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第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知=(2,8),=(-7,2),则等于(　　)
A.(3,2) B
C.(-3,-2) D
解析:=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6),
(-9,-6)=(-3,-2).
答案:C
2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.
答案:B
3.设D为△ABC所在平面内一点,=-,若=(λ∈R),则λ等于(　　)
A.2 B.3 C.-2 D.-3
解析:因为=-,
所以3=-+4,
则3-3=-,即3,
故=-3,则λ=-3.
答案:D
4.在△ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则()等于(　　)
A.- B.- C D
解析:由题意可知点P是△ABC的重心,则=0,故()=-=-=-
答案:A
5.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为(　　)
A.2 B.4 C D.3
解析:由三角形的面积公式,得2=acsin B=c,得c=4
∵b2=a2+c2-2accos B=1+32-2×1×4=25,
∴b=5.
=2R(R为△ABC外接圆的半径),
∴R=
答案:C
6.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:|a-3b|=|3a+b| |a-3b|2=|3a+b|2 a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,
因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2 a·b=0 a⊥b,
即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充要条件.故选C.
答案:C
7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析:由bcos C+ccos B=asin A及正弦定理,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A.
∵B+C=π-A,
∴sin A=sin2A.
又A为△ABC的内角,
∴sin A=1,A=90°,
∴△ABC为直角三角形.
答案:A
8.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15 min时,两船的距离是(　　)
A km B km
C km D km
解析:设当行驶15 min时,甲船行驶到M处,乙船行驶到N处.如图,
由题意知AM=8=2,BN=12=3,MB=AB-AM=3-2=1,
由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos 120°=1+9-2×1×3=13,故MN= km.
答案:B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设向量a=(1,0),b=,则下列结论正确的是(　　)
A.|a|=|b| B.|a-b|=
C.a-b与b垂直 D.a∥(a-2b)
解析:|a|=1,|b|=,故A不正确;
∵a-b=,
∴|a-b|=,故B正确;
∴(a-b)·b==0,
∴(a-b)⊥b,故C正确;
∵a-2b=(0,-1),
∴a·(a-2b)=0,
∴a⊥(a-2b),故D不正确.
答案:BC
10.在△ABC中,下列说法正确的是(　　)
A.>0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件
B.<0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件
C.“||=||”是“A为直角”的充要条件
D.“||>||”是“A为锐角”的充要条件
解析:>0,∴||||cos A>0,
∴cos A>0,∴A为锐角,但是并不能判定△ABC是锐角三角形,故A不正确.
由<0,可得A为钝角,即△ABC是钝角三角形.
反之,△ABC是钝角三角形不一定能得出A为钝角,故B正确.
||=|| ||=|| ||2=||2=0 A为直角,
故C正确.
同样地,||>||>0 A为锐角,故D正确.
答案:BCD
11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)
A.若,则点M是边BC的中点
B.若=2,则点M在边BC的延长线上
C.若=-,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
解析:A项,,即,则点M是边BC的中点,所以A正确;
B项,=2,即,则点M在边CB的延长线上,所以B错误;
C项,如图,设BC的中点为D,则=-=2,由重心性质可知C正确;
D项,=x+y,且x+y=2=2x+2y,2x+2y=1,
设=2,因为=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,
所以△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确.
答案:ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　　　.
解析:因为2asin B=b,
所以2sin Asin B=sin B,
所以sin A=.
因为△ABC为锐角三角形,
所以cos A=.
因为bc=6,b+c=5,
所以b=2,c=3或b=3,c=2.
所以a2=b2+c2-2bccos A=7,所以a=(负值舍去).
答案:
13.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,设a,c的夹角为θ,则cos θ=　　　　　.
解析:∵a,b为单位向量,
∴|a|=|b|=1.
又a·b=0,c=2a-b,
∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,
∴|c|=3.
又a·c=2|a|2-a·b=2,
∴cos θ=.
答案:
14.在△ABC中,∠ABC=,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　.
解析:在△ABD中,由正弦定理,得.
因为AB=4,∠ADB=,AC==5,
所以sin∠BAC=,cos∠BAC=,
所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cos·cos∠BAC+sinsin∠BAC=.
答案:
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π.
(1)求|a|的值;
(2)求证:a+b与a-b互相垂直.
(1)解:∵|a|==1,
∴|a|=1.
(2)证明:∵|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=sin2β+cos2β=1,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
16.(15分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将表示;
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
解:(1)当m=8时,=(8,3),
设=λ1+λ2(λ1,λ2∈R),
则(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),
得
解得
故=-3.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有不共线,又=(3,0)-(2,-1)=(1,1),
=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),
则有1×4-(m-2)×1≠0,得m≠6.
17.(15分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.
解:(1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,
得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,
即bc=b2+c2-a2,
则cos A=,
∵0°∴A=60°.
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
∵sin B+sin C=,
即sin B+sin(120°-B)=,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=,
∴sin B+cos B=,
即sin(B+30°)=1.
∵0°∴30°∴B+30°=90°,B=60°.
∴A=B=C=60°,△ABC为正三角形.
18.(17分)如图,A,B两个小岛相距21 n mile,B岛在A岛的正南方,现甲船从A岛出发,以9 n mile/h的速度向B岛方向行驶,而乙船同时以6 n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间时,两船相距最近 求出两船的最近距离.
解:设行驶t时后,甲船行驶了9t n mile到达C处,乙船行驶了6t n mile到达D处.
当9t<21,即t<时,C在线段AB上,如图,此时BC=21-9t.
BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,
由余弦定理知CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t·=63t2-252t+441=63(t-2)2+189.
当t=2时,CD取得最小值3.
②当t=时,C与B重合,
则CD=6×=14>3.
③当t>时,C在线段AB的延长线上,此时BC=9t-21,
则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t·cos 60°=63t2-252t+441=63(t-2)2+189>189.
综上可知,当t=2时,CD取最小值3.
故行驶2时时,甲、乙两船相距最近,为3n mile.
19.(17分)(2023·全国甲高考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2.
(1)求bc;
(2)若=1,求△ABC的面积.
解:(1)由余弦定理,知cos A=,
则=2bc=2,得bc=1.
(2)由正弦定理,有=1.①
在△ABC中,A+B+C=π,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.
①式变形为sin Acos B-sin Bcos A-sin B=sin Acos B+cos Asin B,即-sin B=2sin Bcos A.
∵0∵0由(1)知bc=1,故S△ABC=bcsin A=×1×sin×1×.
∴A=B=C=60°,△ABC为正三角形.
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