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北师大版数学八年级下册 1.3直角三角形 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·宣化期末）如图，能直接用“”判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：依题意，在和中，，
∴
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的判定HL，逐项进行识别，即可得出答案。
2．（2026八上·安顺期末）如图，，，，则判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为△ABC和△DEF都是直角三角形，
已知斜边 ，且一条直角边 。
根据直角三角形全等的HL判定定理（斜边和一条直角边对应相等），
可得 。故答案为：C。
【分析】首先确定两个三角形都是直角三角形，∠C 和∠F 都是 90°。已知斜边 AB=DE，一条直角边 BC=EF，符合直角三角形全等判定的 HL 定理（斜边和一条直角边对应相等）。因此，判定 Rt△ABC Rt△DEF 的依据是 HL。
3．（2026八上·临夏期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B'C'＝BC，第二步为作线段C'A'＝CA，判定方法为HL，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据作图痕迹可得B'C'＝BC，C'A'＝CA，再结合“∠B=∠B'=90°”利用“HL”证出全等即可.
4．（2025八上·绍兴月考）△ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 (　　)
A．∠C=∠A-∠B
B．
C．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 三角形内角和为，
选项A：，
代入，
得，
∴，，能判断直角三角形；
选项B：，即，
∴ 符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形；
选项C：设，，，
则，解得，
∴，，，无直角，不能判断直角三角形；
选项D：，，，
∵，，
∴，符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形．
故选：C．
【分析】选项A通过角关系推出直角，选项B通过边关系推出直角，选项D通过勾股定理逆定理推出直角，选项C通过比例计算角无直角，由此判断选项即可．
5．（2025八上·嘉兴期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
由图可知，∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠BAC=60°，AB=AC，再根据等腰三角形三线合一可知∠CAD=∠BAC=30°，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
6．（2025八上·石家庄期末）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A. ∵1 + =2，
∴此三角形是直角三角形，正确；
B. ∵1+3≠4，
∴此三角形不是直角三角形，不符合题意；
C. ∵2+3≠6，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意；
D. ∵4+5≠6，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意.
故选：A.
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．根据选项所给三条边的长度，然后分别计算两条较短边的平方和以及最长边的平方，最后比较这两个值是否相等。若相等，则能组成直角三角形；若不相等，则不能组成直角三角形。
7．（2025八上·温州期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c.那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．∠A=35°， ∠B=65°
C．
D．a=6， b=10， c=15
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=80°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵，b=2，，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵a=6，b=10，c=15，
∴a+b≠c，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C.
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据∠A：∠B：∠C=3：4：5求出最大角∠C，再根据直角三角形的判定即可判断选项A；根据三角形的内角和定理求出C，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C、选项D.
8．（2025八上·南充期末）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线分别交、于点D、E，连接．若，则的度数为　 　°．
【答案】26
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意可知，垂直平分线的，
∵，，
∴，
∵垂直平分线的，
∴，
∴，
∴，
故答案为：26
【分析】
根据题意描述尺规作图得出ＭＮ垂直平分AB，再由线段垂直平分线得性质和等边对等角求出∠DAB，最后由直角三角形的两个锐角互余，求出答案.
9．（2025八上·宁明月考）将一副直角三角尺按如图所示的方式放置．，，，边与的交点为，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息和条件，先根据角的和差计算可以求出，然后根据三角形外角的性质列式计算即可得出答案。
10．（2025八上·兴宁期末）如图，在中，，是高，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；三角形的高
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
二、能力提升
11．（2026八上·白马期末） 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
B、由，设，，，根据，可得，解得，最大角，不是直角三角形，故符合题意；
C、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
D、由，设，，，∴，，故，是直角三角形，故不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据得到，得到具备条件A的是直角三角形；根据三角形内角和等于，，得到，得到具备条件B的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据，设，，，根据勾股定理的逆定理，得到具备条件D的是直角三角形．
12．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，点D，E分别在AB，AC上，CD=BE=9，记BD长为x，CE长为y，x＞y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C．x-y D．x2+y2
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∴△BCG≌△CBF(AAS)
∴CG=BF，BG=CF
又∵CD=BE
∴△CDG≌△BFE(HL)
∴EF=DG
设DG=m，则EF=m，BG=x-m，CF=y+m，得x-m=y+m，即有m=
BC=10，DE=BE=9，得，即
整理得xy=19.
故答案：A.
【分析】作BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，可证△BCG≌△CBF(AAS)、△CDG≌△BFE(HL)，利用线段关系和勾股定理得，即整理即得xy=19，即得结果.
13．（2026八上·白马期末） 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
∴①正确；
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴②正确；
∵，
∴若平分，则，与矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接、，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵中，，中，，
∴，
∴，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故答案为：D .
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④．
14．（2025八上·瑞安期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，点E在边AC上，DE=DB.若， BC=4， 则△ABC的周长是　 　.
【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴CD=FD，∠C=∠AFD∠DFB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴AC=AF，
在Rt△ECD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），
∴CE=BF，
∵，
即，
∴，
设CE=a，则AE=3a，AC=AE+CE=4a，
∴AF=4a，BF=a，
∴AB=AF+BF=5a，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC==3a，
∵BC=4，
∴3a=4，
∴C△ABC=AC+AB+BC=9a+4=16，
故答案为： 16.
【分析】根据角平分线的性质可得CD=DF，易证Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）和Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），再根据求得，设，BF=a，CE=a，则AE=3a，AC=AF=4a，AB=5a，然后由勾股定理求得BC=3a=4，即可求得△ABC的周长.
15．（2025八上·涪城期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则　 　．
【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，，
是的平分线，，，
，，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：5．
【分析】连接，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DF=DE，由垂直的定义的∠F=∠DEB=90°，从而利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△ADF，由全等三角形的对应边相等得AE=AF；由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CD=BD，从而再用“HL”判断出Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的对应边相等得BE=CF，然后根据线段和差及等量代换推出AB=AC+2BE，从而代值计算可求出BE的长.
16．（2026八上·观山湖期末）如图， 在一副三角板中， ∠B=∠D=90°， ∠A=45°， ∠E=30°. 解答下列问题：
（1） 当三角板按如图①的方式摆放时， 若∠ACE=105°， 求证： AB∥DC；
（2）当三角板按如图②的方式摆放时，若AB∥EC，求∠ACD的度数.
【答案】（1）证明：∵∠D=90°， ∠E=30°
∴∠DCE=60°
又∵∠ACE=105°
∴∠ACD=105°-60°=45°
又∵∠A=45°
∴∠A= ∠ACD
∴AB∥DC
（2）解：∵AB∥EC
∴∠A= ∠ACE=45°
又∵∠D=90°， ∠E=30°
∴∠DCE=60°
∴∠ACD= ∠DCE-∠ACE=60°-45°=15°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠DCE，根据角之间的关系可得∠ACD，则∠A= ∠ACD，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠A= ∠ACE=45°，根据直角三角形两锐角互余可得∠DCE，再根据角之间的关系即可求出答案.
17．（2025八上·义乌期中）如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF.
（1）求证： DE=DF.
（2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB， DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=∠AFD=90°.
在. 和 中，
（2）解：由（1）得Rt△BED≌Rt△CFD，
∴DE=DF， CF=BE=4.
在 和 中，
.
∴AB=AE-BE=16-4=12.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由垂直知∠E=∠CFD=90°，由此可证，即得DE=DF；
(2)由(1)中全等知DE=DF，CF=BE，得，由此可得AE=16，AB=12.
三、拓展创新
18．（2025八上·房山期末）下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明．
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：．
方法一证明：如图，延长到点，使，连接．
方法二证明：如图，在上截取，连接．
【答案】方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】延长到点，使，连接，则，根据全等三角形判定定理可得，则，，，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．（2026八上·双流期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别在边AC，BC上，且DE∥AB，∠BAC的平分线交DE延长线于点F，点H在边AB上，连接EH交AF于点M，且∠BEF=2∠BEH.
（1）求∠AME，∠HAM，∠FEM之间的等量关系式；
（2）若，求∠AME的度数；
（3）在（2）的条件下，将△EFM的顶点E固定，位置重新摆放，且保证边EF在直线DE上方，重新摆放过程中，当△EFM的其中一边与△CDE的某一边平行时，求∠FED的度数.
【答案】（1）解：∵DE//AB
∴∠FEM=∠AHM
由三角形外角性质可得∠AME=∠HAM+∠AHM=∠HAM+∠FEM
（2）解：设∠BEH=α，则∠BAF=2α，∠BEF=∠BEH=2α，
∵DE//AB
∴∠B=∠BEF=2α，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAF=4α
∵∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°，即4α+2α=90°
解得α=15°，
∴∠BAF=2α=30°，∠AHM=∠B+∠BEH=3α=45°
∴∠AME=∠BAF+∠AHM=75°
（3）解：由(2)可知∠FEM=45°，
∴∠F=∠AME-∠FEM=30°，
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠BAC=60°， ∠CED=30°
①当EF//CD时，
此时∠FED=180°-∠CDE=120°；
②EM//CD时，
此时∠MED=180°-∠CDE=120°
∵∠FEM=45°，
∴∠FED=∠MED-∠FEM=75°
③当FM//CD时，延长CE、FM交于点K，
则∠FKE=∠C=90°，
∵∠FME=180°-∠FEM-∠F=105°，
∴∠MEK=∠FME-∠FKE=15°
∴∠FEC=180°-∠FEM-∠MEK=120°
∴∠FED=∠FEC+∠CED=150°
④当FM//DE时，
此时∠F=∠CED=30°，
∴点F在EC延长线上，
∴∠FED=30°
⑤当FM//CE时，
此时∠CEF=∠F=30°，
∴∠FED=∠CEF+∠CED=60°；
综上，∠FED的度数为120°或75°或150°或30°或60°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)由平行线性质易得∠FEM=∠AHM，再根据三角形外角性质求解即可；
(2)设∠BEH=α，则∠BAF=2α，∠BEF=∠BEH=2α，由角平分线可得∠BAC=2∠BAF=4α，再根据直角三角形两锐角互余建立方程求解即可；
(3)△CDE和△EFM共顶点E，则EM、EF只可能和CD平行，FM可以与三边都平行，则分5种情况讨论，分别画出示意图求解即可.
1 / 1北师大版数学八年级下册 1.3直角三角形 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2026八上·宣化期末）如图，能直接用“”判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026八上·安顺期末）如图，，，，则判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·临夏期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·绍兴月考）△ABC的三条边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 (　　)
A．∠C=∠A-∠B
B．
C．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
D．
5．（2025八上·嘉兴期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·石家庄期末）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·温州期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c.那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．∠A=35°， ∠B=65°
C．
D．a=6， b=10， c=15
8．（2025八上·南充期末）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点M、N，作直线分别交、于点D、E，连接．若，则的度数为　 　°．
9．（2025八上·宁明月考）将一副直角三角尺按如图所示的方式放置．，，，边与的交点为，则的度数为　 　．
10．（2025八上·兴宁期末）如图，在中，，是高，若，则的度数是　 　．
二、能力提升
11．（2026八上·白马期末） 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，点D，E分别在AB，AC上，CD=BE=9，记BD长为x，CE长为y，x＞y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x+y C．x-y D．x2+y2
13．（2026八上·白马期末） 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
14．（2025八上·瑞安期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，点E在边AC上，DE=DB.若， BC=4， 则△ABC的周长是　 　.
15．（2025八上·涪城期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则　 　．
16．（2026八上·观山湖期末）如图， 在一副三角板中， ∠B=∠D=90°， ∠A=45°， ∠E=30°. 解答下列问题：
（1） 当三角板按如图①的方式摆放时， 若∠ACE=105°， 求证： AB∥DC；
（2）当三角板按如图②的方式摆放时，若AB∥EC，求∠ACD的度数.
17．（2025八上·义乌期中）如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF.
（1）求证： DE=DF.
（2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长.
三、拓展创新
18．（2025八上·房山期末）下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明．
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：．
方法一证明：如图，延长到点，使，连接．
方法二证明：如图，在上截取，连接．
19．（2026八上·双流期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别在边AC，BC上，且DE∥AB，∠BAC的平分线交DE延长线于点F，点H在边AB上，连接EH交AF于点M，且∠BEF=2∠BEH.
（1）求∠AME，∠HAM，∠FEM之间的等量关系式；
（2）若，求∠AME的度数；
（3）在（2）的条件下，将△EFM的顶点E固定，位置重新摆放，且保证边EF在直线DE上方，重新摆放过程中，当△EFM的其中一边与△CDE的某一边平行时，求∠FED的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：依题意，在和中，，
∴
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的判定HL，逐项进行识别，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为△ABC和△DEF都是直角三角形，
已知斜边 ，且一条直角边 。
根据直角三角形全等的HL判定定理（斜边和一条直角边对应相等），
可得 。故答案为：C。
【分析】首先确定两个三角形都是直角三角形，∠C 和∠F 都是 90°。已知斜边 AB=DE，一条直角边 BC=EF，符合直角三角形全等判定的 HL 定理（斜边和一条直角边对应相等）。因此，判定 Rt△ABC Rt△DEF 的依据是 HL。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B'C'＝BC，第二步为作线段C'A'＝CA，判定方法为HL，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据作图痕迹可得B'C'＝BC，C'A'＝CA，再结合“∠B=∠B'=90°”利用“HL”证出全等即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ 三角形内角和为，
选项A：，
代入，
得，
∴，，能判断直角三角形；
选项B：，即，
∴ 符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形；
选项C：设，，，
则，解得，
∴，，，无直角，不能判断直角三角形；
选项D：，，，
∵，，
∴，符合勾股定理逆定理，能判断直角三角形．
故选：C．
【分析】选项A通过角关系推出直角，选项B通过边关系推出直角，选项D通过勾股定理逆定理推出直角，选项C通过比例计算角无直角，由此判断选项即可．
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
由图可知，∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠BAC=60°，AB=AC，再根据等腰三角形三线合一可知∠CAD=∠BAC=30°，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】A. ∵1 + =2，
∴此三角形是直角三角形，正确；
B. ∵1+3≠4，
∴此三角形不是直角三角形，不符合题意；
C. ∵2+3≠6，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意；
D. ∵4+5≠6，
∴此三角形不是直角三角形，不合题意.
故选：A.
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．根据选项所给三条边的长度，然后分别计算两条较短边的平方和以及最长边的平方，最后比较这两个值是否相等。若相等，则能组成直角三角形；若不相等，则不能组成直角三角形。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴最大角，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=80°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵，b=2，，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵a=6，b=10，c=15，
∴a+b≠c，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C.
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据∠A：∠B：∠C=3：4：5求出最大角∠C，再根据直角三角形的判定即可判断选项A；根据三角形的内角和定理求出C，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C、选项D.
8．【答案】26
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：根据题意可知，垂直平分线的，
∵，，
∴，
∵垂直平分线的，
∴，
∴，
∴，
故答案为：26
【分析】
根据题意描述尺规作图得出ＭＮ垂直平分AB，再由线段垂直平分线得性质和等边对等角求出∠DAB，最后由直角三角形的两个锐角互余，求出答案.
9．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息和条件，先根据角的和差计算可以求出，然后根据三角形外角的性质列式计算即可得出答案。
10．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；三角形的高
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
B、由，设，，，根据，可得，解得，最大角，不是直角三角形，故符合题意；
C、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
D、由，设，，，∴，，故，是直角三角形，故不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据得到，得到具备条件A的是直角三角形；根据三角形内角和等于，，得到，得到具备条件B的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据，设，，，根据勾股定理的逆定理，得到具备条件D的是直角三角形．
12．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∴△BCG≌△CBF(AAS)
∴CG=BF，BG=CF
又∵CD=BE
∴△CDG≌△BFE(HL)
∴EF=DG
设DG=m，则EF=m，BG=x-m，CF=y+m，得x-m=y+m，即有m=
BC=10，DE=BE=9，得，即
整理得xy=19.
故答案：A.
【分析】作BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，可证△BCG≌△CBF(AAS)、△CDG≌△BFE(HL)，利用线段关系和勾股定理得，即整理即得xy=19，即得结果.
13．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
∴①正确；
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴②正确；
∵，
∴若平分，则，与矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接、，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵中，，中，，
∴，
∴，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故答案为：D .
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④．
14．【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴CD=FD，∠C=∠AFD∠DFB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴AC=AF，
在Rt△ECD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），
∴CE=BF，
∵，
即，
∴，
设CE=a，则AE=3a，AC=AE+CE=4a，
∴AF=4a，BF=a，
∴AB=AF+BF=5a，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC==3a，
∵BC=4，
∴3a=4，
∴C△ABC=AC+AB+BC=9a+4=16，
故答案为： 16.
【分析】根据角平分线的性质可得CD=DF，易证Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）和Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），再根据求得，设，BF=a，CE=a，则AE=3a，AC=AF=4a，AB=5a，然后由勾股定理求得BC=3a=4，即可求得△ABC的周长.
15．【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，，
是的平分线，，，
，，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：5．
【分析】连接，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DF=DE，由垂直的定义的∠F=∠DEB=90°，从而利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△ADF，由全等三角形的对应边相等得AE=AF；由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CD=BD，从而再用“HL”判断出Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的对应边相等得BE=CF，然后根据线段和差及等量代换推出AB=AC+2BE，从而代值计算可求出BE的长.
16．【答案】（1）证明：∵∠D=90°， ∠E=30°
∴∠DCE=60°
又∵∠ACE=105°
∴∠ACD=105°-60°=45°
又∵∠A=45°
∴∠A= ∠ACD
∴AB∥DC
（2）解：∵AB∥EC
∴∠A= ∠ACE=45°
又∵∠D=90°， ∠E=30°
∴∠DCE=60°
∴∠ACD= ∠DCE-∠ACE=60°-45°=15°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠DCE，根据角之间的关系可得∠ACD，则∠A= ∠ACD，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠A= ∠ACE=45°，根据直角三角形两锐角互余可得∠DCE，再根据角之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB， DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=∠AFD=90°.
在. 和 中，
（2）解：由（1）得Rt△BED≌Rt△CFD，
∴DE=DF， CF=BE=4.
在 和 中，
.
∴AB=AE-BE=16-4=12.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由垂直知∠E=∠CFD=90°，由此可证，即得DE=DF；
(2)由(1)中全等知DE=DF，CF=BE，得，由此可得AE=16，AB=12.
18．【答案】方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】延长到点，使，连接，则，根据全等三角形判定定理可得，则，，，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵DE//AB
∴∠FEM=∠AHM
由三角形外角性质可得∠AME=∠HAM+∠AHM=∠HAM+∠FEM
（2）解：设∠BEH=α，则∠BAF=2α，∠BEF=∠BEH=2α，
∵DE//AB
∴∠B=∠BEF=2α，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAF=4α
∵∠C=90°
∴∠BAC+∠B=90°，即4α+2α=90°
解得α=15°，
∴∠BAF=2α=30°，∠AHM=∠B+∠BEH=3α=45°
∴∠AME=∠BAF+∠AHM=75°
（3）解：由(2)可知∠FEM=45°，
∴∠F=∠AME-∠FEM=30°，
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠BAC=60°， ∠CED=30°
①当EF//CD时，
此时∠FED=180°-∠CDE=120°；
②EM//CD时，
此时∠MED=180°-∠CDE=120°
∵∠FEM=45°，
∴∠FED=∠MED-∠FEM=75°
③当FM//CD时，延长CE、FM交于点K，
则∠FKE=∠C=90°，
∵∠FME=180°-∠FEM-∠F=105°，
∴∠MEK=∠FME-∠FKE=15°
∴∠FEC=180°-∠FEM-∠MEK=120°
∴∠FED=∠FEC+∠CED=150°
④当FM//DE时，
此时∠F=∠CED=30°，
∴点F在EC延长线上，
∴∠FED=30°
⑤当FM//CE时，
此时∠CEF=∠F=30°，
∴∠FED=∠CEF+∠CED=60°；
综上，∠FED的度数为120°或75°或150°或30°或60°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)由平行线性质易得∠FEM=∠AHM，再根据三角形外角性质求解即可；
(2)设∠BEH=α，则∠BAF=2α，∠BEF=∠BEH=2α，由角平分线可得∠BAC=2∠BAF=4α，再根据直角三角形两锐角互余建立方程求解即可；
(3)△CDE和△EFM共顶点E，则EM、EF只可能和CD平行，FM可以与三边都平行，则分5种情况讨论，分别画出示意图求解即可.
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