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（培优版）浙教版数学七下 5.1分式的意义 同步练习
一、选择题
1．已知 则代数式 的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．（2024七下·越城期末）若正整数，满足，则的最大值为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
3．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册5.1分式 同步练习---基础篇）分式 的值为零，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．任意实数
4．使分式的值为0的x的值是（　　）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
5．用甲乙两种饮料按照x：y(重量比)混合配制成一种新饮料，原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元。现甲成本上升10%，乙下降10%，而新饮料成本恰好保持不变，则x：y= 。
A．4：5 B．3：4 C．2：3 D．1：2
6．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知=3，则=　 　.
8．（2023七下·江北期末）若分式的值为零，则x的值是　 　．
9．（2024七下·金华期末）若，，则的值为　 　．
10．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口　 　 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
11．（2024七下·重庆市月考）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为　 　；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为　 　．
三、解答题
12．（2024七下·新会期中）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数．
13．（2017七下·大同期末）已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
14．（2021七下·北仑期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y= ，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为 ．问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解　 　．
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）
2020－2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵x2-3x-m=0，
∴m=x2-3x，
∴====.
故答案为：D.
【分析】先把x2-3x-m=0，变形为m=x2-3x，再把m=x2-3x代入，约分后即可.
2．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
，
，为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
故选：C．
【分析】用含n的式子表示m，然后根据整除解题即可．
3．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
|x|﹣3=0且x+3≠0，
解得，x=3．
故答案为：A．
【分析】分式的值为0，即分式的分子为0，分子不为0；绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.
4．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x2-1=0且x2-3x+2≠0，
∴x=±1，（x-1）（x-2）≠0，
∴x=±1，x≠1且x≠2，
∴x=﹣1.
故答案为：B.
【分析】根据分式的值为0的条件可得：分式的分子为0且分母不为0即可解答.
5．【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】根据题意可知：5x+4y=5.5x+3.6y，
0.5x=0.4y，
∴x：y=4：5．
故选A．
【分析】根据原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元．现甲成本上升10%，乙下降10%，而新饮料成本恰好保持不变，继而列方程求解即可．
6．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴y-2x=3xy，
∴2x-y=-3xy，
∴.
故答案为：.
【分析】将已知方程去分母整理可得2x-y=-3xy，从而将待求式子变形为，然后整体代入分子、分母分别计算后，约分可得答案.
8．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
解得x=2．
故答案为：2.
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以，据此求出x的值是多少即可．
9．【答案】1
【知识点】分式的值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：1．
【分析】先利用幂的乘方计算法则求出，再求得，然后把所求式子通分后整体代入求值．
10．【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
11．【答案】 ；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的值；二元一次方程的解；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设为“霸气数”，令，（且，整数），则
再设则，，
∴，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
∴可以为或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或，
∴最大的“霸气数”为，
∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，（且，整数），
∴，，
∴，
∵为整数，
∴或或或，
∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
∴，或，或，或，或，或M=37，M=50或，或，；
∴可以为或或或或1850或或或，
∴自然数的最大值为，
故答案为：，．
【分析】根据“霸气数”的定义，为“霸气数”，令，（且，整数），则再设则，，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得到最大的“霸气数”，表示出和，可得，于是有为整数时，或或或，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得满足条件的自然数的最大值.
12．【答案】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数，由题意可得方程组：，
将代入②中得，消去x得：
即：
∵为正整数
∴的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
【知识点】分式的值；二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次不定方程的运用，设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意，得出方程组，利用代入消元法，求得，结合n为正整数，求得y的值，进而的n的取值，得到答案.
13．【答案】解：由 ，解得 ，
∵x，y，z都不为零，
∴ = .
【知识点】分式的值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】对于本题涉及到三元一次方程组的解答，首先将z看成已知数，解出含有z表示的关于x和y的不等式的解，再将含z表示的x和y的值代入所求的代数式中进行化简.
14．【答案】（1）
（2）B
（3）解：设购买笔记本x本，钢笔y支.
3x+5y=48
所以，方案为：
　 x y
方案一 1 9
方案一 6 6
方案一 11 3
【知识点】分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）∵x、y为正整数
∴方程3x﹣y=6的正整数解如下表所示，
x 3 4 5 6 7 8 ...
y 3 6 9 12 15 18 ...
（2）∵ 为自然数
∴12能整除x-3
又∵x-3＞0
∴x-3=1，或2、3、4、6、12
∴正整数x的值有6个.
故答案为：B.
【分析】(1)把握住x、y都是正整数，列举取值，当x=1时，或x=2时等等，选择合适的解即可.
（2） 为自然数，说明x-3=1，或2、3、4、6、12，所以x=4，或5、6、7、9、15.
（3）根据题意列二元一次方程，因为笔记本和钢笔的数量都是正整数，所以，可以通过列举求解.
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 5.1分式的意义 同步练习
一、选择题
1．已知 则代数式 的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵x2-3x-m=0，
∴m=x2-3x，
∴====.
故答案为：D.
【分析】先把x2-3x-m=0，变形为m=x2-3x，再把m=x2-3x代入，约分后即可.
2．（2024七下·越城期末）若正整数，满足，则的最大值为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
，
，为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
故选：C．
【分析】用含n的式子表示m，然后根据整除解题即可．
3．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册5.1分式 同步练习---基础篇）分式 的值为零，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．任意实数
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
|x|﹣3=0且x+3≠0，
解得，x=3．
故答案为：A．
【分析】分式的值为0，即分式的分子为0，分子不为0；绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.
4．使分式的值为0的x的值是（　　）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x2-1=0且x2-3x+2≠0，
∴x=±1，（x-1）（x-2）≠0，
∴x=±1，x≠1且x≠2，
∴x=﹣1.
故答案为：B.
【分析】根据分式的值为0的条件可得：分式的分子为0且分母不为0即可解答.
5．用甲乙两种饮料按照x：y(重量比)混合配制成一种新饮料，原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元。现甲成本上升10%，乙下降10%，而新饮料成本恰好保持不变，则x：y= 。
A．4：5 B．3：4 C．2：3 D．1：2
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】根据题意可知：5x+4y=5.5x+3.6y，
0.5x=0.4y，
∴x：y=4：5．
故选A．
【分析】根据原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元．现甲成本上升10%，乙下降10%，而新饮料成本恰好保持不变，继而列方程求解即可．
6．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
二、填空题
7．已知=3，则=　 　.
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴y-2x=3xy，
∴2x-y=-3xy，
∴.
故答案为：.
【分析】将已知方程去分母整理可得2x-y=-3xy，从而将待求式子变形为，然后整体代入分子、分母分别计算后，约分可得答案.
8．（2023七下·江北期末）若分式的值为零，则x的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
解得x=2．
故答案为：2.
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以，据此求出x的值是多少即可．
9．（2024七下·金华期末）若，，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：1．
【分析】先利用幂的乘方计算法则求出，再求得，然后把所求式子通分后整体代入求值．
10．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口　 　 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
11．（2024七下·重庆市月考）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为　 　；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为　 　．
【答案】 ；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的值；二元一次方程的解；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设为“霸气数”，令，（且，整数），则
再设则，，
∴，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
∴可以为或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或，
∴最大的“霸气数”为，
∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，（且，整数），
∴，，
∴，
∵为整数，
∴或或或，
∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
∴，或，或，或，或，或M=37，M=50或，或，；
∴可以为或或或或1850或或或，
∴自然数的最大值为，
故答案为：，．
【分析】根据“霸气数”的定义，为“霸气数”，令，（且，整数），则再设则，，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得到最大的“霸气数”，表示出和，可得，于是有为整数时，或或或，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得满足条件的自然数的最大值.
三、解答题
12．（2024七下·新会期中）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数．
【答案】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数，由题意可得方程组：，
将代入②中得，消去x得：
即：
∵为正整数
∴的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
【知识点】分式的值；二元一次方程的解；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次不定方程的运用，设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意，得出方程组，利用代入消元法，求得，结合n为正整数，求得y的值，进而的n的取值，得到答案.
13．（2017七下·大同期末）已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
【答案】解：由 ，解得 ，
∵x，y，z都不为零，
∴ = .
【知识点】分式的值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】对于本题涉及到三元一次方程组的解答，首先将z看成已知数，解出含有z表示的关于x和y的不等式的解，再将含z表示的x和y的值代入所求的代数式中进行化简.
14．（2021七下·北仑期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y= ，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y=12的正整数解为 ．问题：
（1）请你直接写出方程3x﹣y=6的一组正整数解　 　．
（2）若 为自然数，则满足条件的正整数x的值有（　　）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）
2020－2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案？
【答案】（1）
（2）B
（3）解：设购买笔记本x本，钢笔y支.
3x+5y=48
所以，方案为：
　 x y
方案一 1 9
方案一 6 6
方案一 11 3
【知识点】分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】（1）∵x、y为正整数
∴方程3x﹣y=6的正整数解如下表所示，
x 3 4 5 6 7 8 ...
y 3 6 9 12 15 18 ...
（2）∵ 为自然数
∴12能整除x-3
又∵x-3＞0
∴x-3=1，或2、3、4、6、12
∴正整数x的值有6个.
故答案为：B.
【分析】(1)把握住x、y都是正整数，列举取值，当x=1时，或x=2时等等，选择合适的解即可.
（2） 为自然数，说明x-3=1，或2、3、4、6、12，所以x=4，或5、6、7、9、15.
（3）根据题意列二元一次方程，因为笔记本和钢笔的数量都是正整数，所以，可以通过列举求解.
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