资源简介

7.1.2　复数的几何意义
课后训练巩固提升
A组
1.在复平面内,复数z=1-i对应的点的坐标为(　　)
A.(1,i) B.(1,-i) C.(1,1) D.(1,-1)
解析:复数z=1-i的实部为1,虚部为-1,故其对应的点的坐标为(1,-1).
答案:D
2.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)
A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i
解析:因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以对应的复数为-2+i.
答案:B
3.已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于(　　)
A.-1+i B.1+i
C.-1+i或1+i D.-2+i
解析:因为|z|=2,所以=2,即a=±1,
又因为点(a,)位于第二象限,
所以a=-1,故z=-1+i.
答案:A
4.已知0A.(1,5) B.(1,3) C.(1,) D.(1,)
解析:∵||=|z|=,而0∴1答案:C
5.(多选题)在复平面内,若复数z对应的点为P,则下列说法正确的是(　　)
A.向量(O为坐标原点)的模就是复数z的模
B.若点P的坐标为(0,0),则复数z不存在
C.若点P在第一象限,则共轭复数对应的点Q在第二象限
D.若复数z满足|z|=1,则点P的集合构成的图形是一个单位圆
解析:由复数模的定义知A正确;B项中,若点P的坐标为(0,0),则复数z是实数0,故B不正确;C项中,因为复数与其共轭复数的对应点关于x轴对称,所以共轭复数对应的点Q在第四象限,故C不正确;由复数模的几何意义知,D正确.
答案:AD
6.在复平面内,若复数z=(m+1)+(m-1)i对应的点在直线x+y-4=0上,则实数m的值为　　　　　.
解析:由题意知点(m+1,m-1)在直线x+y-4=0上,即(m+1)+(m-1)-4=0,得m=2.
答案:2
7.在复平面内,已知复数z=3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1,则向量对应的复数为　　　　　.
解析:由题意知,点Z的坐标为(3,4),点Z关于原点的对称点Z1(-3,-4),故向量对应的复数为-3-4i.
答案:-3-4i
8.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为　　　　　　　　　　　　.
解析:由3-4i=x+yi(x,y∈R),得x=3,y=-4.
而|1-5i|=,
|x-yi|=|3+4i|==5,
|y+2i|=|-4+2i|=,
<5<,∴|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
9.在复平面内,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(m∈R),分别求出满足下列条件的复数z.
(1)在虚轴上;
(2)在实轴负半轴上;
(3)在直线y=x上.
解:(1)若复数z对应的点在虚轴上,则m2-m-2=0,
即m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.
(2)若复数z对应的点在实轴负半轴上,
则解得m=1,即z=-2.
(3)若复数z对应的点在直线y=x上,
则m2-m-2=m2-3m+2,得m=2,即复数z=0.
10.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|,在复平面内,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积.
解:|w|=|z|,而1≤|z|,故|w|≤2.
即w对应点的集合是以原点为圆心,半径为和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周),其面积为S=π[22-()2]=2π.
二、B组
1.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+yi在复平面内所对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵x+y+(x-y)i=3-i,
解得
∴复数x+yi所对应的点在第一象限.
答案:A
2.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为 (　　)
A.1+i B.2
C.1-i D.-1+i
解析:设复数z=a+bi(a,b∈R),则sin 120°=,cos 120°=,即b=2sin 120°=2,a=2cos 120°=-1,故z=-1+i.
答案:D
3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则在复平面内,复数z对应点的轨迹是(　　)
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
解析:由|z|2-2|z|-3=0,解得|z|=3或|z|=-1(舍),故选A.
答案:A
4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为(　　)
A.5 B.-2 C.-5 D
解析:设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为(O为坐标原点),
则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).
∵A,B,C三点共线,=t+(1-t),
即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a).
得解得
即a的值为5.
答案:A
5.在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为3-4i,如果点B关于原点的对称点为A,点A关于虚轴的对称点为C,那么向量对应的复数为　　　　　.
解析:∵点B的坐标为(3,-4),
∴点A的坐标为(-3,4),
∴点C的坐标为(3,4),
∴向量对应的复数为3+4i.
答案:3+4i
6.已知复数z=x-2+yi(x,y∈R)的模是2,则点(x,y)满足的式子是　　　　　　　　　　　　.
解析:由模的计算公式得=2,
即(x-2)2+y2=8.
答案:(x-2)2+y2=8
7.已知复数z表示的点在直线y=x上,且|z|=3,求复数z.
解:设z=a+bi(a,b∈R),
则b=a,且=3,
解得
因此z=6+3i或z=-6-3i.
8.设z=a+bi(a,b∈R),求在复平面内满足下列条件的点所组成的图形.
(1)|a|<2,且|b|<2;
(2)|z|≤2,且|b|>1;
(3)|z|=2,且a>b;
(4)1≤|z|≤2.
解:(1)在复平面内,满足不等式|a|<2的点组成位于两条平行直线x=±2之间的长条带状区域(不包括两条平行直线).满足不等式|b|<2的点组成位于两条平行直线y=±2之间的长条带状区域(不包括两条平行直线),两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为中心,边长等于4,各边分别平行于坐标轴的正方形内部的点,但不包括边界,如图①所示.
(2)不等式|z|≤2的解集对应的点是以原点为圆心,以2为半径的圆的内部及其边界上的点组成的图形.满足条件|b|>1的点是直线y=1以上及直线y=-1以下的点,两者的公共部分即为所求.故满足条件的点所组成的图形是以原点为圆心,以2为半径的圆被直线y=±1所截得的两个弓形,但不包括弦上的点,如图②所示.
(3)方程|z|=2对应点的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆周.满足条件a>b的点组成的图形是位于直线y=x下方的半平面,其中不包括直线y=x上的点.两者的公共部分即为所求,如图③所示.
(4)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点构成的集合;
不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1和该圆外部所有点构成的集合.
这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点构成的集合.所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界,如图④阴影部分所示.
1

展开更多......

收起↑