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第1课时　余弦定理
课后训练巩固提升
A组
1.在△ABC中,已知a=2,b=9,C=150°,则c等于(　　)
A.7 B.8 C D.10
解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=12+81-2×29=147.故c==7
答案:A
2.在△ABC中,a=7,b=4,c=,则△ABC的最小角为(　　)
A B C D
解析:∵a>b>c,
∴C为最小角,由余弦定理的推论,得cos C=
又C∈(0,π),∴C=
答案:B
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acos B=c,则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析:由余弦定理的推论及2acos B=c,得2a=c,则a2-b2=0,即a=b.
故△ABC为等腰三角形.
答案:C
4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A等于(　　)
A B C.- D.-
解析:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D,由题意得BD=AD=BC,故CD=BC,AB=BC,AC=BC,
由余弦定理的推论,得cos∠BAC==-
答案:C
5.在△ABC中,若a=b=1,c=,则C=　　　　　.
解析:由余弦定理的推论,得cos C==-
∵0°答案:120°
6.在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于　　　　　.
解析:在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,设AB=x,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,化简得x2-2x+1=0,解得x=1,即AB=1.
答案:1
7.在△ABC中,若b=1,c=,A=,则a=　　　　　,sin B=　　　　　.
解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=12+()2-2×1cos=1,即a=1.
则a=b,得A=B=故sin B=
答案:1　
8.在△ABC中,已知cos2,试判断△ABC的形状.
解:在△ABC中,由已知cos2,
得,即cos A=
根据余弦定理的推论,得
则b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2.
故△ABC是直角三角形.
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)2=b2-ac.
(1)求cos B的值;
(2)若b=,且a+c=2b,求ac的值.
解:(1)由(a-c)2=b2-ac,可得a2+c2-b2=ac.
则,即cos B=
(2)因为b=,cos B=,由余弦定理,得b2=13=a2+c2-ac=(a+c)2-ac,又a+c=2b=2,
所以13=52-ac,解得ac=12.
二、B组
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,且c=2a,则cos B等于(　　)
A B C D
解析:b2=ac,且c=2a,由余弦定理的推论得cos B=
答案:B
2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acos A,则b等于(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:由题意可设a=b+1,c=b-1,b∈N*,且b≥2.
∵3b=20acos A,
∴3b=20(b+1),
整理得7b2-27b-40=0,解得b=5.
答案:A
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的大小为(　　)
A B C D
解析:∵(a2+c2-b2)tan B=ac,
tan B=,
即cos Btan B=,sin B=,
∵B∈(0,π),∴B=或B=
答案:D
4.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,7) B.(1,5) C.(,5) D.(,5)
解析:∵b=3,c=4,且△ABC是锐角三角形,
∴cos A=>0,且cos C=>0,
∴7答案:C
5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若cos A=,b+c=2a,则△ABC的形状为　　　　　　　.
解析:由余弦定理的推论及cos A=,
得,即b2+c2-a2=bc.
∵b+c=2a,∴a=,
∴b2+c2-=bc,即(b-c)2=0,
∴b=c,于是a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
答案:等边三角形
6.在△ABC中,a+b=10,若cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,则△ABC的周长的最小值为　　　　　.
解析:∵cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,解方程得x=-或x=2(不合题意,舍去).
∴cos C=-.
又0°由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=100-ab=100-a(10-a)=(a-5)2+75,
当a=5时,c取最小值5,
∴△ABC的周长的最小值为10+5.
答案:10+5
7.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.
解:(1)∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
∴a2=b2+c2-bc.
∵a2=b2+c2-2bccos A,
∴2cos A=1,∴cos A=
∵A∈(0,π),∴A=
(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=,
则()2=b2+c2-2bc=b2+c2-bc.①
∵b+c=2,与①联立,解得bc=3,
∴b=c=,
于是a=b=c=,即△ABC为等边三角形.
8.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(sin B,1-cos B)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为
(1)求角B的大小;
(2)若b=,求a+c的取值范围.
解:(1)∵m=(sin B,1-cos B),n=(2,0),
∴m·n=2sin B.
又|m|==2,
∵0∴0<,∴sin>0,∴|m|=2sin
而|n|=2,∴cos θ==cos,
,∴B=
(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-(a+c)2,
当且仅当a=c时取等号,
∵b=,∴(a+c)2≤4,∴a+c≤2.
又a+c>b=,1

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