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高三数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 设 是虚数单位,则 “复数 为纯虚数” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
3. 已知 为正实数，且 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
4. 已知圆台上底面直径为 2，下底面直径为 4，母线长为 3，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5. 一组从小到大排列的数据: ,23 . 若它们的 70 百分位数是中位数的两倍,则 的值为 ( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 14
6. 数列 的通项公式为 为其前 项和,则 的最小值为( )
A. -9 B. -7 C. -3 D. -19
7. 已知函数 ,若 在 部分的图象与直线 恰好产生了三个交点,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知直线 与 相交于点 ，点 在圆 上，则( ).
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 如果平面向量 ,那么下列结论中正确的是 ( )
A. B.
C. 与 的夹角为 D. 在 方向上的投影为
10. 设函数 的定义域为 ,且满足 ,当 时, ,则 ( )
A. 是奇函数
B.
C. 的最小值是
D. 方程 在区间 内恰有 1012 个实数解
11. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 为坐标原点, 为 上异于左、 右顶点的一点, 是线段 的中点,则( )
A. B.
C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为 1
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若圆 与 轴相切，则实数 的值是_____.
13. 已知二面角 为直二面角, ,则 与 所成的角分别为 与 所成的角为_____.
14. 已知函数 ,若函数 ,则 的所有零点之积为_____；方程 有三个不同的解，则实数 的范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知 ,且 的解集为 .
(1)当 ，求函数 的解析式；
(2)若关于 的不等式 对一切实数恒成立，求实数 的取值范围.
16. 已知平面向量 ,且
(1)求 在 方向上的投影向量；
(2) 求 与 的夹角；
17. 在三棱柱 中， ， 为 的三等分点，侧面 为正方形， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)证明: 平面 ；
(3)正方形 边长为 3, ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知 为抛物线 的焦点,点 在 上, . 点 ,
-2), 是抛物线上不同两点,直线 和直线 的斜率分别为 .
(1)求 的方程；
(2)存在点 ，当直线 经过点 时， 恒成立，请求出满足条件的所有点 的坐标;
(3)对于(2)中的一个点 ，当直线 经过点 时， 存在最小值，试求出这个最小值.
19. 已知
(1) 时,证明: ;
(2)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明:对任意的正整数 ，总有 .
1. A
因为 ,则 ,
所以 .
故选: A.
2. A
因为 ,
若复数 为纯虚数,则 ,所以 ; 即 “复数 为纯虚数” 是 “ ” 的充分条件;
若 ,则 ,但复数 不是纯虚数; 即 “复数 为纯虚数”不是 “ ” 的必要条件;
综上,“复数 为纯虚数”是“ ”的充分不必要条件.
故选: A.
3. C
因为 ,则 ,
由于 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 ,
故选: C
4. A
由题意,如图 , 所以 .
故选: A
5. A
数据 已是由小到大的排列,数据共 10 个, 中位数为第 5 个与第 6 个数据的平均值即中位数为 ,
由 ,因此 70 百分位数为第 7 个与第 8 个数据的平均值即 ,
得 ,
解得 ,
故选: A.
6. D
令 ,因为 ,所以解得 ,
所以数列 的前 3 项为负,从第 4 项起为正,
所以 的最小值为 .
故选: D.
7. C
,
令 ,所以 ,
问题转化为直线 与函数 ,当 时,有三个交点,
由 ,
于是有 ,
故选:
8. A
对于直线 ,可变形为 . 令 ,解得 ,所以直线 恒过定点 .
对于直线 ,可变形为 .
令 ,解得 ,所以直线 恒过定点 .
因为 ,所以 ,已知 ,则中点坐标为
,所以半径 .
则点 的轨迹是以 为直径的圆的一部分,故点 的轨迹为
已知圆 的圆心 ,半径 ,则圆心 与点 轨迹圆的圆心 的距离为 .
的最大值为圆心加上两圆半径,即 .
由于轨迹不包含点 ,故不存在最小值.
故选: A.
9. AB
因为 ,所以 .
在 中,由 ,可得 ,故 正确;
在 中,由 ,可得 ,故 正确;
在 中,由 ,可得 与 的夹角为 ,故 错误;
在 中, 在 方向上的投影为 ,故 错误.
故选:AB.
10.
对于选项 A,因为函数 的定义域为 ,又 ,所以
又 ,得到 ,所以 是奇函数,故选项 正确,
对于选项 ,因为 ,所以 ,得到 的周期为 4,
所以 ,故选项 正确,
对于选项 ,当 时, ,又 是奇函数,
所以当 时, ,所以选项 错误,
对于选项 ,当 时, ,则 ,得到 , 因为 ,所以函数 关于直线 对称,所以 在 上的图像如图所示,
由图知, 在 有 4 个交点,又 的周期为 4,且在区间 上共有 506 个周期,
所以方程 在区间 内恰有 2024 个实数解,故选项 D 错误,
故选: AB.
11. ACD
对于 ,故 正确;
对于 ,由三角形中位线得 ,因为当点 在第二三象限时, ,此时 ,故 错误;
对于 ,因为 ,
当点 在上顶点时, 最大,所以 ,所以 ,
所以 ,所以由三角形相似可得 ,
设内切圆半径为 ,又 ,
所以 内切圆半径的最大值为 ，故 正确；
对于 ,设 的外接圆半径为 ,则由正弦定理可得
,故 D 正确.
故选: ACD
12. 16
由 ,可得 ,
方程表示圆,则可得圆心为 ,半径为 ,
由圆与 轴相切,则可得 ,解得 .
故答案为: 16 .
13.
如图,
,则 两两垂直.
作 ,垂足分别为 ,连接 ,
则 ,
所以 为 与 的所成角, 为 与 的所成角,
即 ,
建立如图空间直角坐标系 ,设 ,
则 ,得 ,
,所以 ,取 ,
则 ,又 ,
所以 ,即 与 所成的角为 .
故答案为:
14.
由题,函数 的零点即方程 的根,作出函数 的图象, 如图,
与 的图象共 4 个交点,从右到左依次是 ,
当 时, ,则 ,得 ,故 ,即
同理,可得 ,
所以 ,即 的所有零点之积为 1 .
作出函数 的图象如图,
方程 有三个不同的解,即 与 的图象有三个不同的交点,
当 时, ,则 ,设切点为 ,
所以曲线 过原点的切线斜率 ,解得 ,
所以曲线 过原点的切线斜率 ,
要使得 与 的图象有三个不同的交点,则 ,即 , 所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
15. (1) (2)
(1) 由 的解集为 可知 且 .
则 .
(2) 的解集为 .
当 时,满足题意;
当 时,由 .
综上, .
16.
(2) .
解: (1) ,
,
,
,
,
,
,
,
,
所以 在 方向上的投影向量为 .
(2) ,
设 的夹角为 ,
则: ,
,
即向量 与向量 的夹角为 .
17. (1)由四边形 是正方形，可知 ，
又 平面 ,则 平面 .
而 平面 ,故平面 平面 .
(2)因为 ， ， ， 平面 ，则 平面 ， 而 平面 ,则 .
由( 1 )知平面 平面 ，平面 个平面 ， 平面 ,且 ,
故 平面 .
(3)以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 .
在 Rt 中, ,则 .
则有 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则有 ,可取 ,得 .
记直线 与平面 所成的角为 ,
故 .
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.
(2) 或
(3)5
(1) ，设 ，则 ，
所以 得: ,解得 或 (舍),
所以抛物线 的方程为 ①.
(2)设直线 ②， ， ，
联立①②，得 .
所以 ③, ④.
则 ,
因为 ,即: ,
即: ,
则 或 ,能满足③式.
则 ,或 ,
所以定点 的坐标为 或 ;
(3)如 过 点，当 时， ，但此时 ， 重合， 则 无最小值,所以 只能过 点,此时 有最小值.
由(2)，在④中，令 得: ， ，
.
令 ,
则 ，
当 时， ， 在 上为减函数，
当 时, 在 上为增函数,
所以当 时, 有最小值, 有最小值.
19.(1) 构造 ,当 时, ,
可知 单调递增;
单调递减.
则 ,故 ,即 ,
所以 .
(2)依题意 ，设 ， 则 ,
且有 .
(i) 当 时,显然 中 则 恒成立;
(ii) 当 时, ,则 单调递增, , 单调递增, .
(iii) 当 时, ,则 单调递增, , ,则必然存在一个 ,使得 ,
且有 时, 单调递减,
此时 ,不满足恒成立条件.
综上所述， .
(3)由(2)中结论,有当 时, ,对任意的 恒成立,
取 可得, ,对任意的 恒成立,
即 ,变形可得
分别令 ,可得 ,
累加可得 证毕.

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