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高三数学
本试卷共 19 题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. ( )
A. B. C. D.
2. 集合 ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3. 已知 是过 两点的直线的一个方向向量，则实数 为( )
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
4. 设数列 满足 ，且 ，则 的值为( )
A. B. C. -1 D. 1
5.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为 ，高为 ，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 的粘土,然后,沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份 (如图), 等粘土晾干后, 即可得到大小相同的 4 片瓦. 若需要制作 800 片这种瓦片, 则所需粘土的体积为 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 的内角 的对边分别为 ，且面积 满足 ，则
( )
A. B. C. D. 2
7. 当 时,函数 的最小值为 ,最大值为 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,点 是抛物线 上的动点,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 14
D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,若曲线 在点 处的切线方程为 ，则( )
A. B.
C. 的极小值点为 1
D. 的极大值点为
10. 在平面直角坐标系 中,已知双曲线 的右焦点为 ,过 且倾斜角为 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于点 ,直线 交双曲线 于另一点 ,连接 ,则( )
A. B.
C. D.
11. 某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为 ，且投篮结果互不影响，如果出现连续 次命中，那么停止投篮，游戏结束. 则( )
A. 当 时,投篮 2 次游戏结束的概率为
B. 当 时,投篮 3 次游戏结束的概率大于投篮 4 次游戏结束的概率
C. 当 时,游戏结束时投篮总次数的数学期望为
D. 设游戏结束时投篮总次数的数学期望为 ，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若定义在 上的减函数 满足 ,请写出满足条件的一个函数 _____.
13. 已知函数 ，若曲线 关于点 中心对称， 则 的最小值为_____.
14. 一个盒子里装有六张卡片,分别标记有数字1,2,3,4,5,6,这六张卡片除标记的数字外完全相同. 随机有放回抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ， ，则满足 的情况有_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 某兴趣小组调查了某校 100 名学生 100 米短跑成绩的情况, 其中有 60 名学生的短跑成绩合格.这 100 名学生中有 45 名学生每周的锻炼时间超过 5 小时, 60 名短跑成绩合格的学生中有 35 名学生每周的锻炼时间超过 5 小时.
(1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值 的 独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过 5 小时有关
单位:人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过 5 小时
每周的锻炼时间不超过 5 小时
合计
(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力. 现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训, 已知每周的锻炼时间超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后, 学生的短跑成绩合格的概率为 ,每周的锻炼时间不超过 5 小时的学生参加跑步技巧培训后,
学生的短跑成绩合格的概率为 . 用频率代替概率,从短跑成绩不合格的学生中随机抽取 1 名学生 (记为甲) 进行跑步技巧培训, 求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据: ,其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16. 已知数列 满足 .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)求 的通项公式，并求 的前 项和 .
17. 已知椭圆 的焦点为 ,且椭圆 过点 ,直线 不过点 ,且与椭圆交于不同的两点 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)求证:直线 MA，MB 与 x 轴总围成一个等腰三角形.
18. 设 ,已知函数 .
(1)若 ，判断 在区间 上的单调性；
(2)若 ,判断 的零点个数,并给出证明;
(3)若 ,求正整数 的值.
19. 已知四面体 为 的三等分点(靠近 ), 为 的中点,过点 的动平面 交射线 于 .
(1)如图，当 时，
① 求 的长.
② 空间中一动点 ，定义 . 当四面体 的体积最小时，是否存在点 ,使得 并说明理由.
( 2 )当 时，记四面体 内切球的半径为 ，求 的最大值.
1. C
原式 ,
.
故选:
2. C
因为 ,则 ,
又集合 ,可得 ,
所以实数 的取值范围是 .
故选: C.
3. A
已知 ,所以 是直线的一个方向向量;
因为向量 也是直线的方向向量,所以它与 共线,
所以 ,解得 ,
故选: A.
4. A
因为 ,且 ,
所以 ,
所以数列 的周期为 2,故
故选: A
5. D
由圆柱的体积公式, 可得四片瓦需要的粘土量为
,
所以 800 片瓦需要的粘土量为 .
故选: D.
6. A
因为 ,所以 ,
又因为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
因为 ,
所以 ,即 .
故选: A
7. D
因为 ,所以函数 在 处无定义,所以 ,
又函数 在 上单调递减,且 ,且函数 在 上单调递减,
所以 在 上单调递增,
所以 ,解得 ,
再由 ,得 ,
由 ,可解得 .
故选: D.
8. D
由 得 ,
由 ,得 ,所以直线,过定点 .
所以点 的中点坐标为 ,连接 ,
则 ，由题意知点 在以 为直径的圆上，
所以点 的轨迹方程为 (不包含点 ),
记圆 的圆心为 ,
过点 分别作准线 的垂线,垂足分别为 ,
则 ,
当且仅当 四点共线且点 在 之间时等号同时成立, 所以 的最小值为 .
故选: D.
9. ACD
因为 ,切线斜率为 4,所以 ,
由题意得,切点 在切线上,故 ,
则 ,
联立 ,解得 ,故 正确, 错误;
当 时, 在 单调递减,
当 或 时, 在 单调递增,
所以 的极小值点为 1,极大值点为 ,故 均正确,
故选: ACD.
10. AB
双曲线 的右焦点为 ,直线
联立 ,解得
根据对称性知
对选项 ,故 , 正确;
对选项 B: ,故 , B 正确;
对选项 C: ，
错误；
对选项 D: ,而 ,所以 ,
由角平分线定理可知: ,
(另解: 直线 到 的距离为 到 的距离为 ,
两者不相等, , D 错误
故选: AB.
11. ACD
对于 ,由相互独立事件同时发生的概率公式可得,
投篮 2 次后游戏结束的概率为 ,故 A 正确;
对于 ,当 时,即出现连续 2 次命中,那么停止投篮,游戏结束.
故投篮 3 次游戏结束的事件为“3 次投篮结果依次为:不中、命中、命中”，
则由相互独立事件同时发生的概率公式可得,
投篮 3 次游戏结束的概率 ;
投篮 4 次游戏结束, 则第 3、4 次必须命中, 且第 2 次必须不中 (否则游戏在第 3 次或第 2 次就已结束), 第 1 次投篮结果不影响,
故投篮 4 次游戏结束的概率为 ,
两者概率相等,故 错误;
对于 ,当 时,即出现连续 2 次命中,那么停止投篮,游戏结束. 设投篮的总次数的数学期望 ,考虑第一次投篮的结果:
①第一次命中，
若第一次命中，第二次也命中(概率为 )，则投篮总次数为 2 ；
若第一次命中，第二次未命中(概率为 )，则游戏重置，投篮的总次数可看作 ；
②第一次未命中(概率为 )，则游戏重置，投篮的总次数可看作 ；
则 ，解得 ，故 C 正确；
对于 ,由题意, 为出现连续 次命中停止投篮游戏结束时投篮总次数的数学期望.
在连续 次命中停止的游戏中,考虑首次达到出现连续命中 次的时刻,
此时当前投篮的总次数期望为 ,且最后 次都投篮命中.
现在从此状态开始,游戏还需要进行直至停止 (即连续 次命中),考虑下一次投篮的结果:
若下一次投篮命中(概率为 ),
则出现连续 次命中停止投篮游戏结束,即投篮的总次数可看作 次;
若下一次投篮命不中(概率为 )，
则游戏重置,需再进行 次投篮游戏才能结束,即投篮的总次数可看作 ;
故 ,
整理得 ,故 正确.
故选: ACD.
12. (可以是 ,其中 )
根据定义在 上的减函数,结合题意可令 ,
因为 ,满足题意,
故答案为: (可以是 ,其中 )
13.
由正切函数性质可知,函数 的对称中心为 ,
因为曲线 关于点 中心对称,
所以 ,即
因为 ,所以 ,解得 ,
因为 ,所以 ,故 .
故答案为:
14. 54
由 ,可得 ,
所以 .
不妨设 ,则 ,还有一个数为 ,
显然 ,
对于任意 取值,都有如下情况,
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法;
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法;
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法;
当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法.
因为 ,所以一共有 种.
故答案为: 54 .
15. (1)表格如下:
单位:人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过 5 小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过 5 小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为 : 学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.
根据表中的数据,可得 , 根据小概率值 的 独立性检验,可以推断 不成立,
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过 5 小时有关.
(2)由(1)的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有 40 名，
其每周锻炼时间超过 5 小时的有 10 人，不超过 5 小时的有 30 人.
从短跑成绩不合格的 40 名学生中随机抽取一名学生, 记为甲,
设事件 “甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”,
事件 “甲每周的锻炼时间超过 5 小时”,
“甲每周的锻炼时间不超过 5 小时”,
用连列表中的数据计算频率并替代概率后得 ,
又已知 ,
由全概率公式可得 , 所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为 .
16. (1) 证明: ,
两式相减得 ,
,
又 ,
数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(2)数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
,
,
两式相加得 ,
,
当 时, 满足上式,
数列 是首项为 4,公差为 4 的等差数列,即 ,
,解得 ,
.
17. (1)设椭圆的方程为 ,则 ,解得 , 所以椭圆的标准方程为 .
(2)将 代入 并整理得 ，
则 .
直线 与椭圆交于不同的两点 ,解得 ,
直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率分别为 和 ,只要证明 .
设 ,
故原命题成立.
18.(1) ,则 ,所以 .
当 时, ,
所以 在区间 上单调递增.
(2) ，则 ，
当 时， ,故 在 上单调递增.
又 ,
故 在 上存在唯一零点.
当 时, 恒成立.
综上,若 有且仅有 1 个零点.
(3)设 ，
① 若 ,令 ,令 ,解得 .
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,又 ,
所以, ,即 .
同理,令 ,令 ,解得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,又 ,
所以, ,即 .
所以 满足题意.
② 若 ，令 ，则 ，记 ，
由 得故 在 上单调递增,又 ,
所以, 时, 在 上单调递增.
又 ，所以 ，
所以 不合题意.
③ 若 ，
当 ,
又 ,所以 ,
所以 不合题意.
综上,正整数 的值为 1 .
19. (1) ① , 所以 ，所以 .
② 设 ,则 ,
所以 ,由共面定理,得 ,
记棱长为 1 的正四面体的体积为 ,所以 ,
由均值不等式 ,
此时当 ,即 取得最小值,
则此时 ,即 ,故 是 的重心,
对空间中任意点 ,则 ,
同理 ,
所以
故不存在空间中一点 ,使得 .
(2)
由勾股定理, ,
由余弦定理, ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 (设 ),
设 ,
当 时, ;
当 时,令 ,即 ,
解得 ,所以 ,
所以 (当 时取等),
所以 的最大值为 .

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