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2025-2026学年高一上学期期末学科素养检测数学试卷
1．（2026高一上·贵港期末）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026高一上·贵港期末）命题“，”的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2026高一上·贵港期末）若已知条件，条件，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026高一上·贵港期末）函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·贵港期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·贵港期末）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
7．（2026高一上·贵港期末）某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（　　）
（参考数据：，，）
A．公里 B．公里 C．公里 D．公里
8．（2026高一上·贵港期末）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026高一上·贵港期末）设，则下列选项中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若， ，则
10．（2026高一上·贵港期末）下列说法正确的有（　　）
A．函数是幂函数，则
B．函数的图象恒过定点
C．函数取得最小值为
D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
11．（2026高一上·贵港期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
12．（2026高一上·贵港期末）函数的定义域为　 　．
13．（2026高一上·贵港期末）已知，则　 　.
14．（2026高一上·贵港期末）已知函数是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则　 　
15．（2026高一上·贵港期末）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求sinα和tanα的值
（2）若，化简并求值
16．（2026高一上·贵港期末）已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）直接写出该函数在定义域中的单调性（不需要证明），若对于任意，求使满足不等式的实数m的取值范围.
17．（2026高一上·贵港期末）已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求的值域.
18．（2026高一上·贵港期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.
（1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式；
（2）结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.
19．（2026高一上·贵港期末）现定义一种新运算“”：对于任意实数，都有.
（1）当时，计算；
（2）证明： 都有
（3）设，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，
根据集合并集的定义与运算，可得.
故答案为：B.
【分析】直接运用集合的并集运算规则（由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合），计算即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：，”的否定为：，.
故答案为：C.
【分析】利用全称量词命题的否定的定义，先换量词再否结论即可求解.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，解得或，
因为是或}的真子集，
则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】求解一元二次不等式得或，结合真子集关系判断即可.
4．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，，且为增函数，
所以的零点所在的区间为.
故答案为：C.
【分析】确定函数零点所在区间，需结合零点存在定理和函数单调性.
5．【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，
，，
故答案为：B
【分析】根据指数函数、对数函数运算得，，由余弦函数的性质，得解.
6．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，当时取等号.
故答案为：D
【分析】由题意得可得扇形圆心角扇形半径为间关系得，代入面积公式结合基本不等式可得.
7．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
当时，，解得，
，解得，
此时汽车大约行驶了（公里），故B正确．
故答案为：B．
【分析】由题意得，取对数解方程可得.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
所以当时，，
当时，.
所以由可得：或或，
解得或或，即或.
所以满足的的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先得到在上的单调性，再分类讨论解不等式即可.
9．【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、取，，满足，但此时，该选项错误，不合题意；
B、若，则，该选项正确，符合题意；
C、若，则，该选项正确，符合题意；
D、取，，，满足， ，此时，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC
【分析】取，，满足，但此时，可判断A；若，则，可判断B；若，则，可判断C；取，，，满足， ，此时，可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的概念与表示；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为 是幂函数，则，即，故A正确；
B、在函数中，令，可得，，
故图象恒过定点，而非，故B错误；
C、函数（），变形得，
设，则得，因该函数在上单调递增，
故，即函数的最小值为，故C错误；
D、方程 有一正根和一负根，等价于，解得，
即“”是该方程有一正根和一负根的充要条件，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用幂函数定义可得，可判断A；在函数中，令，可得恒过定点，而非，可判断B；将函数变形得，利用换元法求得函数最小值为，可判断C；方程 有一正根和一负根，等价于，解不等式即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题图可得，，得，则，
因为，所以，
所以，，又因为，所以，则，
A、当时，，故A正确；
B、当时，为最小值，故的图象关于直线对称，故B正确；
C、将函数的图象向左平移个单位长度得到函数：
的图象，故C错误；
D、当时，，
则当，即时，单调递减；
当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，
的取值范围是，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由图，易知A，根据图象过点求得函数的周期，利用周期求，再根据图象过点求，确定函数，代入计算即可判断AB；利用三角函数图象的平移变换求解即可判断C；当时，，判断函数的单调性，求出最值，得的取值范围即可判断D.
12．【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
则，解得且，故函数定义域为且.
故答案为：且.
【分析】根据偶次根式，分式有意义，列不等式组求解即可.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
则
故答案为：
【分析】，利用两角和的正切公式求解即可.
14．【答案】3
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为，则，
所以，可知4为函数的周期，
且，
当时，，则，
所以.
故答案为：3
【分析】由得T=4，即，求得，利用周期计算可得.
15．【答案】（1）解：∵，由三角函数的定义得，；
（2）解：∵
，
∴.
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）代入三角函数的定义计算即可；
（2）先运用诱导公式得，弦化切代入计算可得．
（1）∵，由三角函数的定义得，；
（2）∵，
∴.
16．【答案】（1）解： 由得，又，
因为对，，所以，
经检验，符合题意；
（2）解： 由（1），因为函数是增函数，
所以是减函数，所以是增函数，
若对于任意，，则由是奇函数，
可得，又在是增函数，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由与计算得可得解；
（2）先判断f(x)是增函数，结合奇偶性，得，可列出不等式组，解不等式组得解.
（1）由得，又，
因为对，，所以，
经检验，符合题意；
（2）由（1），因为函数是增函数，
所以是减函数，所以是增函数，
若对于任意，，则由是奇函数，
可得，又在是增函数，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
17．【答案】（1）解：由题设
，
∴函数的最小正周期为，
令，，
则，，
所以单调递增区间为，.
（2）解：∵，则，
∴，
∴，
故函数在区间的值域为.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由二倍角公式、辅助角公式得，利用周期公式以及正弦型函数单调性得解；
（2）由得，利用正弦函数的性质得解
（1）由题设，
∴函数的最小正周期为，
令，，则，，
所以单调递增区间为，.
（2）∵，则，
∴，
∴，
故函数在区间的值域为.
18．【答案】（1）解： 根据题意可得，
则方案一中与的函数关系式为：.
（2）解： 方案一：因为，
所以当时，总盈利额的最大值为万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
方案二：由年平均盈利额为：
，
当且仅当即时等号成立，
即当时，年平均盈利额最大为20万元，
此时总盈利额万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
综上，两种方案获利都是110万元，
但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1） 利用已知条件即可写出与的函数关系式；；
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出方案一，方案二的最大值进行比较可得答案.
（1）根据题意可得，
则方案一中与的函数关系式为：.
（2）方案一：因为，
所以当时，总盈利额的最大值为万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
方案二：由年平均盈利额为：
，
当且仅当即时等号成立，
即当时，年平均盈利额最大为20万元，
此时总盈利额万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
综上，两种方案获利都是110万元，
但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理.
19．【答案】（1）解：当时，.
（2）证明：，
，
所以都有.
（3）解：设，不等式即为，
设，
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递减，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，
解得或，
结合可知此时没有满足题意的实数；
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递增，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，解得，
结合可知此时实数的范围是.
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）代入新定义计算即；
（2）代入新定义，由对数的运算性质计算证明；
（3）利用新定义函数解析式化简为，不等式即为，分和讨论解不等式.
（1）当时，.
（2），
，
所以都有.
（3）设，不等式即为，
设，
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递减，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，
解得或，
结合可知此时没有满足题意的实数；
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递增，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，解得，
结合可知此时实数的范围是.
综上所述，实数的取值范围是.
1 / 12025-2026学年高一上学期期末学科素养检测数学试卷
1．（2026高一上·贵港期末）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，
根据集合并集的定义与运算，可得.
故答案为：B.
【分析】直接运用集合的并集运算规则（由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合），计算即可得到答案.
2．（2026高一上·贵港期末）命题“，”的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：，”的否定为：，.
故答案为：C.
【分析】利用全称量词命题的否定的定义，先换量词再否结论即可求解.
3．（2026高一上·贵港期末）若已知条件，条件，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，解得或，
因为是或}的真子集，
则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】求解一元二次不等式得或，结合真子集关系判断即可.
4．（2026高一上·贵港期末）函数的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，，且为增函数，
所以的零点所在的区间为.
故答案为：C.
【分析】确定函数零点所在区间，需结合零点存在定理和函数单调性.
5．（2026高一上·贵港期末）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，，
，，
故答案为：B
【分析】根据指数函数、对数函数运算得，，由余弦函数的性质，得解.
6．（2026高一上·贵港期末）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，当时取等号.
故答案为：D
【分析】由题意得可得扇形圆心角扇形半径为间关系得，代入面积公式结合基本不等式可得.
7．（2026高一上·贵港期末）某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（　　）
（参考数据：，，）
A．公里 B．公里 C．公里 D．公里
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
当时，，解得，
，解得，
此时汽车大约行驶了（公里），故B正确．
故答案为：B．
【分析】由题意得，取对数解方程可得.
8．（2026高一上·贵港期末）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
所以当时，，
当时，.
所以由可得：或或，
解得或或，即或.
所以满足的的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先得到在上的单调性，再分类讨论解不等式即可.
9．（2026高一上·贵港期末）设，则下列选项中正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若， ，则
【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、取，，满足，但此时，该选项错误，不合题意；
B、若，则，该选项正确，符合题意；
C、若，则，该选项正确，符合题意；
D、取，，，满足， ，此时，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC
【分析】取，，满足，但此时，可判断A；若，则，可判断B；若，则，可判断C；取，，，满足， ，此时，可判断D.
10．（2026高一上·贵港期末）下列说法正确的有（　　）
A．函数是幂函数，则
B．函数的图象恒过定点
C．函数取得最小值为
D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
【答案】A,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的概念与表示；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为 是幂函数，则，即，故A正确；
B、在函数中，令，可得，，
故图象恒过定点，而非，故B错误；
C、函数（），变形得，
设，则得，因该函数在上单调递增，
故，即函数的最小值为，故C错误；
D、方程 有一正根和一负根，等价于，解得，
即“”是该方程有一正根和一负根的充要条件，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用幂函数定义可得，可判断A；在函数中，令，可得恒过定点，而非，可判断B；将函数变形得，利用换元法求得函数最小值为，可判断C；方程 有一正根和一负根，等价于，解不等式即可判断D.
11．（2026高一上·贵港期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题图可得，，得，则，
因为，所以，
所以，，又因为，所以，则，
A、当时，，故A正确；
B、当时，为最小值，故的图象关于直线对称，故B正确；
C、将函数的图象向左平移个单位长度得到函数：
的图象，故C错误；
D、当时，，
则当，即时，单调递减；
当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，
的取值范围是，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由图，易知A，根据图象过点求得函数的周期，利用周期求，再根据图象过点求，确定函数，代入计算即可判断AB；利用三角函数图象的平移变换求解即可判断C；当时，，判断函数的单调性，求出最值，得的取值范围即可判断D.
12．（2026高一上·贵港期末）函数的定义域为　 　．
【答案】且
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，
则，解得且，故函数定义域为且.
故答案为：且.
【分析】根据偶次根式，分式有意义，列不等式组求解即可.
13．（2026高一上·贵港期末）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
则
故答案为：
【分析】，利用两角和的正切公式求解即可.
14．（2026高一上·贵港期末）已知函数是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则　 　
【答案】3
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为，则，
所以，可知4为函数的周期，
且，
当时，，则，
所以.
故答案为：3
【分析】由得T=4，即，求得，利用周期计算可得.
15．（2026高一上·贵港期末）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求sinα和tanα的值
（2）若，化简并求值
【答案】（1）解：∵，由三角函数的定义得，；
（2）解：∵
，
∴.
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）代入三角函数的定义计算即可；
（2）先运用诱导公式得，弦化切代入计算可得．
（1）∵，由三角函数的定义得，；
（2）∵，
∴.
16．（2026高一上·贵港期末）已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）直接写出该函数在定义域中的单调性（不需要证明），若对于任意，求使满足不等式的实数m的取值范围.
【答案】（1）解： 由得，又，
因为对，，所以，
经检验，符合题意；
（2）解： 由（1），因为函数是增函数，
所以是减函数，所以是增函数，
若对于任意，，则由是奇函数，
可得，又在是增函数，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由与计算得可得解；
（2）先判断f(x)是增函数，结合奇偶性，得，可列出不等式组，解不等式组得解.
（1）由得，又，
因为对，，所以，
经检验，符合题意；
（2）由（1），因为函数是增函数，
所以是减函数，所以是增函数，
若对于任意，，则由是奇函数，
可得，又在是增函数，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
17．（2026高一上·贵港期末）已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）解：由题设
，
∴函数的最小正周期为，
令，，
则，，
所以单调递增区间为，.
（2）解：∵，则，
∴，
∴，
故函数在区间的值域为.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由二倍角公式、辅助角公式得，利用周期公式以及正弦型函数单调性得解；
（2）由得，利用正弦函数的性质得解
（1）由题设，
∴函数的最小正周期为，
令，，则，，
所以单调递增区间为，.
（2）∵，则，
∴，
∴，
故函数在区间的值域为.
18．（2026高一上·贵港期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注：）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.
（1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式；
（2）结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.
【答案】（1）解： 根据题意可得，
则方案一中与的函数关系式为：.
（2）解： 方案一：因为，
所以当时，总盈利额的最大值为万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
方案二：由年平均盈利额为：
，
当且仅当即时等号成立，
即当时，年平均盈利额最大为20万元，
此时总盈利额万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
综上，两种方案获利都是110万元，
但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1） 利用已知条件即可写出与的函数关系式；；
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出方案一，方案二的最大值进行比较可得答案.
（1）根据题意可得，
则方案一中与的函数关系式为：.
（2）方案一：因为，
所以当时，总盈利额的最大值为万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
方案二：由年平均盈利额为：
，
当且仅当即时等号成立，
即当时，年平均盈利额最大为20万元，
此时总盈利额万元，
此时处理掉设备，则总利润为万元，
综上，两种方案获利都是110万元，
但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理.
19．（2026高一上·贵港期末）现定义一种新运算“”：对于任意实数，都有.
（1）当时，计算；
（2）证明： 都有
（3）设，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，.
（2）证明：，
，
所以都有.
（3）解：设，不等式即为，
设，
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递减，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，
解得或，
结合可知此时没有满足题意的实数；
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递增，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，解得，
结合可知此时实数的范围是.
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）代入新定义计算即；
（2）代入新定义，由对数的运算性质计算证明；
（3）利用新定义函数解析式化简为，不等式即为，分和讨论解不等式.
（1）当时，.
（2），
，
所以都有.
（3）设，不等式即为，
设，
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递减，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，
解得或，
结合可知此时没有满足题意的实数；
当时，转化为对任意恒成立，
此时函数在上单调递增，，
所以要想对任意恒成立，即满足即可，解得，
结合可知此时实数的范围是.
综上所述，实数的取值范围是.
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