CE⊥GB.（不考虑两人身高，点G，C，B.在同一水平线上）
（1）求小明与小亮之间的距离CD.
（2）若风筝A在小明的北偏东45方向上，且高度AB为36米，AB⊥GB，求此时风筝A到小亮的距离AD.（保留整数）
【答案】（1）解：∵，
∴∠G=90°，
又∵ DG=10米，CG=24米，
∴在RTCDG中，
由勾股定理得：CD2=DG2+CG2=576，
∴CD=26米.
（2）解：过点D作DP⊥AB，
∵， AB⊥GB，
∴四边形BPDG 为矩形，
∴DP=BG，BP=DG，
∵DG=10，AB=36，
∴AP=AB-BP=26，
∵A在小明的北偏东45方向上，且 CE⊥GB，
∴∠ACE=∠ACB=45°，又 AB⊥GB，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=CB，又AB=36，
∴CB=36，
∵ CG=24 ，
∴DP=BG=CB+CG=60，
∴在RTADP中，由勾股定理得：AD2=AP2+DP2=4276，
∴AD=265米.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在RTCDG中，已知 DG和CG=两直角边的长，由勾股定理即可求出斜边的长，
即CD=26米；
故答案为CD=26米；
(2)过点D作DP⊥AB，利用三个角为直角的四边形为矩形判定四边形BPDG 为矩形，利用矩形的性质得出DP=BG，BP=DG，利用三角形内角和求出∠BAC=∠ACB=45°，进而求出CB的长，在RTADP中运用勾股定理即可得：AD的长，即AD=265米.
故答案为AD65米.
17．（2025八上·兴仁月考）如图，已知在中，和分别平分和，过O作，分别交于点D，E，连接，
（1）指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；
若，则的周长为 ▲ ；
（2）若，求证：为等腰三角形；
（3）若，是否仍为等腰三角形？请证明你的结论．
【答案】（1）证明：和为等腰三角形。证明如下：
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴和为等腰三角形。
11
（2）证明：∵和分别平分和，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）证明：仍为等腰三角形，理由如下：
过点O作于G点，于H点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）② 解：的周长为，
∵，，且，
∴的周长==6+5=11，
故答案为：（2）②11；
【分析】（1）①根据角的平分线定义并结合平行线判定，得出，然后根据平行线的性质以及等量代换得，，利用等边对等角得出，，最后依据等腰三角形的判定即可得出答案；
② 先列出的周长，然后结合（1）中的，进行替换并合并，得到的周长=，代入计算即可；
（2）先利用角平分线的判定得出平分，接着计算推出；根据平行线的性质推出，等边对的呢公交得到，最后依据等腰三角形的判定即可得出为等腰三角形；
（3）做辅助线后，根据勾股定理证明，，继而证明即，得到为等腰三角形．
（1）解：①图中和为等腰三角形，
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴和为等腰三角形；
② 解：的周长为，
由，，
得：的周长为，
又，
故，
则的周长为11，
故答案为：11；
（2）证明：∵和分别平分和，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）证明：仍为等腰三角形．
过点O作于G点，于H点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
18．（2025八上·金平期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，，点M为y轴上一动点（不与点O重合）．
【问题探究】
（1）如图1，为等边三角形，点B在第一象限，连接，以为边，在上方作等边，点M在运动过程中；
①当时， ；（直接写出答案）
②连接，求的最小值；
【问题拓展】
（2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持，且，连接，过点P作于H，直线与y轴交于点K，连接，点M在运动过程中，的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）①或；
②如图1，连接，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
∵中，，
∴，
即的最小值是；
（2）点M在运动过程中，的度数没有发生变化，是定值，
如图2，过点O作于E，作于F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴当在内部时，
；
当在外部时，
；
故答案为：或；
【分析】（1）①根据等边三角形性质可得，分情况讨论：当在内部时，当在外部时，根据角之间的关系即可求出答案.
②连接，根据等边三角形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，即点N始终在过点B且与垂直的直线上运动，当时，的值最小，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）过点O作于E，作于F，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理可得平分，再根据角平分线定义即可求出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.2等腰三角形 第三课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八上·西双版纳期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．3米 B．6米 C．9米 D．12米
2．（2026八上·湛江月考）如图，，平分．P是射线上的一点，且，若点Q是射线上的一个动点．则的最小值为（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025八上·海淀期末）已知等腰三角形ABC的周长为30，则下列结论中错误的是（　　）
A．当∠A=30°时， △ABC的形状、大小唯一确定
B．当∠A=130°时， △ABC的形状、大小唯一确定
C．当AB=4时， △ABC的形状、大小唯一确定
D．当AB边上的高为12时，△ABC的形状、大小唯一确定
4．（2024八下·平山期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（　　）．
A． B． C． D．
5．（2023八上·建水月考）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·北川期末）如图，在等边中，，为上任意一点（不与端点，重合），过点分别作于点，点．若，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
7．（2025八上·防城港期末）在中，，，，则　 　．
8．（2023八下·顺德月考）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为　 　．
9．（2025八上·攸县期末）在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求　 　．
二、能力提升
10．（2024八上·余杭期末）如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2026八上·宁海期末）如图， 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， 以A为圆心， 适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交 BC于点 D， 若CD=3， 则BD 的长为(　　)
A．9 B． C．6 D．3
12．（2026八上·宣化期末）如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为　 　．
13．（2026八上·安顺期末）如图，已知的周长是，，，，分别平分和交于点，，且，的面积是　 　．
14．（2026八上·临夏期末）如图，点是线段上一点，，，．
（1）求证：．
（2）若，判断的形状并说明理由．
15．（2026八上·龙岗期末）如图，在中，，于D点，平分交于点F．
（1）求证：．
（2）取的中点G，连结．若，，求的面积．
三、拓展创新
16．（2025八上·宝安月考）周末小明和小亮在人民广场放风筝、如图，小明站在C处，同时小亮在斜坡的D处，且DG=10米，CG=24米，CE⊥GB.（不考虑两人身高，点G，C，B.在同一水平线上）
（1）求小明与小亮之间的距离CD.
（2）若风筝A在小明的北偏东45方向上，且高度AB为36米，AB⊥GB，求此时风筝A到小亮的距离AD.（保留整数）
17．（2025八上·兴仁月考）如图，已知在中，和分别平分和，过O作，分别交于点D，E，连接，
（1）指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明；
若，则的周长为 ▲ ；
（2）若，求证：为等腰三角形；
（3）若，是否仍为等腰三角形？请证明你的结论．
18．（2025八上·金平期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，，点M为y轴上一动点（不与点O重合）．
【问题探究】
（1）如图1，为等边三角形，点B在第一象限，连接，以为边，在上方作等边，点M在运动过程中；
①当时， ；（直接写出答案）
②连接，求的最小值；
【问题拓展】
（2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持，且，连接，过点P作于H，直线与y轴交于点K，连接，点M在运动过程中，的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，根据题意米，
∵，，
∴米，
∴（米）．
故选．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作于，
∵，平分，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，的最小值是2，
故选：B．
【分析】作于，根据角平分线定义可得，根据含30°角的直角三角形性质可得PQ'，再根据垂线段最短即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：A、当 时，存在两种情况：
情况一： 为顶角，则底角 ；
情况二： 为底角，则另一个底角也为 ，顶角 ；
两种情况都能满足周长为30，因此 的形状、大小不唯一确定，
∴ 选项A结论错误；
B、当 时，
∵ 三角形内角和为 ，若 为底角，则两个底角之和为 ，不符合三角形内角和定理，
∴ 只能是顶角，底角为 ，形状、大小唯一确定，
∴ 选项B结论正确；
C、当 时，若 为腰，则另一腰也为4，底边为 ，但 ，不符合三角形三边关系（两边之和大于第三边），
∴ 只能为底边，腰长为 ，此时三角形的三边为4、13、13，形状、大小唯一确定，
∴ 选项C结论正确；
D、当 边上的高为12时，分两种情况：
情况一：（ 为底边），设 （D为垂足），则 ，
根据勾股定理 ，即 ，
展开得 ，
解得 ，，则 ，，三角形存在；
情况二： 或 （ 为腰），则腰长 ，另一腰也大于12，两腰之和大于24，底边小于 ，但此时腰上的高为12，此时面积为 ，若腰长大于12，底边小于6，会导致面积矛盾，三角形不存在，
∴ 只有情况一成立，三角形形状、大小唯一确定，
∴ 选项D结论正确。
故答案为：A
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形三边关系，解题需结合等腰三角形的特殊性，分情况讨论各选项，判断三角形的形状和大小是否唯一确定。首先明确等腰三角形中边和角的分类情况，对于选项A， 既可能是顶角也可能是底角，两种情况都符合周长要求，因此形状大小不唯一；选项B中 较大，只能作为顶角，否则违背三角形内角和定理，形状大小唯一；选项C中 若作为腰会不符合三边关系，只能作为底边，腰长固定，形状大小唯一；选项D中通过勾股定理计算，只有 作为底边时三角形存在，作为腰时矛盾，因此形状大小唯一，进而确定错误的选项。
4．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得，，，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB=AD的值，由邻补角互补可求得∠DAE的度数，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠ADE的度数，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得求得AE的值，然后根据线段的和差CE=AC-AE计算即可求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角度的四则混合运算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：∵由作图知AB=BD，，
∴∠BAD=∠BDA=，
∴∠DAC=．
故选：B．
【分析】通过作图知AB=BD，由三角形内角和定理可推出∠BAD=∠BDA=70°，再根据角度的和差关系可求出答案．
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵于点，于点，
∴∠PDB=∠PEC=90°，
∴，
∴ BP=2BD，PC=2CE，
∵PC2=CE2+PE2，
∴
解得CE=2，
∴PC=2CE=4，
∴BP=BC-PC=6，
∴BD=3，
∴．
故答案为：D．
【分析】由等边三角形性质得∠B=∠C=60°，BC=AB=10，由直角三角形两锐角互余得出∠DPB=∠EPC=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出BP=2BD，PC=2CE，在Rt△PEC中，利用勾股定理建立方程求解得出CE的长，进而得出PC的长，然后根据线段和差算出BP的长，进而得到BD的长，最后再根据勾股定理算出PD即可.
7．【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
【分析】
根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案。
8．【答案】4
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，是边的中线，
∴，，
∴∠ADB=90°，
∵，
∴
∵，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ADB=90°、BD=3，再根据勾股定理即可得出答案．
9．【答案】12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴
=
=，
故答案为：12．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，即可求出答案．
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用SAS得到，即可得到，解题即可．
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：
∵AD平分
故选： C.
【分析】根据角平分线的定义得到即可得到AD=2CD=6，再根据等角对等边证明DB=AD可得结论.
12．【答案】6
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，连接PF，
当PQ⊥AB时，PQ的最小，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC，
∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，
∵GF垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴∠FPA＝∠PAC＝15°，
∴∠PFH＝30°，
∴PF＝2PH＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【分析】作PH⊥AC于H，连接PF，首先根据角平分线的概念及性质可得出PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°，再根据垂直平分线的性质可得出FA＝FP，进而根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出∠PFH＝30°，再根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF=PF=6.
13．【答案】15
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，过点作于点，作于点，如图，
∵，且平分，
∴，
∴在中，，
分别平分和，，，，
，．
，，，，
．
故答案为：15．
【分析】由BO平分∠ABC（60°），得∠OBD=30°，在Rt△OBD中，根据30°角对的直角边是斜边的一半，求出 ，根据角平分线性质，点O到△ABC三边的距离相等，即 ，将△ABC的面积拆分为三个小三角形面积之和，利用三角形周长15和高2，得到 。
14．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴
（2）解：为等边三角形．
理由：∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，即可得到是等边三角形.
15．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠AEF+∠ACE＝90°，∠BCE+∠CFD＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠AEF＝∠CFD，
∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF；
（2）解：在直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，
由勾股定理得：，
∴，
∵点G是CE的中点，
∴，
∴，
∴，
即△ABG的面积为3．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；余角；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等可得出∠AEF＝∠CFD，进而根据对顶角相等，可等量代换为∠AEF＝∠AFE，进而即可得出结论；
（2）首先根据勾股定理可求得，进而得出，再根据点G是CE的中点，即可得出。
16．【答案】（1）解：∵，
∴∠G=90°，
又∵ DG=10米，CG=24米，
∴在RTCDG中，
由勾股定理得：CD2=DG2+CG2=576，
∴CD=26米.
（2）解：过点D作DP⊥AB，
∵， AB⊥GB，
∴四边形BPDG 为矩形，
∴DP=BG，BP=DG，
∵DG=10，AB=36，
∴AP=AB-BP=26，
∵A在小明的北偏东45方向上，且 CE⊥GB，
∴∠ACE=∠ACB=45°，又 AB⊥GB，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=CB，又AB=36，
∴CB=36，
∵ CG=24 ，
∴DP=BG=CB+CG=60，
∴在RTADP中，由勾股定理得：AD2=AP2+DP2=4276，
∴AD=265米.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在RTCDG中，已知 DG和CG=两直角边的长，由勾股定理即可求出斜边的长，
即CD=26米；
故答案为CD=26米；
(2)过点D作DP⊥AB，利用三个角为直角的四边形为矩形判定四边形BPDG 为矩形，利用矩形的性质得出DP=BG，BP=DG，利用三角形内角和求出∠BAC=∠ACB=45°，进而求出CB的长，在RTADP中运用勾股定理即可得：AD的长，即AD=265米.
故答案为AD65米.
17．【答案】（1）证明：和为等腰三角形。证明如下：
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴和为等腰三角形。
11
（2）证明：∵和分别平分和，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）证明：仍为等腰三角形，理由如下：
过点O作于G点，于H点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）② 解：的周长为，
∵，，且，
∴的周长==6+5=11，
故答案为：（2）②11；
【分析】（1）①根据角的平分线定义并结合平行线判定，得出，然后根据平行线的性质以及等量代换得，，利用等边对等角得出，，最后依据等腰三角形的判定即可得出答案；
② 先列出的周长，然后结合（1）中的，进行替换并合并，得到的周长=，代入计算即可；
（2）先利用角平分线的判定得出平分，接着计算推出；根据平行线的性质推出，等边对的呢公交得到，最后依据等腰三角形的判定即可得出为等腰三角形；
（3）做辅助线后，根据勾股定理证明，，继而证明即，得到为等腰三角形．
（1）解：①图中和为等腰三角形，
∵和分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴和为等腰三角形；
② 解：的周长为，
由，，
得：的周长为，
又，
故，
则的周长为11，
故答案为：11；
（2）证明：∵和分别平分和，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）证明：仍为等腰三角形．
过点O作于G点，于H点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
18．【答案】（1）①或；
②如图1，连接，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
∵中，，
∴，
即的最小值是；
（2）点M在运动过程中，的度数没有发生变化，是定值，
如图2，过点O作于E，作于F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴平分，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴当在内部时，
；
当在外部时，
；
故答案为：或；
【分析】（1）①根据等边三角形性质可得，分情况讨论：当在内部时，当在外部时，根据角之间的关系即可求出答案.
②连接，根据等边三角形性质可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，即点N始终在过点B且与垂直的直线上运动，当时，的值最小，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（2）过点O作于E，作于F，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理可得平分，再根据角平分线定义即可求出答案.
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