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7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课后训练巩固提升
1.已知复数z1=,z2=,则z1z2的代数形式是(　　)
A B
Ci Di
解析:z1z2=[cos+isin()]=i.故选D.
答案:D
2.2÷的三角形式是(　　)
A.2
B
C
D
解析:原式=[cos(-)+isin(-)],故选C.
答案:C
3.在复平面内,将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转,得到向量,则对应的复数是(　　)
Ai B.-i
C.-i Di
解析:i=cos+isin,将绕原点按顺时针方向旋转得到对应的复数为cos+isini.
答案:A
4.(多选题)设z1=,z2=1+i,z3=2,则(　　)
A.z1z2=2
B=1
C.z1z2z3=-2+2i
D.arg z1+arg z2+arg z3=
解析:∵z1=,z2=(cos+isin),z3=2,
∴z1z2=2(cos 0+isin 0)=2,
=1×cos+isin=i,z1z2z3=2[cos(-)+isin(-)]=4(cos+isin)
=-2+2i.
∵arg z1=,arg z2=,arg z3=,
∴arg z1+arg z2+arg z3=
答案:AC
5=　　　　　(用代数形式表示).
解析:原式=3[cos+isin]
=3
=3
=-3-3i.
答案:-3-3i
6.已知复平面内向量对应的复数为2+i,点A对应的复数为-1,现将绕点A按顺时针方向旋转90°后得到的向量为,则点C对应的复数为　　　　　.
解析:向量对应的复数为=-(2+i)i=1-2i,,
对应的复数为-1+(1-2i)=-2i.
即点C对应的复数为-2i.
答案:-2i
7.写出下列复数z的倒数的模与辐角:
(1)z=10;
(2)z=2
解:(1)因为
=
=,
所以的模为,辐角为-+2kπ(k∈Z).
(2)因为复数2i,模r=2,在复平面内对应的点在第四象限,且cos θ=,
取θ=-,所以2(sin+icos)=2[cos+isin].
=(cos+isin).
所以的模为,辐角为+2kπ(k∈Z).
8.求证:
(1)[r(cos θ+isin θ)]2=r2(cos 2θ+isin 2θ);
(2)[r(cos θ+isin θ)]3=r3(cos 3θ+isin 3θ).
证明:(1)[r(cos θ+isin θ)]2=r2(cos θ+isin θ)2=r2(cos2θ-sin2θ+2icos θsin θ)=r2(cos 2θ+isin 2θ),
故待证式成立.
(2)[r(cos θ+isin θ)]3=[r(cos θ+isin θ)]2·[r(cos θ+isin θ)]=r2(cos 2θ+isin 2θ)·r(cos θ+isin θ)
=r3[cos(2θ+θ)+isin(2θ+θ)]=r3(cos 3θ+isin 3θ),故待证式成立.
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