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第1课时　平面向量及其应用
课后训练巩固提升
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b等于(　　)
A.(-2,-1) B.(-2,1)
C.(-1,0) D.(-1,2)
解析:a=b=,故a-b=(-1,2).
答案:D
2.若点D在三角形ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为(　　)
A. B. C. D.
解析:因为=4=r+s,
所以)=r+s,
所以r=,s=-,
所以3r+s=.
答案:C
3.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于(　　)
A. B.2 C. D.10
解析:因为a⊥c,所以2x-4=0,即x=2.
因为b∥c,所以2y=-4,即y=-2.
故a=(2,1),b=(1,-2),则a+b=(3,-1),
即|a+b|=.
答案:C
4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为(　　)
A. B.1+ C.1 D.
解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C及C=60°,得c2=a2+b2-ab,因为(a+b)2-c2=4,
所以a2+b2-c2+2ab=4,得ab=.
答案:A
5.(多选题)在△ABC中,若AB=3,AC=2,BC=,则 (　　)
A.sin A= B.△ABC的面积为
C. D.BC边上的高线长为
解析:在△ABC中,cos A=.
A中,sin A=,故A正确;
B中,△ABC的面积S=AB·ACsin A=,故B正确;
C中,=||||cos A=3×2×,故C正确;
D中,由B项知△ABC的面积S=,设BC边上的高线为hBC,则S=BC·hBC=,得hBC=,故D错误.
答案:ABC
6.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于　　　　　.
解析:a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,
故a·b=-1×+2×1=.
答案:
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=　　　　　, c=　　　　　.
解析:由正弦定理,得,
即sin B=.
由余弦定理的推论,得cos A=,得,即c=3.
答案:　3
8.已知菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,=2,则的值为　　　　　.
解析:(方法一:用基底表示)∵=2,
∴.
∵菱形ABCD的边长为a,∠DAB=60°,
∴||=||=a,
=||||cos 120°=-a2.
∵,
∴=()·()
=·()
=-
=-a2+a2+a2=-.
(方法二:用坐标表示)以AC,BD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系(图略).
则A,B,C,D(0,a),E.
则=(0,-a).
故=-.
答案:-
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin A=acos B.
(1)求B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
解:(1)∵bsin A=acos B,
∴sin Bsin A=sin Acos B.
∵A为△ABC的内角,∴sin A>0,∴tan B=,
∵0(2)∵sin C=2sin A,∴c=2a.
由(1)知B=,∵b2=a2+c2-2accos B,
∴a2+(2a)2-2a·2a·=9,
∴a=,c=2.
10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,
所以a·b=-6,
所以cos θ==-.
因为0≤θ≤π,所以θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,即|a+b|=.
(3)因为的夹角θ=,
所以∠ABC=π-.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
所以S△ABC=|||sin∠ABC=×4×3×=3.
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