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广西壮族自治区北海市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·北海期末）下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·北海期末）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　）
A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7
3．（2026八上·北海期末）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·北海期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．若，则，
C．对顶角相等 D．完全重合的两个图形全等
5．（2026八上·北海期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·北海期末）运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
7．（2026八上·北海期末）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026八上·北海期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·北海期末）如图，在中，，为的中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·北海期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026八上·北海期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．（2026八上·北海期末）若关于的方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B． C．5 D．
13．（2026八上·北海期末）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
14．（2026八上·北海期末）因式分解：　 　．
15．（2026八上·北海期末）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为　 　．
16．（2026八上·北海期末）如图，，，P为上一点，若为直角三角形，则　 　．
17．（2026八上·北海期末）计算：．
18．（2026八上·北海期末）先化简再求值：，其中a=-2．
19．（2026八上·北海期末）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
20．（2026八上·北海期末）综合与实践：
【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？
【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离．
【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．
21．（2026八上·北海期末）小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：
小张：“小李，你骑车的平均速度比我快，比我少用了5分钟．”
小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快，应该没有超速吧？”
根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．
22．（2026八上·北海期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． B．
C． D．
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
23．（2026八上·北海期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________；
（2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由；
（3）【生活应用】校园广场的景观规划：
如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，不是分式，故A错误.
B、是整式，不是分式，故B错误.
C、的分母是常数，不是分式，故C错误.
D、的分母是，包含了变量x，是分式，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式即可判断得答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．∵，故能构成三角形，符合题意；
B．∵，故不能构成三角形，不符合题意；
C．∵，故不能构成三角形，不符合题意；
D．∵，故不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】B
【知识点】全等图形的概念；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，是真命题；
B、当时，，但，是假命题；
C、对顶角相等，是真命题；
D、完全重合的两个图形全等，是真命题；
故答案为：B．
【分析】利用对顶角的性质、不等式的性质、全等图形的定义、平行线的性质和假命题的定义逐项分析判断即可.
5．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰，所以D说法符合题意．
故选：D．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．不是同类二次根式，不能合并，原计算错误；
B．，原计算错误；
C．，原计算错误；
D．，原计算正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
，
；
故选：B．
【分析】根据全等三角形性质可得，，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，为的中点，
又，
．
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设为x尺，则尺，依题意得：
，
故选：D．
【分析】设为x尺，则尺，根据勾股定理建立方程即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再结合，证出是等边三角形，可得，最后利用角的运算求出∠DCB的度数即可.
12．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，两边都乘以得：，
关于的方程有增根，
，
解得：，
∴，
．
故选：A．
【分析】去分母转换为整式方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：
∴
故答案为：
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，由此建立关于x的不等式，求出不等式的解集.
14．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，
而已知线段PA=5，
∴PB=5．
故答案为：5．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得PB=PA，再结合PA的长求解即可.
16．【答案】1或4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：分以下两种情况讨论：
如图，当是直角时，
，，
，
；
当是直角时，
，，
，
，
综上所述，的长为1或4，
故答案为：1或4．
【分析】分情况讨论：当是直角时，当是直角时，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用0指数幂的性质、负整式指数幂和平方差公式化简，再计算即可.
18．【答案】解：原式=
当a=-2，原式=3.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得，再将a的值代入计算即可.
19．【答案】解：（1）如图所示，BD为所作；
（2）DA=BC．理由如下：
∵AB=AC，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴DA=BC．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可；
（2）根据AB=AC求出，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=36°，最后计算求解即可。
20．【答案】解：此方案可行，理由如下：
在和中，
，
所以，
所以，
所以的长即是的距离．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而可得的长即是的距离．
21．【答案】解：小李在骑行过程中有超速，
理由如下，设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，
∵小李比小张少用了5分钟，
∴，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
所以，
，
答：小李在骑行过程中有超速．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，利用“小李比小张少用了5分钟”列出方程，再求解即可.
22．【答案】（1）B
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；有理数的巧算
【解析】【解答】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B.
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得，从而得解；
（2）利用可得，再将代入求出即可；
（3）利用平方差公式将原式变形为，再计算即可.
（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
．
23．【答案】解：（1）；
（2），理由如下，
∵，，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）为直角三角形，理由如下：
过点作，交的延长线于点，
∴，
又∵，，
同（1）可得，
∴，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴符合要求，是直角三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵于点，于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可证出；
（3）过点作，交的延长线于点，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，利用线段的和差及等量代换求出，再结合，，可得，利用角的运算求出，从而得证.
1 / 1广西壮族自治区北海市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·北海期末）下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，不是分式，故A错误.
B、是整式，不是分式，故B错误.
C、的分母是常数，不是分式，故C错误.
D、的分母是，包含了变量x，是分式，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式即可判断得答案.
2．（2026八上·北海期末）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　）
A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．∵，故能构成三角形，符合题意；
B．∵，故不能构成三角形，不符合题意；
C．∵，故不能构成三角形，不符合题意；
D．∵，故不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案.
3．（2026八上·北海期末）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2026八上·北海期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．若，则，
C．对顶角相等 D．完全重合的两个图形全等
【答案】B
【知识点】全等图形的概念；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，是真命题；
B、当时，，但，是假命题；
C、对顶角相等，是真命题；
D、完全重合的两个图形全等，是真命题；
故答案为：B．
【分析】利用对顶角的性质、不等式的性质、全等图形的定义、平行线的性质和假命题的定义逐项分析判断即可.
5．（2026八上·北海期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
6．（2026八上·北海期末）运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰，所以D说法符合题意．
故选：D．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
7．（2026八上·北海期末）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．不是同类二次根式，不能合并，原计算错误；
B．，原计算错误；
C．，原计算错误；
D．，原计算正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
8．（2026八上·北海期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
，
；
故选：B．
【分析】根据全等三角形性质可得，，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
9．（2026八上·北海期末）如图，在中，，为的中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，为的中点，
又，
．
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
10．（2026八上·北海期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设为x尺，则尺，依题意得：
，
故选：D．
【分析】设为x尺，则尺，根据勾股定理建立方程即可求出答案.
11．（2026八上·北海期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再结合，证出是等边三角形，可得，最后利用角的运算求出∠DCB的度数即可.
12．（2026八上·北海期末）若关于的方程有增根，则的值是（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，两边都乘以得：，
关于的方程有增根，
，
解得：，
∴，
．
故选：A．
【分析】去分母转换为整式方程，解方程即可求出答案.
13．（2026八上·北海期末）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：
∴
故答案为：
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，由此建立关于x的不等式，求出不等式的解集.
14．（2026八上·北海期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
15．（2026八上·北海期末）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，
而已知线段PA=5，
∴PB=5．
故答案为：5．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得PB=PA，再结合PA的长求解即可.
16．（2026八上·北海期末）如图，，，P为上一点，若为直角三角形，则　 　．
【答案】1或4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：分以下两种情况讨论：
如图，当是直角时，
，，
，
；
当是直角时，
，，
，
，
综上所述，的长为1或4，
故答案为：1或4．
【分析】分情况讨论：当是直角时，当是直角时，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
17．（2026八上·北海期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用0指数幂的性质、负整式指数幂和平方差公式化简，再计算即可.
18．（2026八上·北海期末）先化简再求值：，其中a=-2．
【答案】解：原式=
当a=-2，原式=3.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简可得，再将a的值代入计算即可.
19．（2026八上·北海期末）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
【答案】解：（1）如图所示，BD为所作；
（2）DA=BC．理由如下：
∵AB=AC，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴DA=BC．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可；
（2）根据AB=AC求出，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=36°，最后计算求解即可。
20．（2026八上·北海期末）综合与实践：
【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？
【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离．
【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由．
【答案】解：此方案可行，理由如下：
在和中，
，
所以，
所以，
所以的长即是的距离．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而可得的长即是的距离．
21．（2026八上·北海期末）小张和小李每天骑自行车上学，骑行路程均为6千米．为确保骑行安全，学校规定骑行中任意时刻车速不得超过15千米/时．某天到校后，两人聊天：
小张：“小李，你骑车的平均速度比我快，比我少用了5分钟．”
小李：“虽然我平均速度比你快，但我在骑车的过程中的最快速度只比我的平均速度快，应该没有超速吧？”
根据以上对话，你认为小李在骑行过程中是否有超速，请说明理由．
【答案】解：小李在骑行过程中有超速，
理由如下，设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，
∵小李比小张少用了5分钟，
∴，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
所以，
，
答：小李在骑行过程中有超速．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小张骑车的平均速度为千米/时，则小李骑车的平均速度为千米/时，利用“小李比小张少用了5分钟”列出方程，再求解即可.
22．（2026八上·北海期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项）
A． B．
C． D．
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
【答案】（1）B
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景；有理数的巧算
【解析】【解答】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B.
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得，从而得解；
（2）利用可得，再将代入求出即可；
（3）利用平方差公式将原式变形为，再计算即可.
（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，
∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；
则验证的等式是，
故答案为：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
．
23．（2026八上·北海期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________；
（2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由；
（3）【生活应用】校园广场的景观规划：
如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由．
【答案】解：（1）；
（2），理由如下，
∵，，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）为直角三角形，理由如下：
过点作，交的延长线于点，
∴，
又∵，，
同（1）可得，
∴，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴符合要求，是直角三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵于点，于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可证出；
（3）过点作，交的延长线于点，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，利用线段的和差及等量代换求出，再结合，，可得，利用角的运算求出，从而得证.
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