资源简介

高三数学考试(一)
本试卷共 19 题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 的展开式中，常数项为( )
A. 15 B. 40 C. 60 D. 80
4. 若变量 线性相关,由数据 求得回归方程为 ,则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知定义域为 的函数 满足 ,且 为奇函数,则一定有 ( )
A. B. C. D.
6. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具, 在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动. 运动员小华以球杆击球,使冰球从点 出发,沿 运动至点 ,已知 , ，且 ，则冰球位移的大小是( )
A. B.
C. D.
7. 某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为 2 米的正方体物件作为装饰,如图, 为该正方体的顶点， ， ， 为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面 . 若平面 与平面 平行,且直绳索 的长度为 米,则点 到平面 的距离为 ( )
A. 米 B. 米 C. 米
D. 米
8. 若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 是函数 的一个周期
B. 是函数 的一条对称轴
C. 函数 在 有三个零点
D. 函数 为偶函数
10. 已知抛物线 的焦点为 ，点 关于原点 的对称点为 ，第一象限内的点 在 上，且 ，则( )
A. 点 的坐标为
B.
C. 直线 的斜率为
D. 直线 关于 轴对称
11. “局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数， 我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究. 函数 就是一个“局部周期递归函数”. 则下列说法正确的有( )
A. 函数 的值域为
B. 函数 在 上单调递减
C. 方程 有 5 个不同的解
D. 若方程 有 10 个不同的解,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 过椭圆 的右焦点 的直线 交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为_____.
13. 已知 为锐角, ,则 _____.
14. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 . 若在 和 中插入 个相同的数 ,构成一个新数列 ,即 ，记数列 的前 项和为 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 记 内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
(1)求 ； (2)若 ，求 边上的高.
16. 在如图所示的五面体 中, 共面, 是正三角形,四边形 为菱形, 平面 ,点 为 中点.
(1)在直线 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ，请说明理由；
(2)请在下列条件中任选一个，求平面 与平面 所成二面角的正弦值. ① ；② .
17. 已知函数 .
(1)是否存在实数 ，使得 为函数 的极小值点. 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由;
( 2 )若 图象上总存在关于点 对称的两点，求 的取值范围.
18. 已知平面直角坐标系 上一动点 满足 ， ， . (1)求点 的轨迹曲线 的方程；
(2)斜率为 -1 的直线与曲线 交于 两点，点 .
① 求直线 ， 的斜率之和；
② 的外接圆圆心 是否在某定直线上？说明理由.
19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下:
游戏一:参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷 次( 且 )后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二:参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记 1 分，未命中记 -1 分， 当累计得分达到 3 分，则游戏立即结束并获奖， 当累计得分达到 -3 分， 游戏立即结束， 无法获奖.
现有甲、乙两位同学分别参加游戏, 且每位同学每次投掷是否命中相互独立. 已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为 ；乙同学参加游戏二，每次命中率为 .
( 1 )当 时，记甲同学投掷次数为 ，求 的分布列及期望；
( 2 )当 个 且 )时，求甲同学获奖的概率(用含 的表达式表示)；
(3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为 ；若乙同学获奖概率不小于 ，求 的最小值.
1. A
由 可得 ,
即 ,
所以 ,
故选: A
2. A
由 得 ,
所以复数 在复平面内对应的点为 ,
所以 在复平面内所对应的点位于第一象限.
故选: A.
3. C
展开式的通项为 , 令 ,得 ,则 ,
故常数项为 60 .
故选:
4. D
由回归直线过样本中心点 ,得 ,
,代入,得 ,
方程两边同时乘 5,得 .
故选: D.
5. C
: 函数 为奇函数, ,
又 ,
,故选项 C 正确.
其他三个选项条件不足无法计算, 故选 C.
故选: C.
6. D
,即 , 则 ,即 ,因为 ,所以 ,
故选: D
7. D
设点 到平面 的距离为 ,
根据正方体的性质可知: 点 到平面 的距离为 2,
因为 ,
所以 ,
由正方体可得 ，
所以 ,
解得 ,
所以点 到平面 的距离为 ,
又因为平面 与平面 平行,直绳索 的长度为 米, 所以点 到平面 的距离为 .
故选: D
8. B
不等式 ,令函数 ,显然函数 在 上单调递增, 依题意,不等式 恒成立,即 , 令函数 ,求导得 ,当 时, ; 当 时, ,函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 因此当 时, , 所以实数 的取值范围是 .
故选: B
9. ACD
,
函数 的最小正周期 选项正确;
令 ,则 ,当 时, 选项错误;
令 ,则 ,
函数 在 有三个零点, 选项正确;
是偶函数, 选项正确.
故选: ACD.
10. BD
已知抛物线 ,则 ,焦点 ,点 关于原点 的对称点 为 ,
设 ,且 ,由 ,得 ,
即: ,化简得 ,
又 在抛物线上,故 ,代入 ,得
,
联立 和 ,解得 ,进而 ,
,所以 ;
选项 A: 点 是 关于原点的对称点,应为 ,而非 , A 错误;
选项 B: 由抛物线焦半径公式: ,故
正确;
选项 C: ,并非 错误;
选项 D: ,即 ,且两直线均过 轴上的点 ,故直线 与 关于 轴对称, 正确.
11. BCD
当 时, ;
当 时, ,则 ;
当 时, ,则 ;
当 或 时, ,
作出函数 的图象如下:
由图可知,函数 的值域为 ,故 A 错误;
函数 在 上单调递减，故 B 正确；
由于函数 与 有 5 个交点,
则方程 有 5 个不同的解,故 正确;
对于 ,令 ,
因为方程 有 10 个不同的解,
所以方程 有两个不相等的实数根,
设 ,显然 ,
则这两个根分别在 内,
有 ,解得 ,故 D 正确.
故选: BCD
12. 8
由题意知, ,
如图,
由椭圆的定义知, ,
所以 的周长为 .
故答案为: 8
13.
因为 为锐角,所以 ,
所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
,
故答案为:
14. 2646
因为 ,所以前 项和 .
所以当 时,
因为 ,
所以 ,可得 ,
所以数列 是首项和公差均为 1 的等差数列,所以 ,即 .
当 时, ,
又 满足上式,所以 .
新数列 中从 到 共有 项.
当 时， ；当 时， .
所以
故答案为: 2646 .
15. (1)
(2)
(1)因为 ，
所以由余弦定理得 ,所以 ,
所以
因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,所以 ;
(2)设 边上的高 ，
由三角形面积公式得 ,
因为 ,所以 ,
因为 为 的内角,所以 ,
因为 ,由正弦定理 得 ,所以
16. (1)在直线 上存在一点 ,使得平面 平面 ,理由如下: 连接 交 于点 ,连接 ,取 的中点 ,连接 ,
又 平面 平面 ,
平面 平面 ,故 ,
为 的中点,点 为 中点,则 ,
,故四边形 为平行四边形,则 ,
平面 平面 ,故 平面 ;
又点 为 中点， 为 的中点，故 ，
平面 平面 ,故 平面 ,
平面 ，故平面 平面 ，
(2)选择①，
四边形 为菱形， ， ，
则 为正三角形， ，
故在 中， ， ，
由余弦定理知 ,
取 中点 ,连接 ,
在 中， ，
则 ,所以 ,
因为 是正三角形,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
平面 ,
又 平面 ,
故 平面 ,
以 为原点分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 ,故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得平面 的法向量 ,
故 ,
由于平面 与平面 所成二面角为 ,则 ,
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ;
若选 ②:
由(1)可知， ，
取 中点 ，连接 ，
在 中, ,则 ,所以 ,
因为 是正三角形,所以 ,
又 平面 ,则 平面 ,
平面 ,故 ;
因为 是正三角形,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
以 为原点分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 ,故 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,得平面 的法向量 ,
故 ,
由于平面 与平面 所成二面角为 ,则 ,
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ;
17.(1)不存在, 理由如下:
由 知 的定义域为 ,且 , 假设存在实数 ,使得 为函数 的极小值点,
则 ,即 ,解得 ,
此时 ,
所以 是减函数,与 为函数 的极小值点矛盾,
所以假设不成立,即不存在实数 ,使得 为函数 的极小值点;
( 2 )若 图象上总存在关于点 对称的两点，
则 在 上有解,
即 在 上有解,
整理得 ,
令 ,得 ,
问题可转化为 在 上有解,
令 ,则 ;
① 当 时， ， 是减函数，
又 ,所以 ,
所以 在 上无零点,不符合题意;
② 当 时， ， 是增函数，
又 ,所以 ,
所以 在 上无零点,不符合题意;
③ 当 时,在 上, 单调递减;
在 上, 单调递增,
所以 的最小值为 ,
又 时, ,
根据函数零点存在定理可知 在 上必存在零点,符合题意;
综上, 的取值范围是 .
18. (1) 由题意知, ,
所以动点 的轨迹为双曲线的右支, ,
即 ,所以 ,
所以点 的轨迹曲线 的方程为 .
(2)①设直线 的方程为 ， ， ，直线 和 的斜率分别为
联立 得, ,
由题意得 ,解得 ,
于是 ,
所以
,所以 .
② 直线 的中垂线为 ，
直线 的中垂线为 ,
联立直线方程得: ,
消 得 ,
于是 ,
所以 ,
代入得 ,
当 时,点 在直线 上,不符合题意,故 ,
又消 得: ,推出 ,
推出: ,
得: ,
得: ,
又 ,则 ,
又 ，所以 ，
故 外接圆圆心 ，
令 ,消去 得 ,
故 必在直线 上.
19.(1)由题可知: 的取值可能为 2,3,4,
故 的分布列为
2 3 4
1 9
所以 .
(2)记事件 :甲同学获奖，
显然, ,设 表示甲投掷的次数,若甲投掷 次并获奖,
则 ,
所以 ,
令 ,
所以 ,
两式相减: ,
即 ,
所以 .
(3)记 表示乙同学的得分， ，
记事件 : 乙同学获奖, 表示乙同学得分为 分时,最终获奖的概率,
显然 ,又 ,
由全概率公式知: ,
所以 ,
那么
即 ,
同理: ,
累加有 ,
所以 ,
即 ,即 ,
即 ,
由甲同学获奖时,投掷次数不超过 4 次的概率为 得: ,
由 ,即 ,解得 ,
故 的最小值为 .

展开更多......

收起↑