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（培优版）浙教版数学七下 4.2提取公因式法 同步练习
一、选择题
1．已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)=(13x-17)(19x-31-11x+23)=(13x-17)(8x-8)，
而 (19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，
∴a=13，b=-17，c=-8，
∴a+b+c=13+（-17）+（-8）=-12.
故答案为：A.
【分析】首先将(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)利用提取公因式法分解因式，即可得出a、b、c的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
2．计算(-2)2020-2×(-2)2019的值是（　　）
A．-22020 B．-4 C．0 D．22021
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（-2）2020-2×（-2）2019
=（-2）2019×[（-2）-2]
=（-2）2019×（-4）
=-22019×（-22）
=22021；
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求解.
3．将3a(x-y)3-9b(y-x)2分解因式，应提出的公因式是（　　）
A．(x-y)3 B．3(x-y)3 C．3(x-y)2 D．(ax-ay+3b)
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a（x-y）3-9b（y-x）2
=3a（x-y）3-9b（x-y）2
=3（x-y）2·a（x-y）-3（x-y）2·3b
=3（x-y）2[a（x-y）-3b]
即提取的公因式为3（x-y）2；
故答案为：C.
【分析】根据提公因式法进行求解即可.
4．把多项式a2(x-5)2-a(5-x)分解因式正确的是（　　）
A．a(x-5)(ax-5a+1) B．a(5-x)(ax-5a+1)
C．a(x-5)(ax-5a-1) D．a(x-5)(ax+5a+1)
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2（x-5）2-a（x-5）
=a（x-5）[a（x-5）-1]
=a（x-5）（ax-5a-1），
故答案为：C.
【分析】将原式利用提公因式法因式分解后即可求得答案．
5．（初中数学苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解 同步练习）多项式 2x2-4xy+2x 提取公因式 2x 后，另一个因式为（　　）
A．x-2y B．x-2y+1 C．x-4y+1 D．x-2y-1
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2x2-4xy+2x=2x（x-2y+1），
∴另一个因式为x-2y+1.
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法，将此多项式进行因式分解，即可得到另一个因式。
6．（2024七下·港南期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(　　)
A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；公因式的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选：D．
【分析】本题考查了对因式分解方法，以及代数式求值，化简a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]，将a+b＝5，ab＝6，代入计算，即可求解.
7．（2011七下·广东竞赛）若实数 满足条件 ，则 中（　　）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反的数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不等
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；因式分解﹣提公因式法；等式的基本性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解： ，所以必有两个数互为相反数。
故答案为：选B
【分析】此题首先去分母并整理使方程右边为0，然后将方程的左边分解因式，得出（a+b）（a+c）（b+c）=0，再根据有理数的乘法，几个数相乘等于0，至少有一个为0即可得出结果。
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题
9．（2024七下·柯桥期末）若实数，满足方程组，则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于所求多项式可分解因式为，因此可把和看作整体，解关于它们的二元一次方程组即可得，，最后再整体代入计算即可．
10．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）若 ，则 　 　， 　 　.
【答案】ab；a2
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
∴，M=ab，
∴N= a3b÷ ab=a2.
故答案为：ab，a2.
【分析】先进行整式的乘法运算将右式展开，然后根据恒等的关系分别列等式求解，即可求出结果.
11．分解因式： 　 　.
【答案】2（3x+y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（3x+y）2-（x-3y）（3x+y）=（3x+y）（3x+y-x+3y）=2（3x+y）（x+2y）.
故答案为：2（3x+y）（x+2y）.
【分析】利用提公因式法进行因式分解，即可得出答案.
12．（2024七下·西湖期中）若，，则多项式　 　．
【答案】450
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：原式
，
当，时，
原式
；
故答案：．
【分析】先将整式化为，整体代入解题即可．
13．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
三、阅读理解题
14．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
15． 先阅读下列因式分解的过程， 再回答问题：
例
例 =
（1） 分解因式： 　 　；
　 　；
　 　.
（2） 分解因式 (要求写出关键步骤)：
【答案】（1）；；
（2）解：x-1-x（x-1）+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=(x-1)-x（x-1）+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=(x-1)(1-x)+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=-(x-1)（x-1）+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=-（x-1）2+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=-（x-1）2(-1+x)-x（x-1）3+x（x-1）4
=（x-1）2(x-1)-x（x-1）3+x（x-1）4
=（x-1）3-x（x-1）3+x（x-1）4
=（x-1）3(1-x)+x（x-1）4
=-（x-1）3（x-1）+x（x-1）4
=-（x-1）4+x（x-1）4
=（x-1）4(-1+x)
=（x-1）4(-1+x)
=（x-1）4(x-1)
=（x-1）5.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
=(1+x)+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
=(1+x)·（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
=（1+x）2+x（1+x）2+x（1+x）3
=(1+x)（1+x）2+x（1+x）3
=（1+x）3+x（1+x）3
=(1+x)·（1+x）3
=（1+x）4.
同理：可以得到：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+x（1+x）4=（1+x）5.
1+x+x（1+x）+x（1+x）2+···+x（1+x）n=（1+x）n+1.
【分析】（1）通过观察可以发现：如果把x+1看做是一个整体，其他各项都含有公因式x+1，所以采取提公因式法先把前两项 1+x+x（1+x）提取公因式x+1后会发现，变成了(1+x)·（1+x）即（1+x）2，和后面的一项又含有公因式（1+x）2，提取公因式(x+1)2后会发现，变成了(1+x)3，继续提取，以此类推，可以推出结果为（1+x）4.
同理，按照上面的规律可以得到：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+x（1+x）4=（1+x）5.1+x+x（1+x）+x（1+x）2+···+x（1+x）n=（1+x）n+1.
（2）通过观察可以发现：如果把x-1看做是一个整体，其他各项都含有公因式x-1，所以采取提公因式法先把前两项 x-1-x（x-1）提取公因式x-1后会发现，变成了(x-1)(1-x)即-(x-1)（x-1）=-（x-1）2，和后面的一项又含有公因式（x-1）2，提取公因式(x-1)2后会发现，变成了(x-1)3，继续提取，以此类推，可以推出结果为（x-1）5.
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 4.2提取公因式法 同步练习
一、选择题
1．已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（　　）
A．-12 B．-32 C．38 D．72
2．计算(-2)2020-2×(-2)2019的值是（　　）
A．-22020 B．-4 C．0 D．22021
3．将3a(x-y)3-9b(y-x)2分解因式，应提出的公因式是（　　）
A．(x-y)3 B．3(x-y)3 C．3(x-y)2 D．(ax-ay+3b)
4．把多项式a2(x-5)2-a(5-x)分解因式正确的是（　　）
A．a(x-5)(ax-5a+1) B．a(5-x)(ax-5a+1)
C．a(x-5)(ax-5a-1) D．a(x-5)(ax+5a+1)
5．（初中数学苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解 同步练习）多项式 2x2-4xy+2x 提取公因式 2x 后，另一个因式为（　　）
A．x-2y B．x-2y+1 C．x-4y+1 D．x-2y-1
6．（2024七下·港南期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(　　)
A．15 B．30 C．60 D．78
7．（2011七下·广东竞赛）若实数 满足条件 ，则 中（　　）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反的数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不等
8．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、填空题
9．（2024七下·柯桥期末）若实数，满足方程组，则　 　．
10．（初中数学浙教版七下精彩练习4.1因式分解）若 ，则 　 　， 　 　.
11．分解因式： 　 　.
12．（2024七下·西湖期中）若，，则多项式　 　．
13．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值　 　．
三、阅读理解题
14．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x)3.
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式：
（3）猜想 分解因式的结果.
15． 先阅读下列因式分解的过程， 再回答问题：
例
例 =
（1） 分解因式： 　 　；
　 　；
　 　.
（2） 分解因式 (要求写出关键步骤)：
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： ∵(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)=(13x-17)(19x-31-11x+23)=(13x-17)(8x-8)，
而 (19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，
∴a=13，b=-17，c=-8，
∴a+b+c=13+（-17）+（-8）=-12.
故答案为：A.
【分析】首先将(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)利用提取公因式法分解因式，即可得出a、b、c的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（-2）2020-2×（-2）2019
=（-2）2019×[（-2）-2]
=（-2）2019×（-4）
=-22019×（-22）
=22021；
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求解.
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a（x-y）3-9b（y-x）2
=3a（x-y）3-9b（x-y）2
=3（x-y）2·a（x-y）-3（x-y）2·3b
=3（x-y）2[a（x-y）-3b]
即提取的公因式为3（x-y）2；
故答案为：C.
【分析】根据提公因式法进行求解即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2（x-5）2-a（x-5）
=a（x-5）[a（x-5）-1]
=a（x-5）（ax-5a-1），
故答案为：C.
【分析】将原式利用提公因式法因式分解后即可求得答案．
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵2x2-4xy+2x=2x（x-2y+1），
∴另一个因式为x-2y+1.
故答案为：B.
【分析】利用提公因式法，将此多项式进行因式分解，即可得到另一个因式。
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；公因式的概念
【解析】【解答】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选：D．
【分析】本题考查了对因式分解方法，以及代数式求值，化简a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]，将a+b＝5，ab＝6，代入计算，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；因式分解﹣提公因式法；等式的基本性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解： ，所以必有两个数互为相反数。
故答案为：选B
【分析】此题首先去分母并整理使方程右边为0，然后将方程的左边分解因式，得出（a+b）（a+c）（b+c）=0，再根据有理数的乘法，几个数相乘等于0，至少有一个为0即可得出结果。
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于所求多项式可分解因式为，因此可把和看作整体，解关于它们的二元一次方程组即可得，，最后再整体代入计算即可．
10．【答案】ab；a2
【知识点】单项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
=
∴，M=ab，
∴N= a3b÷ ab=a2.
故答案为：ab，a2.
【分析】先进行整式的乘法运算将右式展开，然后根据恒等的关系分别列等式求解，即可求出结果.
11．【答案】2（3x+y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（3x+y）2-（x-3y）（3x+y）=（3x+y）（3x+y-x+3y）=2（3x+y）（x+2y）.
故答案为：2（3x+y）（x+2y）.
【分析】利用提公因式法进行因式分解，即可得出答案.
12．【答案】450
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：原式
，
当，时，
原式
；
故答案：．
【分析】先将整式化为，整体代入解题即可．
13．【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
14．【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
15．【答案】（1）；；
（2）解：x-1-x（x-1）+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=(x-1)-x（x-1）+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=(x-1)(1-x)+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=-(x-1)（x-1）+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=-（x-1）2+x（x-1）2-x（x-1）3+x（x-1）4
=-（x-1）2(-1+x)-x（x-1）3+x（x-1）4
=（x-1）2(x-1)-x（x-1）3+x（x-1）4
=（x-1）3-x（x-1）3+x（x-1）4
=（x-1）3(1-x)+x（x-1）4
=-（x-1）3（x-1）+x（x-1）4
=-（x-1）4+x（x-1）4
=（x-1）4(-1+x)
=（x-1）4(-1+x)
=（x-1）4(x-1)
=（x-1）5.
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：（1）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
=(1+x)+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
=(1+x)·（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3
=（1+x）2+x（1+x）2+x（1+x）3
=(1+x)（1+x）2+x（1+x）3
=（1+x）3+x（1+x）3
=(1+x)·（1+x）3
=（1+x）4.
同理：可以得到：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+x（1+x）4=（1+x）5.
1+x+x（1+x）+x（1+x）2+···+x（1+x）n=（1+x）n+1.
【分析】（1）通过观察可以发现：如果把x+1看做是一个整体，其他各项都含有公因式x+1，所以采取提公因式法先把前两项 1+x+x（1+x）提取公因式x+1后会发现，变成了(1+x)·（1+x）即（1+x）2，和后面的一项又含有公因式（1+x）2，提取公因式(x+1)2后会发现，变成了(1+x)3，继续提取，以此类推，可以推出结果为（1+x）4.
同理，按照上面的规律可以得到：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+x（1+x）4=（1+x）5.1+x+x（1+x）+x（1+x）2+···+x（1+x）n=（1+x）n+1.
（2）通过观察可以发现：如果把x-1看做是一个整体，其他各项都含有公因式x-1，所以采取提公因式法先把前两项 x-1-x（x-1）提取公因式x-1后会发现，变成了(x-1)(1-x)即-(x-1)（x-1）=-（x-1）2，和后面的一项又含有公因式（x-1）2，提取公因式(x-1)2后会发现，变成了(x-1)3，继续提取，以此类推，可以推出结果为（x-1）5.
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