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(共50张PPT)
培优点 二　概率与其他知识的交汇问题
真题重做
(2023·新高考Ⅰ卷) 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率．
答案：记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2)求第i次投篮的人是甲的概率．

(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则 .记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．

命题预测
命题依据：与概率交汇融合的解答题应该是近几年高考考查的压轴题，既有综合性又有创新性，符合新高考改革特色．
预测角度1　与数列交汇的概率问题
预测1 某公司计划举办周年庆活动，其中设计了“做游戏赢奖金”环节，从所有员工中选取10名业绩突出的员工参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者投掷一枚均匀的骰子，初始分数为0，每次掷得点数为偶数得2分，点数为奇数得1分．连续投掷累计得分达到9分或10分时，游戏结束．
(1)设员工在游戏过程中累计得n分的概率为Pn.
①求P1，P2，P3；
②求证：数列{Pn－Pn－1}(2≤n≤9)是等比数列．
(2)得9分的员工，获得二等奖，得10分的员工，获得一等奖，若一等奖的奖金为二等奖的奖金的两倍，且该公司计划作为游戏奖励的预算资金不超过1万元，则一等奖的奖金最多不能超过多少元？(精确到1元)

得分秘籍
一方面要准确分析题中所涉及的事件是哪种事件类型，正确应用互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率乘法公式、条件概率和全概率公式；另一方面熟练掌握等差、等比数列的判定方法，求数列通项公式的方法和求数列前n项和的方法．
(1)记李明前两题累计获奖为X元，求X的分布列及数学期望；

X 0 10 30
P
(1)若PC的中点为F，求证：EF∥平面PAB；
(2)求四面体P－ABC的外接球表面积的取值范围；


[对点练2]　如图，已知四面体ABCD中，AB⊥BD，BC⊥CD，AD＝2BC＝2CD＝4，平面ABC⊥平面ACD.
(1)求证：AB⊥CD；

(3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为P1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为P2；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为P3.试比较P1，P2，P3的大小．
专题强化练
1．(15分)(2025·湖北黄冈模拟)在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入了比赛决胜局，且在该局中的比分为10∶10，接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超过对方2分时即可获得该局的胜利．已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6.比赛既是实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为p(0(1)求甲以12∶10的比分赢得比赛的概率；
答案：记第一球比赛甲运动员获胜的事件为A，第二球比赛甲运动员获胜的事件为B，由题意知P(B|A)＝0.8，且P(A)＝0.6，可知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.48.
即甲以 12∶10的比分赢得比赛的概率为0.48.
(2)求Pn与Pn＋1的关系；
答案：记甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为Pn，
则乙运动员在第n球比赛中获胜的概率为1－Pn，
所以Pn＋1＝0.8Pn＋p(1－Pn)＝(0.8－p)Pn＋p，
即Pn＋1＝(0.8－p)Pn＋p.
(3)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6，求p的取值范围．(参考知识：当c∈(0，1)时，若n→＋∞，则cn→0)

2．(15分)(2025·江苏南通模拟)在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，P，Q分别是AB，AC的中点．
(1)求证：四边形B1PQC1是矩形；
答案：证明：延长AA1，BB1，CC1交于点T，
过点T作TO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA.
在正三棱台ABC -A1B1C1中，AB＝2A1B1，△ABC是正三角形，
因为P，Q分别是AB，AC的中点，
所以BC∥PQ，且BC＝2PQ，
又BC∥B1C1，且BC＝2B1C1，
所以B1C1∥PQ，且B1C1＝PQ，四边形B1PQC1是平行四边形．
在正三棱台ABC -A1B1C1中，AB＝2A1B1，P是AB的中点，
所以A1B1∥AP，且A1B1＝AP，所以四边形A1B1PA是平行四边形，A1A∥B1P.
所以PQ⊥B1P.
所以四边形B1PQC1是矩形．
(2)若A1B1＝A1A，求直线AC与平面BCC1B1所成角的正弦值；
方法二　过O作Oy∥BC.
以O为坐标原点，OA，Oy，OT所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

(3)若一只电子猫从点A出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在n(n∈N*)次运动后电子猫仍停留在下底面ABC的概率为pn，求pn.

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