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北师大版数学八年级下册 1.3直角三角形 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·宁波期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a=6， b=8， c=10
C． D．∠A+∠B=∠C
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意；
B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意；
C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意；
D. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理判断即可．
2．（2026八上·双流期末）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB，过点B作BC⊥AB，交直线m于点C，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵m//n，
∴∠2=∠ABC，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°
∴∠2=∠ABC=90°-∠1=90°-55°=35°，
故选：B.
【分析】先根据平行线的性质得到∠2=∠ABC，然后利用直角三角形的两锐角互余得到
∠2=∠ABC=90°-∠1计算即可.
3．（2026八上·祁东期末）下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、用反证法证明“a>b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可.
4．（2026八上·宁波期末）一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵两个锐角互余，即它们的和为，
又∵三角形内角和为，
∴第三个角的度数为，
∴该三角形是直角三角形，
故选：．
【分析】利用三角形内角和定理，结合两个锐角互余的条件，求出第三个角的度数，进而即可判断求解．
5．（2025八上·温州期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A．当时，
，
．
是直角三角形，故A选项符合题意；
B．，
围不成三角形，故B选项不符合题意；
C．，
∴设，，
∴，
围不成三角形，故C选项不符合题意；
D．，
．
又，
，
则，
不是直角三角形．故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据题意和三角形内角和定理得出∠C=90°，即可判断选项A符合题意；根据三角形两边之和大于第三边，即可判断选项B、C不符合题意；根据题意和三角形内角和定理得出，即可判断D选项不符合题意.
6．（2025八上·东丽期中） 如图，，．若，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
∵，
∴，
∵ ，
∴∠AFC=90°，
∴ =90°-∠ACF=90°-65°=25°.
故答案为：A .
【分析】根据全等三角形的对应角相等可得∠ACB=∠DCE，再根据角的和差得到∠BCE=∠ACD，最后根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出答案.
7．（2026八上·临海期末）要说明命题“如果a=2，那么 的逆命题是假命题，可以举反例为　 　.
【答案】a=-2
【知识点】真命题与假命题；逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为若a2=4，则a=2，其反例为a=-2.
故答案：a=-2.
【分析】求出其逆命题，直接指出其反例即可.
8．（2026八上·南湖期末）在 Rt△ABC中， ∠A=72°， 则∠C=　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，
∵，，
∴；
故答案为：．
【分析】在直角三角形中，两个锐角互余，根据，，即可解答．
9．（2025八上·余姚期中）“两直线平行，同位角相等”的逆命题是　 　（填“真”或“假”）命题
【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”逆命题为“同位角相等，两直线平行”，为真命题.
故答案为：真.
【分析】先求出其逆命题，即知其真假.
二、能力提升
10．（2025八上·游仙期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求得，，再根据三角形内角和定理求出∠AGC，最后根据对顶角相等即可解答.
11．（2025八上·浙江月考）在△ABC中， ∠BAC=90°，点P在边BC上(不与点B， 点C重合) ， 下列说法正确说法正确的是(　　)
A．若∠BAP=∠B， 则PB=PC， B．若∠BAP=∠C， 则PB=PC
C．若AP⊥BC， 则PB=PC D．若PB=PC， 则AP⊥BC
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、如图：
若∠BAP=∠B，
则PA=PB，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，∠BAP+∠PAC=90°，
∴∠C=∠PAC，
∴PA=PC，
∴PB=PC，故A正确，
B、如图：
若∠BAP=∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAP+∠B=90°，
∴∠BPA=90°，
∴AP⊥BC，但无法得出PB、PC的数量关系，故B错误，
C、如图：
若AP⊥BC，
则∠BAP+∠B=90°，
∵∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAP=∠C，但无法得出PB、PC的数量关系，故C错误，
D、如图：
若PB=PC，
则点P为BC的中点，
∴AP=PB=PC=BC，
∴∠BAP=∠B，∠CAP=∠C，
但是∠CAP+∠C不一定等于90°，
∴AP⊥BC不一定成立，故D错误，
故答案为：A .
【分析】根据题意画出图形，在根据直角三角形和等腰三角形的判定逐项进行分析判断即可得出答案.
12．（2026八上·义乌期末） 如图， △ABC 中， AB=AC， ∠B=40°， 点D是BC上一动点， 将△ABD沿AD 折叠得到△ADE，当△ADE与△ABC 重叠部分是直角三角形时，∠BAD 的度数为　 　
【答案】25°或50°或75°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①如图，当AE⊥BC时，此时重叠部分△ADF为直角三角形，
∵AB=AC，AF⊥BC
∴∠BAF=∠BAC=
∵由折叠∠BAD=∠EAD
∴∠BAD=∠BAF=25°
②当点F与点C重合时，此时AD⊥BC，如图所示
∠BAD=∠ABC=50°
如图，当AC⊥DE时，
∵∠EAC=90°-∠E=90°-40°=50°
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=100°+50°=150°
∴∠BAD=∠BAE=75°
故答案为： 25°或50°或75°.
【分析】结合几何图形，分别讨论AD、DE垂直于BC，DE垂直于AC3种情况求解∠BAD的度数即可.
13．（2025八上·温州期中）将一把直尺和一块含有角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若，则的度数为　 　°．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∵，，
∴，
∵，
∴∠2=82°，
故填：.
【分析】根据题意得出，根据平行线的性质可得，利用∠4=180°-∠5-∠3=82°，即可得出∠2的度数．
14．（2025八上·舟山期中）如图， 等腰△ABC中， CA=CB， ∠ACB=45°， CD是△ABC的角平分线， 于点E，且与CD交于点 H.
（1）求∠ABE 的度数；
（2）求证： △ABE≌△HCE.
【答案】（1）解：∵CD是△ABC的角平分线， ∠ACB=45°
∴∠ACD=22.5°
∵CA=CB
∴CD⊥AB
∴∠BDC=90°
∴∠A=67.5°
∵BE⊥AC
∴∠AEB=90°
∴∠ABE=22.5°.
（2）证明：∵∠BEC=90°， ∠ACB=45°
∴∠EBC=∠ECB=45°
∴EB=EC
由(1)得.
∠HEC=∠AEB=90
∴△ABE≌△HCE.（AAS）
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质（等边对等角），可求得，再根据直角三角形两锐角互余的性质，可得，因此，；
（2）由（1）知，所以，由此可利用AAS（角角边）判定定理证明结论.
15．（2025八上·东丽期中） 如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于，于，求的度数．
【答案】（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：，平分，
∴，
∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出答案；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAE的度数，再根据∠ADB=90°，可得∠BAD的度数，进而得出答案.
16．（2025八上·绍兴期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE。
（1）已知∠B＝40°，求∠BAD的度数。
（2）若EG＝CG求证：DG⊥CE。
【答案】（1）解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°
（2）证明：连结DE，
∵AD⊥BC ，
CE是AB边上的中线，
∴DE＝AE＝BE，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
又∵EG＝CG，
∴DG⊥CE.（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连结DE，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝BE，进而得出DE＝CD，再根据三线合一即可求证.
三、拓展创新
17．（2025八上·诸暨月考）如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连结交于点，设.
（1）用含的代数式表示；
（2）若 ，求的度数.
【答案】（1）解：∵为边上的高线，
∴∠BCD+∠ABC=90°，
∵ ，
∴∠ABC=90°-∠BCD=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴∠A=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-2(90°-α)=2α.
（2）解：由（1）可知∠A=2α，
∵为边上的高线，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-2α，
∵CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF=（180°-∠ACD）=90°-∠ACD=45°+α，
∵∠CFE=∠BCD+∠EBC，
∴∠EBC=∠CFE-∠BCD=45°+α-α=45°，
答：的度数为45°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由为边上的高线可知∠BCD+∠ABC=90°进而得出∠ABC=90°-α，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案；
（2）由（1）可知∠A=2α，由为边上的高线可知∠ACD+∠A=90°进而得出∠ACD=90°-2α，再根据等腰三角形的性质可推出∠CFE=∠CEF=45°+α，最后根据三角形的外角性质即可打出答案.
18．（2024八上·上城期中）如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
【答案】解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE与PDE的面积之比为1：2，PCE的面积和DCE的面积相等，
∴PQE和PDE的面积相等，
∴点E是DQ的中点，即：DE=QE，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，则PC＝AC－AP＝6-m，再利用轴对称的性质可得PQ＝2PC；
（2）由AP=PD，则∠A=∠ADP，再由等角的补角相等可得∠PDQ=∠AQD，则AP=PQ=PD，可得关于m的一元一次方程并求解即可；
（3）由轴对称的性质可知，又已知，且与共底同高，则点E平分DQ； 再由轴对称的性质知PE＝QE，则，又PA＝PD，则，则由直角三角形两锐角互余可证，因为，则，再利用直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半列方程并求解即可．
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.3直角三角形 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·宁波期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a=6， b=8， c=10
C． D．∠A+∠B=∠C
2．（2026八上·双流期末）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B在直线n上，连接AB，过点B作BC⊥AB，交直线m于点C，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
3．（2026八上·祁东期末）下列说法错误的是（　　）
A．用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
4．（2026八上·宁波期末）一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
5．（2025八上·温州期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·东丽期中） 如图，，．若，的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·临海期末）要说明命题“如果a=2，那么 的逆命题是假命题，可以举反例为　 　.
8．（2026八上·南湖期末）在 Rt△ABC中， ∠A=72°， 则∠C=　 　．
9．（2025八上·余姚期中）“两直线平行，同位角相等”的逆命题是　 　（填“真”或“假”）命题
二、能力提升
10．（2025八上·游仙期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八上·浙江月考）在△ABC中， ∠BAC=90°，点P在边BC上(不与点B， 点C重合) ， 下列说法正确说法正确的是(　　)
A．若∠BAP=∠B， 则PB=PC， B．若∠BAP=∠C， 则PB=PC
C．若AP⊥BC， 则PB=PC D．若PB=PC， 则AP⊥BC
12．（2026八上·义乌期末） 如图， △ABC 中， AB=AC， ∠B=40°， 点D是BC上一动点， 将△ABD沿AD 折叠得到△ADE，当△ADE与△ABC 重叠部分是直角三角形时，∠BAD 的度数为　 　
13．（2025八上·温州期中）将一把直尺和一块含有角的直角三角板按如图所示方式放置，直角三角板的一个顶点在直尺一边上，若，则的度数为　 　°．
14．（2025八上·舟山期中）如图， 等腰△ABC中， CA=CB， ∠ACB=45°， CD是△ABC的角平分线， 于点E，且与CD交于点 H.
（1）求∠ABE 的度数；
（2）求证： △ABE≌△HCE.
15．（2025八上·东丽期中） 如图，在中，，．
（1）求的度数；
（2）若平分交于，于，求的度数．
16．（2025八上·绍兴期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE。
（1）已知∠B＝40°，求∠BAD的度数。
（2）若EG＝CG求证：DG⊥CE。
三、拓展创新
17．（2025八上·诸暨月考）如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连结交于点，设.
（1）用含的代数式表示；
（2）若 ，求的度数.
18．（2024八上·上城期中）如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意；
B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意；
C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意；
D. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理判断即可．
2．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵m//n，
∴∠2=∠ABC，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°
∴∠2=∠ABC=90°-∠1=90°-55°=35°，
故选：B.
【分析】先根据平行线的性质得到∠2=∠ABC，然后利用直角三角形的两锐角互余得到
∠2=∠ABC=90°-∠1计算即可.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、用反证法证明“a>b”时，应假设a≤b，说法正确，不符合题意；
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故本选项说法正确，不符合题意；
C、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，符合题意；
D、边长为3，6的等腰三角形的周长为15，说法正确，不符合题意；
故选：C.
【分析】根据反证法、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵两个锐角互余，即它们的和为，
又∵三角形内角和为，
∴第三个角的度数为，
∴该三角形是直角三角形，
故选：．
【分析】利用三角形内角和定理，结合两个锐角互余的条件，求出第三个角的度数，进而即可判断求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A．当时，
，
．
是直角三角形，故A选项符合题意；
B．，
围不成三角形，故B选项不符合题意；
C．，
∴设，，
∴，
围不成三角形，故C选项不符合题意；
D．，
．
又，
，
则，
不是直角三角形．故D选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据题意和三角形内角和定理得出∠C=90°，即可判断选项A符合题意；根据三角形两边之和大于第三边，即可判断选项B、C不符合题意；根据题意和三角形内角和定理得出，即可判断D选项不符合题意.
6．【答案】A
【知识点】全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
∵，
∴，
∵ ，
∴∠AFC=90°，
∴ =90°-∠ACF=90°-65°=25°.
故答案为：A .
【分析】根据全等三角形的对应角相等可得∠ACB=∠DCE，再根据角的和差得到∠BCE=∠ACD，最后根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出答案.
7．【答案】a=-2
【知识点】真命题与假命题；逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为若a2=4，则a=2，其反例为a=-2.
故答案：a=-2.
【分析】求出其逆命题，直接指出其反例即可.
8．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在中，
∵，，
∴；
故答案为：．
【分析】在直角三角形中，两个锐角互余，根据，，即可解答．
9．【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，同位角相等”逆命题为“同位角相等，两直线平行”，为真命题.
故答案为：真.
【分析】先求出其逆命题，即知其真假.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意得，，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求得，，再根据三角形内角和定理求出∠AGC，最后根据对顶角相等即可解答.
11．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形的两锐角互余；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、如图：
若∠BAP=∠B，
则PA=PB，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，∠BAP+∠PAC=90°，
∴∠C=∠PAC，
∴PA=PC，
∴PB=PC，故A正确，
B、如图：
若∠BAP=∠C，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAP+∠B=90°，
∴∠BPA=90°，
∴AP⊥BC，但无法得出PB、PC的数量关系，故B错误，
C、如图：
若AP⊥BC，
则∠BAP+∠B=90°，
∵∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAP=∠C，但无法得出PB、PC的数量关系，故C错误，
D、如图：
若PB=PC，
则点P为BC的中点，
∴AP=PB=PC=BC，
∴∠BAP=∠B，∠CAP=∠C，
但是∠CAP+∠C不一定等于90°，
∴AP⊥BC不一定成立，故D错误，
故答案为：A .
【分析】根据题意画出图形，在根据直角三角形和等腰三角形的判定逐项进行分析判断即可得出答案.
12．【答案】25°或50°或75°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①如图，当AE⊥BC时，此时重叠部分△ADF为直角三角形，
∵AB=AC，AF⊥BC
∴∠BAF=∠BAC=
∵由折叠∠BAD=∠EAD
∴∠BAD=∠BAF=25°
②当点F与点C重合时，此时AD⊥BC，如图所示
∠BAD=∠ABC=50°
如图，当AC⊥DE时，
∵∠EAC=90°-∠E=90°-40°=50°
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=100°+50°=150°
∴∠BAD=∠BAE=75°
故答案为： 25°或50°或75°.
【分析】结合几何图形，分别讨论AD、DE垂直于BC，DE垂直于AC3种情况求解∠BAD的度数即可.
13．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，
∵，，
∴，
∵，
∴∠2=82°，
故填：.
【分析】根据题意得出，根据平行线的性质可得，利用∠4=180°-∠5-∠3=82°，即可得出∠2的度数．
14．【答案】（1）解：∵CD是△ABC的角平分线， ∠ACB=45°
∴∠ACD=22.5°
∵CA=CB
∴CD⊥AB
∴∠BDC=90°
∴∠A=67.5°
∵BE⊥AC
∴∠AEB=90°
∴∠ABE=22.5°.
（2）证明：∵∠BEC=90°， ∠ACB=45°
∴∠EBC=∠ECB=45°
∴EB=EC
由(1)得.
∠HEC=∠AEB=90
∴△ABE≌△HCE.（AAS）
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质（等边对等角），可求得，再根据直角三角形两锐角互余的性质，可得，因此，；
（2）由（1）知，所以，由此可利用AAS（角角边）判定定理证明结论.
15．【答案】（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：，平分，
∴，
∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出答案；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAE的度数，再根据∠ADB=90°，可得∠BAD的度数，进而得出答案.
16．【答案】（1）解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°
（2）证明：连结DE，
∵AD⊥BC ，
CE是AB边上的中线，
∴DE＝AE＝BE，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
又∵EG＝CG，
∴DG⊥CE.（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连结DE，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝BE，进而得出DE＝CD，再根据三线合一即可求证.
17．【答案】（1）解：∵为边上的高线，
∴∠BCD+∠ABC=90°，
∵ ，
∴∠ABC=90°-∠BCD=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°，
∴∠A=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-2(90°-α)=2α.
（2）解：由（1）可知∠A=2α，
∵为边上的高线，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-2α，
∵CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF=（180°-∠ACD）=90°-∠ACD=45°+α，
∵∠CFE=∠BCD+∠EBC，
∴∠EBC=∠CFE-∠BCD=45°+α-α=45°，
答：的度数为45°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由为边上的高线可知∠BCD+∠ABC=90°进而得出∠ABC=90°-α，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案；
（2）由（1）可知∠A=2α，由为边上的高线可知∠ACD+∠A=90°进而得出∠ACD=90°-2α，再根据等腰三角形的性质可推出∠CFE=∠CEF=45°+α，最后根据三角形的外角性质即可打出答案.
18．【答案】解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE与PDE的面积之比为1：2，PCE的面积和DCE的面积相等，
∴PQE和PDE的面积相等，
∴点E是DQ的中点，即：DE=QE，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，则PC＝AC－AP＝6-m，再利用轴对称的性质可得PQ＝2PC；
（2）由AP=PD，则∠A=∠ADP，再由等角的补角相等可得∠PDQ=∠AQD，则AP=PQ=PD，可得关于m的一元一次方程并求解即可；
（3）由轴对称的性质可知，又已知，且与共底同高，则点E平分DQ； 再由轴对称的性质知PE＝QE，则，又PA＝PD，则，则由直角三角形两锐角互余可证，因为，则，再利用直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半列方程并求解即可．
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