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数学
本试卷共 4 页, 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知平面向量 ，若 ，则 的值为( )
A. B. C. D. 14
3. 若复数 满足 ，则 ( )
A. 0 B. -2i C. D. 2
4. 若倾斜角为锐角且过点 的直线 截圆 所得弦长为 2,则 的斜率为 ( )
A. B. C. D. 1
5. 记 为等比数列 的前 项和,已知 ,则 ( )
A. -16 B. -1 C. 1 D. 16
6. 记 ,点 在椭圆 上,点 在圆 上,则 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 将1,1,2,2,3五张数字牌按顺序进行排列,其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 ( )
A. 12 B. 26 C. 52 D. 104
8. 已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则( )
A. 的值域为
B. 零点绝对值的最小值为
C. 在区间 上单调递增
D. 曲线 的一条对称轴为
10. 已知定义在 上的偶函数 满足当 时, ,则( )
A. 曲线 过定点
B. 若 ,则
C. 若 ，则 有且仅有 4 个零点
D. 若 ，则
11. 现口袋里共有 4 个红球, 5 个黄球和 3 个蓝球, 它们除颜色外完全相同. 现进行取球, 则 ( )
A. 若取出球后放回口袋,每次只取一个球,则第 4 次取出黄球的概率为
B. 若取出球后不放回口袋,每次只取一个球,则第 2 次取出黄球的概率为
C. 若取出球后放回口袋, 每次只取两个球, 则第 4 次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为
D. 若取出球后放回口袋, 每次只取两个球, 则第 2 次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一个装有水的圆柱形玻璃杯,测得其内壁半径为 ,将一个半径为 的玻璃球完全浸入水中，水没有溢出，则杯中水面上升了_____cm.
13. 若 ,且 ,则 _____.
14. 在公差为正数的等差数列 中， ， ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中, .
(1)若 ，求 的外接圆半径；
(2)若 是锐角三角形，证明: .
16. 如图,在直三棱柱 中， . 点 满足
(1)过点 作 垂直 于点 ，证明:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 某研发系统内在初始时刻有一个可分裂粒子, 在第 1 分钟末这个粒子分裂成两个新粒子, 共有三种分裂情况: 产生两个可分裂粒子,其概率为 ; 产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子,其概率为 ; 产生两个不可分裂粒子,其概率为 . 新产生的每个可分裂粒子在 1 分钟末又会按照上述分裂情况分裂成两个新粒子, 不可分裂粒子在 1 分钟末被移出系统. 称系统中没有可分裂粒子时能量达到峰值.
(1)求第 2 分钟末时能量首次达到峰值的概率；
(2)记初始时刻后 2 分钟末时的可分裂粒子个数为 ，求 的分布列和数学期望.
18. 已知函数 .
(1)证明: ；
(2)证明: 存在唯一极值点；
(3)记(2)中的极值点为 ，证明: .
19. 平面直角坐标系 中,抛物线 上的点到 的最小距离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 不垂直于坐标轴的直线 与 交于 两点，记点 关于 轴的对称点为 .
(i) 证明: 直线 过定点;
(ii) 记 的外接圆圆心为 ,求直线 斜率的取值范围.
1. B
集合 ,当 时, ,
当 时, ,故 选项错误;
集合 对 都成立,
故集合 ， 选项错误， 选项正确.
故选: B
2. C
因为 ,且 ,
所以 ,即 ,得 .
3. C
设 ,则 ,
由题意 ,
所以 ,解得 ,
所以 ,则 .
4. A
由题可得,直线 斜率存在,故设 斜率为 ,
直线 的方程: ,化为一般式: ,
圆 圆心坐标为 ,半径 ,
设圆心到直线的距离为 ,
则直线 截得圆的弦长 ,即 ,
代入得: ,
化简计算得: ,
,解得: .
故选: A
5. D
设等比数列 的公比为 ,
所以 ,
化简得 ,解得 ,
当 时, ;
当 时, ;
当 时， ，
综上， 或 .
6. C
记 ,由椭圆第一定义得 ,
在 中，有 (当且仅当 共线且 在线段 上时取等号)，
圆 的圆心 ,半径 ,则 ,
.
7. A
第一张为 1 时;
若第五张为 1 ，则仅有 1 种排法；
若第三张为 1 ，有 种排法.
若第四张为 1 ，有 种排法.
第二张为 1 时;
若第四张为 1 , 则共 种排法,
若第五张为 1,有 种排法,
第三张为 1 时,第五张为 1,有 种排法,
综上可得: 总计 12 种排法.
8.
因为 ,
所以 ,
若 ,由导数连续性,则存在 在 上单调递减,
此时 ,不合题意,
故 ,
当 时, ,
当且仅当 ,即 时取等.
所以 在 上单调递增 ,符合要求.
9. ABC
对于 ,由辅助角公式得 ,可知值域为 ,故 正确; 对于 ,记 ,解 得 ,
,当且仅当 时,等号成立,故 正确;
对于 ,由 得 ,
取 得 ,
而 ,易知此时 单调递增,故 正确;
对于 ,由 ,知 为 的一个对称中心,
所以 不为对称轴,故 错误.
10. BCD
对于 ,注意到 ,故其所过点必含变量 ,对称性可得 同理,故 错误;
对于 时, 时 ,
故 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,令 ,解得 或 ,
注意到当 时, ,当 时, ,
当 时,由于指数函数增长速度远高于多项式函数,故 ,
于是 有且仅有 2 个正零点,
由奇偶性知 有且仅有 4 个零点,故 正确;
对于 ,当 时, ,显然其在 时单调递增,
且 ,
所以 ,
于是 ,故 D 正确.
11. ABD
对于 A，显然其为独立重复试验，故第四次取出黄球的概率等价于第一次取出黄球的概率,
于是 ,故 A 正确;
对于 ,可分为第一次取出黄球与第一次未取出黄球,由全概率公式得
,故 B 正确;
对于 ,从 12 个球中取出两个球,共有 种,取出两个球没有黄球共有 种,
则取出两个球至少有一个黄球的概率为 ,故 错误、 正确.
12.
因为玻璃球的半径为 ,可得玻璃球的体积为 , 设圆柱形玻璃杯水面上升了 ,可得 ,解得 , 所以杯中水面上升了 .
13. 或
因为 ,
又因为 ,则
所以 ,即 或 .
因为 得 或 ,即 或 .
14. 8
记 公差为 ,
二者相等得 ,
即 ,由 ,
于是 .
15.(1) 因为 ,由 ,所以 ,
在 中，由余弦定理得:
因为 ,所以 ,所以 ,
设 的外接圆半径为 ,由正弦定理得: ,
即 ,解得: ,所以 的外接圆半径为 .
(2)设 ，则 ， 由 是锐角三角形，
所以有:
即
因为 ,所以解得: ,所以 .
16. (1)由题意如图所示:
在直三棱柱 中，因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ,又 ,
且 平面 平面 ,
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
(2)在直三棱柱 中，因为 平面 ，
所以以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴，
所在直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为: ,
由 ,
则 ,
令 ,则 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为: ，
由 ,
则 ,
令 ,则 ,所以 ,
设平面 与平面 所成角为 ,
所以
所以平面 与平面 夹角的余弦值为: .
17. (1)设第 2 分钟末时能量首次达到峰值的概率为 .
第 2 分钟末时能量首次达到峰值可分为两种情况:
第 1 分钟末产生一个可分裂粒子与一个不可分裂粒子, 第 2 分钟末该可分裂粒子产生两个不可分裂粒子;
第 1 分钟末产生两个可分裂粒子, 第 2 分钟末分别产生两个不可分裂粒子.
所以 .
(2)显然 的取值可以是0,1,2,3,4,
0 1 2 3 4
9 64 17 36 83 1 2
于是 .
18. (1) 易得 ,此时 .
设函数 ,
则 时, 单调递减,
时, 单调递增.
于是 ,故原不等式成立.
(2) ，定义域为 ，
显然当 时, ;
当 时, .
当 时,设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
故 ,
所以 即 在区间 上单调递增,而 ,
所以存在 使得 ,
所以当 时 ,当 时 ,
所以 存在唯一极值点.
(3)注意到 ,
又 ,故 ,故
在(1)中已证明 ,故 ,因此 ,故原不等式得证.
19. (1)设抛物线 上任意一点为 .
由 得 .
则点 到点 的距离的平方为
令 .
其对称轴方程为 . ①
当 ,即 时, 在 处取得最小值,即 ,
由题意知 的最小值为 ,则 , 即 . 解得 或 .
因为 ,所以 . ②
当 ,即 时, 在区间 上单调递增;
在 处取得最小值 ,此情况无解.
综上所述， ，故抛物线 的方程为 .
(2)
(i) 由(1)知 的方程为 ，点 的坐标为 .
设直线 的方程为 .
联立直线与抛物线方程 ，即 .
设 ,则 .
由题意知点 的坐标为 ,直线 的方程为 .
因为 ,所以 ,
代入得直线 的斜率为 ,
整理得 ,即 ,
将 代入得 ,
所以直线 恒过定点 .
(ii) 设 的外接圆圆心为 ,
则 到 三点的距离相等,即 ,
由 得 ,
也即 .
因为 ,代入得
也即 .
因为点 在抛物线上,且 在 轴上,故 ,
所以 ,解得 .
同理,由 可得 .
由 ,化简得 .
因为直线 与抛物线交于两点,且构成三角形,故 ,
所以 ,即 .
因为 ,所以 .
由 得 ,也即 ,
将 代入得 ,
则点 的轨迹方程为 (其中 ).
设直线 的斜率为 ,则 ,所以 .
将轨迹方程代入,得 .
令 ,
令 . 因为 ,
当 时, ,即 在 上单调递增,又 ,
故当 时, ,函数 在 上单调递增,则 ,
又 ,即 ,解得 或 .
综上所述,直线 斜率的取值范围是 .

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