资源简介

四川省凉山州2025-2026学年高二上学期期末学科素养检测数学试题
1．（2026高二上·凉山期末）在等差数列中，，则（　　）
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【知识点】等差中项
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】根据等差中项求解即可.
2．（2026高二上·凉山期末）椭圆的长轴长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题可知，，故长轴长.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆方程及几何性质，可得，长轴长。
3．（2026高二上·凉山期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由点到抛物线：的准线的距离为5，
可得抛物线准线方程为，则焦点为.
故答案为：A．
【分析】根据点到准线的距离为5，求得抛物线的准线方程，即可得抛物线的焦点坐标.
4．（2026高二上·凉山期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（　　）
A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：易知， 动点满足 ，
则动点P的轨迹为两条射线.
故答案为：B.
【分析】易知，由题意可知动点满足，即可得动点P的轨迹为两条射线.
5．（2026高二上·凉山期末）集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：从A，B中各任意取一个数相加有种情况，
若直线，则，解得，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
满足条件的有4种情况，则满足条件的概率.
故答案为：B.
【分析】先计算分别从两个集合各取一个的数的基本事件个数，再根据两直线平行，求的值，最后根据古典概型概率公式求解即可.
6．（2026高二上·凉山期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，
由分别为的中点，可得，，
，，
设异面直线与的夹角为，则.
故答案为：C.
【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
7．（2026高二上·凉山期末）数列中，，，若，则（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题可知，数列为等比数列，且公比，
又因为，故.
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题得该数列为等比数列，公比，首项为3，得通项为. 再根据等比数列的前项和公式即可得解.
8．（2026高二上·凉山期末）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：连接，，
∵点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴，设
∵，∴，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，解得，∴，
在中，∴，
∵ P 在第一象限，直线 向下倾斜，
∴直线的斜率为，
故答案为：A.
【分析】利用椭圆的定义，连接，，设，用 表示出，，，在中运用勾股定理，可求出a及 的值，可得直线的斜率.
9．（2026高二上·凉山期末）记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则数列是等差数列
B．若，则数列是递增数列
C．若，则有最小值
D．若，，则
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：A、由，得，
则数列是等差数列，故A正确；
B、由，得，则，
即，所以数列是递增数列，故B正确；
C、由，则数列是公差为的等差数列，
则数列是递减数列，
若，此时随着的增大，越来越小，无最小值，故C错误；
D、由，，
则
，，
显然满足上式，则，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据等差数列的定义得，可判断A；由题设得到，则即，可判断B；由可得数列是公差为的等差数列，举例此时随着的增大，越来越小，无最小值，即可判断C；由，利用累加法计算可判断D.
10．（2026高二上·凉山期末）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若，则
C．若A与B相互独立，则
D．若，则A与B相互独立
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：A、若A与B互斥，则，故A正确；
B、若，则，故B错误；
C、若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确；
D、与矛盾，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据互斥、相互独立事件的概率公式逐项计算判断即可.
11．（2026高二上·凉山期末）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（　　）
A．若，则为线段中点 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为8
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
A、设直线方程为，，，由抛物线定义得，解得，
，不妨设，则直线方程为，则，，即，
则为线段中点，故A正确；
B、设，则，又，解得，
则，故B正确；
C、联立，可得，解得，，则，
在中，令，得，即，
则，
故不存在直线，使得，故C错误；
D、由C选项可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，故面积最小值为8，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设直线方程为，，，利用抛物线的定义求出，不妨设，得，即可判断A；设，根据，结合点在抛物线上，求出，利用焦半径公式求出即可判断B；计算出，，求出即可判断C；由C选项知，，利用基本不等式求面积最小值即可判断D.
12．（2026高二上·凉山期末）直线x+y+1=0的倾斜角是　 　．
【答案】135°
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，
∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．
故答案为：135°．
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
13．（2026高二上·凉山期末）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为　 　．
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
因为点F到渐近线的距离为，所以，即，
则．
故答案为：.
【分析】先求双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求焦点到渐近线的距离，结合弦长为求得，再根据离心率公式求解即可.
14．（2026高二上·凉山期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为　 　．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由条件，知，，，
所以，所以.
故答案为：
【分析】由二面角的定义得有，，可得，，将两边同时平方，计算得.
15．（2026高二上·凉山期末）已知斜率为，经过点的直线l，交圆于两点．
（1）求直线l的方程；
（2）求AB的长度．
【答案】（1）解：由题可设直线的点斜式，整理得直线.
（2）解：由题可知，圆的圆心，半径，
又因为圆心到直线的距离，
所以弦长.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 斜率为，经过点 ，代入点斜式可得直线方程.
（2）由圆的标准方程得圆心坐标和半径，代入点到直线距离公式得圆心到直线的距离，代入弦长公式得解.
（1）由题可设直线的点斜式，整理得直线.
（2）由题可知，圆的圆心，半径，
又因为圆心到直线的距离，
所以弦长.
16．（2026高二上·凉山期末）已知等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题可得，，得，
又因为，
故.
（2）解：由（1）可知，，
则，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由等差数列性质得求出公差，代入等差数列通项公式得解；
（2）写出，符合分组求和法特征，代入等差数列与等比数列的求和公式得解
（1）设等差数列的公差为，
由题可得，，得，
又因为，
故.
（2）由（1）可知，，
则，
则.
17．（2026高二上·凉山期末）如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．
（1）求该电子元件第①条路是正常工作的概率；
（2）求该电子元件能正常工作的概率．
【答案】（1）解：由题意，该电子元件第①条路是正常工作的概率为.
（2）解：由（1）知，该电子元件第①条路是正常工作的概率为，
而该电子元件第②条路是正常工作的概率为，
所以该电子元件能正常工作的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）电子元件第①条路是正常工作 ，并联线路是独立事件，代入独立事件的概率公式得解；
（2）分别求出该电子元件两条并联电路正常工作的概率，再结合对立事件概率公式求解.
（1）由题意，该电子元件第①条路是正常工作的概率为.
（2）由（1）知，该电子元件第①条路是正常工作的概率为，
而该电子元件第②条路是正常工作的概率为，
所以该电子元件能正常工作的概率为.
18．（2026高二上·凉山期末）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为．
（1）求t的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求；
（3）记，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：∵点在抛物线上，∴，解得．
（2）证明：由（1）知，即，当时，∵点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程组，得，
解得或，
∴，可得，
∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
∴.
（3）解：，
，
，
两式相减得：
，
所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）把点代入抛物线方程，∴，解得；
（2）由题意，且，则，设斜率为-1的直线方程，联立抛物线方程，消元可求得方程的两根，有，可证为等差数列，并可求出；
（3）原数列通项公式可化为，符合错位相减法特征，运用该方法可求数列的前n项和.
（1）∵点在抛物线上，
∴，解得．
（2）由（1）知，即，
当时，∵点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程组，得，
解得或，
∴，可得，
∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
∴.
（3），
，
，
两式相减得：
，
所以.
19．（2026高二上·凉山期末）如图，四棱锥中，底面，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，E为PC中点．
①求AD的长度；
②求直线BE与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：在四棱锥中，由平面，平面，得，
由，得，则，
而平面，所以平面.
（2）解：①过点D作于，过点作于，连接，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，则，而平面，
因此平面，而平面，则，是二面角的平面角，
于是，，，
由，可设，则，，
又，为等腰直角三角形，则，
因此，解得，所以.
②过点作，由平面，得平面，
则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由（1）和①可得，则，
于是，
设平面的法向量，则，
取，得，所以，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由平面，可得，由勾股定理可证，两者相交可由线面垂直判定定理可证平面；
（2）①过点D作于，过点作于，连接，是二面角的平面角，等腰直角三角形中可求得解；②过点作，由平面，得平面得证直线两两垂直，可以为原点建立空间直角坐标系，求出点、直线的方向向量，及平面的法向量，代入线面角的向量公式可求解.
（1）在四棱锥中，由平面，平面，得，
由，得，则，
而平面，所以平面.
（2）①过点D作于，过点作于，连接，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，则，而平面，
因此平面，而平面，则，是二面角的平面角，
于是，，，
由，可设，则，，
又，为等腰直角三角形，则，
因此，解得，所以.
②过点作，由平面，得平面，
则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由（1）和①可得，则，
于是，
设平面的法向量，则，
取，得，所以，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为.
1 / 1四川省凉山州2025-2026学年高二上学期期末学科素养检测数学试题
1．（2026高二上·凉山期末）在等差数列中，，则（　　）
A． B．5 C． D．10
2．（2026高二上·凉山期末）椭圆的长轴长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．（2026高二上·凉山期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026高二上·凉山期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（　　）
A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线
5．（2026高二上·凉山期末）集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高二上·凉山期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·凉山期末）数列中，，，若，则（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
8．（2026高二上·凉山期末）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·凉山期末）记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则数列是等差数列
B．若，则数列是递增数列
C．若，则有最小值
D．若，，则
10．（2026高二上·凉山期末）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若，则
C．若A与B相互独立，则
D．若，则A与B相互独立
11．（2026高二上·凉山期末）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（　　）
A．若，则为线段中点 B．若，则
C．存在直线，使得 D．面积的最小值为8
12．（2026高二上·凉山期末）直线x+y+1=0的倾斜角是　 　．
13．（2026高二上·凉山期末）已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为　 　．
14．（2026高二上·凉山期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为　 　．
15．（2026高二上·凉山期末）已知斜率为，经过点的直线l，交圆于两点．
（1）求直线l的方程；
（2）求AB的长度．
16．（2026高二上·凉山期末）已知等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
17．（2026高二上·凉山期末）如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．
（1）求该电子元件第①条路是正常工作的概率；
（2）求该电子元件能正常工作的概率．
18．（2026高二上·凉山期末）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一个点，令为关于y轴对称的点，记的坐标为．
（1）求t的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求；
（3）记，求数列的前n项和．
19．（2026高二上·凉山期末）如图，四棱锥中，底面，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，E为PC中点．
①求AD的长度；
②求直线BE与平面所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差中项
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】根据等差中项求解即可.
2．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题可知，，故长轴长.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆方程及几何性质，可得，长轴长。
3．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由点到抛物线：的准线的距离为5，
可得抛物线准线方程为，则焦点为.
故答案为：A．
【分析】根据点到准线的距离为5，求得抛物线的准线方程，即可得抛物线的焦点坐标.
4．【答案】B
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：易知， 动点满足 ，
则动点P的轨迹为两条射线.
故答案为：B.
【分析】易知，由题意可知动点满足，即可得动点P的轨迹为两条射线.
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：从A，B中各任意取一个数相加有种情况，
若直线，则，解得，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
满足条件的有4种情况，则满足条件的概率.
故答案为：B.
【分析】先计算分别从两个集合各取一个的数的基本事件个数，再根据两直线平行，求的值，最后根据古典概型概率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，
由分别为的中点，可得，，
，，
设异面直线与的夹角为，则.
故答案为：C.
【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
7．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题可知，数列为等比数列，且公比，
又因为，故.
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题得该数列为等比数列，公比，首项为3，得通项为. 再根据等比数列的前项和公式即可得解.
8．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：连接，，
∵点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴，设
∵，∴，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，解得，∴，
在中，∴，
∵ P 在第一象限，直线 向下倾斜，
∴直线的斜率为，
故答案为：A.
【分析】利用椭圆的定义，连接，，设，用 表示出，，，在中运用勾股定理，可求出a及 的值，可得直线的斜率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：A、由，得，
则数列是等差数列，故A正确；
B、由，得，则，
即，所以数列是递增数列，故B正确；
C、由，则数列是公差为的等差数列，
则数列是递减数列，
若，此时随着的增大，越来越小，无最小值，故C错误；
D、由，，
则
，，
显然满足上式，则，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据等差数列的定义得，可判断A；由题设得到，则即，可判断B；由可得数列是公差为的等差数列，举例此时随着的增大，越来越小，无最小值，即可判断C；由，利用累加法计算可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：A、若A与B互斥，则，故A正确；
B、若，则，故B错误；
C、若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确；
D、与矛盾，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据互斥、相互独立事件的概率公式逐项计算判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
A、设直线方程为，，，由抛物线定义得，解得，
，不妨设，则直线方程为，则，，即，
则为线段中点，故A正确；
B、设，则，又，解得，
则，故B正确；
C、联立，可得，解得，，则，
在中，令，得，即，
则，
故不存在直线，使得，故C错误；
D、由C选项可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，故面积最小值为8，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线的焦点为，准线方程为，设直线方程为，，，利用抛物线的定义求出，不妨设，得，即可判断A；设，根据，结合点在抛物线上，求出，利用焦半径公式求出即可判断B；计算出，，求出即可判断C；由C选项知，，利用基本不等式求面积最小值即可判断D.
12．【答案】135°
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，
∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．
故答案为：135°．
【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
13．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
因为点F到渐近线的距离为，所以，即，
则．
故答案为：.
【分析】先求双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求焦点到渐近线的距离，结合弦长为求得，再根据离心率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由条件，知，，，
所以，所以.
故答案为：
【分析】由二面角的定义得有，，可得，，将两边同时平方，计算得.
15．【答案】（1）解：由题可设直线的点斜式，整理得直线.
（2）解：由题可知，圆的圆心，半径，
又因为圆心到直线的距离，
所以弦长.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 斜率为，经过点 ，代入点斜式可得直线方程.
（2）由圆的标准方程得圆心坐标和半径，代入点到直线距离公式得圆心到直线的距离，代入弦长公式得解.
（1）由题可设直线的点斜式，整理得直线.
（2）由题可知，圆的圆心，半径，
又因为圆心到直线的距离，
所以弦长.
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题可得，，得，
又因为，
故.
（2）解：由（1）可知，，
则，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由等差数列性质得求出公差，代入等差数列通项公式得解；
（2）写出，符合分组求和法特征，代入等差数列与等比数列的求和公式得解
（1）设等差数列的公差为，
由题可得，，得，
又因为，
故.
（2）由（1）可知，，
则，
则.
17．【答案】（1）解：由题意，该电子元件第①条路是正常工作的概率为.
（2）解：由（1）知，该电子元件第①条路是正常工作的概率为，
而该电子元件第②条路是正常工作的概率为，
所以该电子元件能正常工作的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）电子元件第①条路是正常工作 ，并联线路是独立事件，代入独立事件的概率公式得解；
（2）分别求出该电子元件两条并联电路正常工作的概率，再结合对立事件概率公式求解.
（1）由题意，该电子元件第①条路是正常工作的概率为.
（2）由（1）知，该电子元件第①条路是正常工作的概率为，
而该电子元件第②条路是正常工作的概率为，
所以该电子元件能正常工作的概率为.
18．【答案】（1）解：∵点在抛物线上，∴，解得．
（2）证明：由（1）知，即，当时，∵点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程组，得，
解得或，
∴，可得，
∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
∴.
（3）解：，
，
，
两式相减得：
，
所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）把点代入抛物线方程，∴，解得；
（2）由题意，且，则，设斜率为-1的直线方程，联立抛物线方程，消元可求得方程的两根，有，可证为等差数列，并可求出；
（3）原数列通项公式可化为，符合错位相减法特征，运用该方法可求数列的前n项和.
（1）∵点在抛物线上，
∴，解得．
（2）由（1）知，即，
当时，∵点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程组，得，
解得或，
∴，可得，
∴数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
∴.
（3），
，
，
两式相减得：
，
所以.
19．【答案】（1）证明：在四棱锥中，由平面，平面，得，
由，得，则，
而平面，所以平面.
（2）解：①过点D作于，过点作于，连接，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，则，而平面，
因此平面，而平面，则，是二面角的平面角，
于是，，，
由，可设，则，，
又，为等腰直角三角形，则，
因此，解得，所以.
②过点作，由平面，得平面，
则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由（1）和①可得，则，
于是，
设平面的法向量，则，
取，得，所以，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由平面，可得，由勾股定理可证，两者相交可由线面垂直判定定理可证平面；
（2）①过点D作于，过点作于，连接，是二面角的平面角，等腰直角三角形中可求得解；②过点作，由平面，得平面得证直线两两垂直，可以为原点建立空间直角坐标系，求出点、直线的方向向量，及平面的法向量，代入线面角的向量公式可求解.
（1）在四棱锥中，由平面，平面，得，
由，得，则，
而平面，所以平面.
（2）①过点D作于，过点作于，连接，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，则，而平面，
因此平面，而平面，则，是二面角的平面角，
于是，，，
由，可设，则，，
又，为等腰直角三角形，则，
因此，解得，所以.
②过点作，由平面，得平面，
则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由（1）和①可得，则，
于是，
设平面的法向量，则，
取，得，所以，
所以直线BE与平面所成角的正弦值为.
1 / 1

展开更多......

收起↑