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(共41张PPT)
提分点 10　导数与不等式的证明
真题重做
1．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性．
答案：f′(x)＝aex－1(x∈R)，当a≤0时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)>0，得x>－ln a，令f′(x)<0，得x<－ln a，
所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．


2．(2023·新高考Ⅱ卷)(1)证明：当0答案：证明：令h(x)＝x－x2－sin x，
则h′(x)＝1－2x－cos x，令p(x)＝1－2x－cos x，
则p′(x)＝－2＋sin x<0，所以p(x)即h′(x)单调递减，又h′(0)＝0，
所以当0所以当0令g(x)＝sin x－x，则g′(x)＝cos x－1≤0，
所以g(x)单调递减，又g(0)＝0，
所以当0综上，当0(2)已知函数f(x)＝cos ax－ln (1－x2)，若x＝0是f(x)的极大值点，求a的取值范围．




命题预测
命题依据：利用导数证明不等式一直是高考命题热点，常以解答题的形式命制，难度中等，若以压轴题出现，则难度较大．
(2)证明：xf(x)>g(x)－1.
得分秘籍
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
(3)凹凸转化法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系．
[对点练1]　已知函数f(x)＝ln (x＋1)＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：f(x)≤ex＋ax.
预测角度2　双变量不等式的证明
预测2 已知函数 f(x)＝(x－a)ln x－x，a∈R.
(1)若函数f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)设x1，x2(x1(ⅰ)ln x1＋ln x2<－2；
(ⅱ)x2－x1

[对点练2]　(2025·江西赣州模拟)已知函数f(x)＝ex－mx(其中e为自然对数的底数)有两个零点x1，x2.
(1)求m的取值范围；
答案：由f(x)＝ex－mx得f′(x)＝ex－m.
当m≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，不符合题意．
当m>0时，由f′(x)>0得x>ln m，由f′(x)<0得x∴f(x)在(－∞，ln m)上单调递减，在(ln m，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(ln m)＝eln m－m ln m＝m－m ln m<0，故m>e.
∵f(0)＝1>0，x→＋∞时，f(x)→＋∞，
∴f(x)在(0，ln m)和(ln m，＋∞)内分别存在一个零点，符合题意，
∴m的取值范围为(e，＋∞)．


专题强化练
1．(15分)(2025·河南南阳模拟)已知函数f(x)＝ex－ex＋1.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
答案：函数f(x)＝ex－ex＋1，f′(x)＝ex－e，则f′(1)＝0，又f(1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝0.
(2)证明： x≥1，f(x)≥x－ln x.
2．(15分)(2025·河北秦皇岛模拟)设函数f(x)＝(x－2)ln x＋1.
(1)求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：f(x)＋ex>x＋1.

(2)若f(x)有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m，证明：M－m<2.

4．(15分)(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)＝2x ln x－x2＋1.
(1)证明：f(x)<1；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)若02.
答案：由(2)可知，若00，不合题意；若1≤x1要证x1＋x2>2，只需证x2>2－x1，
结合f(x)在(0，＋∞)上单调递减，只需证f(x2)由f(x1)＋f(x2)＝0得f(x2)＝－f(x1)，
故只需证－f(x1)0　①.
设F(x)＝f(x)＋f(2－x)，0

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