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7.2.2　复数的乘、除运算
课后训练巩固提升
A组
1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于(　　)
A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i
解析:因为z1=1+i,z2=3-i,
所以z1·z2=(1+i)(3-i)=3-i2+2i=4+2i.
答案:A
2.已知=b+i(a,b∈R),则a+b等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
解析:=b+i,∴a+2i=-1+bi.
∴a=-1,b=2,∴a+b=1.
答案:B
3.复数的虚部是(　　)
Ai B.- C.-i D
解析:=-i,其虚部为,故选D.
答案:D
4.等于(　　)
A.0 B.2i C.-2i D.4i
解析:=-i,=i,=-i,=i,
=0.
答案:A
5.(多选题)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A.i3(1+i)2 B.i2(1-i)2 C. D.()2
解析:i3(1+i)2=-i·2i=2,i2(1-i)2=-1×(-2i)=2i,=i,()2==-1,故选项B,C的运算结果为纯虚数,故选BC.
答案:BC
6.若1+3i是关于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为(　　)
A.3+i B.1-3i C.3-i D.-1+3i
解析:根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,两个虚数根互为共轭虚数,故另一个根为1-3i.
答案:B
7.复数=　　　　　.
解析:由复数的运算法则,得=4-i.
答案:4-i
8.在复数范围内,方程3x2+2x+1=0的根为　　　　　.
解析:因为Δ=22-4×3×1=-8<0,
所以方程的根为x=.
答案:
9.若z+=4,z·=8,则=　　　　　.
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由z+=4,z·=8,得解得
即z=2+2i,=2-2i或z=2-2i,=2+2i,
=-i或=i.故=±i.
答案:±i
10.计算:(1);(2);
(3)()6+.
解:(1)=-1-3i.
(2)
=i.
(3)()6+=[]6+=i6+i=-1+i.
11.已知1-i是关于x的方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根,求实数a,b的值.
解法一:因为1-i是关于x的方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个根,所以a(1-i)2+b(1-i)+1=0,
即-a+b+1-(2a+b)i=0,
根据复数相等的定义,得
解得a=,b=-.
解法二:根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,1+i是方程的另一个根,
得
解得a=,b=-.
B组
1.若复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z等于(　　)
A.-2-2i B.-2+2i C.2-2i D.2+2i
解析:由题意可得,z-i==2+i,即z=2+2i.
答案:D
2.若z+=2,(z-)i=2,则z等于(　　)
A.1+i B.-1-i
C.-1+i D.1-i
解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
由z+=2,得2a=2,即a=1.
又由(z-)i=2,得2bi·i=2,即b=-1.
故z=1-i.
答案:D
3.已知复数z1=a+2i,z2=a+(a+3)i,且z1z2>0,则实数a的值为(　　)
A.0 B.0或-5 C.-5 D.以上均不对
解析:z1z2=(a+2i)·[a+(a+3)i]=(a2-2a-6)+(a2+5a)i,由z1z2>0知z1z2为实数,且为正实数,
因此应满足解得a=-5或a=0(舍去).
故a=-5.
答案:C
4.(多选题)下面关于复数z=的结论正确的是(　　)
A.|z|= B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1
解析:A项中,∵z==-1-i,
∴|z|=,故A正确;
B项中,z2=(-1-i)2=2i,故B正确;
C项中,=-1+i,故C错误;
D项中,z的虚部为-1,故D正确.
答案:ABD
5.若复数的实部与虚部分别为a,b,则点A(b,a)必在下列哪个函数的图象上(　　)
A.y=2x B.y=
C.y=|x| D.y=-2x2-1
解析:因为=-i,所以a=-,b=,所以A(,-),把点A的坐标分别代入选项,只有D选项满足,故选D.
答案:D
6.若=1-bi,其中a,b∈R,则a=　　　　,b=　　　　.
解析:∵a,b∈R,且=1-bi,
则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,
∴解得
答案:2　-1
7.在复数范围内方程x2-2x+5=0的两根为α,β,则|α|+|β|等于　　　　　.
解析:因为方程x2-2x+5=0,所以Δ=(-2)2-4×5=-16<0,所以x==1±2i,
若令α=1+2i,则β=1-2i,则|α|+|β|=|1+2i|+|1-2i|==2.
答案:2
8.已知复数z=.
(1)求复数z;
(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.
解:(1)z==1+i.
(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,
得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,
整理得a+b+(2+a)i=1-i,
得解得
9.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求这个实根及实数k的值.
解:设x=x0是方程的实根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
由复数相等的条件得+kx0+2=2x0+k=0,解得
即方程的实根为x=或x=-,相应的k的值为k=-2或k=2.
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